廣東省清遠市陽山縣2023屆高三數(shù)學下學期第一次模擬考試試題理

廣東省清遠市陽山縣2023屆高三數(shù)學下學期第一次模擬考試試題理第一卷選擇題：本大題共12個小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1．等差數(shù)列{}中，，那么〔〕.A.3B.4C.6D.122．以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的焦點，那么橢圓的離心率是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3．如果命題是真命題，命題是假命題，那么()A.命題p一定是假命題B.命題q一定是假命題C.命題q一定是真命題D.命題q是真命題或假命題4．如下圖的坐標平面的可行域內(nèi)(包括邊界)，假設(shè)使目標函數(shù)z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，那么a的值為 ()．A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,5)C．4 D.eq\f(5,3)5．在ΔABC中，，那么ΔABC是 () A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形6．“a≠1或b≠2〞是“a+b≠3〞的()A．必要不充分條件B．既不充分也不必要條件C．充要條件D．充分不必要條件7．設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，假設(shè)，那么的值為()A．1B．－1C．2D．8．假設(shè)A，B，C，那么△ABC的形狀是〔〕A．不等邊銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形9．過雙曲線的一個焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，假設(shè)｜AB｜＝4，那么這樣的直線有()A.4條 B.3條 C.2條 D.1條10.，那么向量的夾角為()A.B.C.D.11．設(shè)定點F1〔0，－3〕、F2〔0，3〕，動點P滿足條件，那么點P的軌跡是〔〕A．橢圓 B．線段C．不存在 D．橢圓或線段12，，其中是常數(shù)且，假設(shè)的最小值是，滿足條件的點是橢圓一弦的中點，那么此弦所在的直線方程為〔〕A．B．C．D．第二卷填空題：〔本大題共4小題，每題5分，總分值20分〕13．我國古代數(shù)學名著?張邱建算經(jīng)?有“分錢問題〞：今有與人錢，初一人與三錢，次一人與四錢，次一人與五錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，與訖，還斂聚與均分之，人得一百錢，問人幾何？意思是：將錢分給假設(shè)干人，第一人給3錢，第二人給4錢，第三人給5錢，以此類推，每人比前一人多給1錢，分完后，再把錢收回平均分給各人，結(jié)果每人分得100錢，問有多少人？那么題中的人數(shù)是.14．數(shù)列滿足，且，那么.15．，那么展開式中的常數(shù)項為.16．設(shè)滿足不等式組，假設(shè)的最大值為，最小值為，那么實數(shù)的取值范圍為.解答題〔解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〕17．在中，角所對的邊分別為，且滿足.〔Ⅰ〕判斷的形狀；〔Ⅱ〕求的取值范圍.18．設(shè)數(shù)列各項為正數(shù)，且，.〔Ⅰ〕證明：數(shù)列為等比數(shù)列；〔Ⅱ〕令，數(shù)列的前項和為，求使成立時的最小值.19．某商場進行有獎促銷活動，顧客購物每滿500元，可選擇返回50元現(xiàn)金或參加一次抽獎，抽獎規(guī)那么如下：從1個裝有6個白球、4個紅球的箱子中任摸一球，摸到紅球就可獲得100元現(xiàn)金獎勵，假設(shè)顧客抽獎的結(jié)果相互獨立.〔Ⅰ〕假設(shè)顧客選擇參加一次抽獎，求他獲得100元現(xiàn)金獎勵的概率；〔Ⅱ〕某顧客已購物1500元，作為商場經(jīng)理，是希望顧客直接選擇返回150元現(xiàn)金，還是選擇參加3次抽獎？說明理由；〔Ⅲ〕假設(shè)顧客參加10次抽獎，那么最有可能獲得多少現(xiàn)金獎勵？20．如圖，在正方形中，點，分別是，的中點，將分別沿，折起，使兩點重合于.〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值.21．直線的方程為，點是拋物線上到直線距離最小的點，點是拋物線上異于點的點，直線與直線交于點，過點與軸平行的直線與拋物線交于點.〔Ⅰ〕求點的坐標；〔Ⅱ〕證明直線恒過定點，并求這個定點的坐標.22．設(shè)，函數(shù)，〔為自然對數(shù)的底數(shù)〕，且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在處有公共的切線.〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕討論函數(shù)的單調(diào)性；〔Ⅲ〕假設(shè)在區(qū)間內(nèi)恒成立，求的取值范圍.答案：CDDBDAABBDDD二13、14、15、16、三、17.〔Ⅰ〕等腰三角形〔Ⅱ〕【解析】試題分析：〔Ⅰ〕利用正弦定理將邊化為角，即，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍得，因此結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得〔Ⅱ〕先根據(jù)二倍角公式、配角公式將解析式化為根本三角函數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍及正弦函數(shù)性質(zhì)得取值范圍試題解析：〔Ⅰ〕由，根據(jù)正弦定理，得，即，在中，有，所以，即，所以是等腰三角形.…………5分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，，那么.因為，所以，那么，所以，那么，所以的取值范圍是.…………10分18.〔Ⅰ〕詳見解析〔Ⅱ〕6【解析】試題分析：〔Ⅰ〕證明數(shù)列為等比數(shù)列的根本方法為定義法，即求證數(shù)列相鄰兩項的比值為同一個不為零的常數(shù)：，其中需要說明及〔Ⅱ〕由于為一個等比數(shù)列，所以根據(jù)等比數(shù)列求和公式得，因此不等式轉(zhuǎn)化為，解得試題解析：〔Ⅰ〕由，，那么，因為數(shù)列各項為正數(shù)，所以，由，，得.又，所以，數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.……………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，，，那么.不等式即為，所以，于是成立時的最小值為6.……………12分19.〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕希望顧客參加抽獎.〔Ⅲ〕400【解析】試題分析：〔Ⅰ〕先確定從裝有10個球的箱子中任摸一球的結(jié)果有10種，其中摸到紅球的結(jié)果有4種，因此根據(jù)古典概型概率求法得〔Ⅱ〕比擬與3次抽獎的數(shù)學期望的大小，由于3次抽獎是相互獨立，所以可視為獨立重復試驗，其變量服從二項分布，由此可得數(shù)學期望為，即三次抽獎中可獲得的獎勵金額的均值為元.〔Ⅲ〕求概率最大時對應(yīng)的獎金：由于變量服從二項分布，所以作商得，，因此最大，即獲得400元的現(xiàn)金試題解析：〔Ⅰ〕因為從裝有10個球的箱子中任摸一球的結(jié)果共有種，摸到紅球的結(jié)果共有種，所以顧客參加一次抽獎獲得100元現(xiàn)金獎勵的概率是.……2分〔Ⅱ〕設(shè)表示顧客在三次抽獎中中獎的次數(shù)，由于顧客每次抽獎的結(jié)果是相互獨立的，那么，所以.由于顧客每中獎一次可獲得100元現(xiàn)金獎勵，因此該顧客在三次抽獎中可獲得的獎勵金額的均值為元.由于顧客參加三次抽獎獲得現(xiàn)金獎勵的均值120元小于直接返現(xiàn)的150元，所以商場經(jīng)理希望顧客參加抽獎.……………7分〔Ⅲ〕設(shè)顧客參加10次抽獎摸中紅球的次數(shù)為.由于顧客每次抽獎的結(jié)果是相互獨立的，那么.于是，恰好次中獎的概率為，.從而，，當時，；當時，，那么最大.所以，最有可能獲得的現(xiàn)金獎勵為元.于是，顧客參加10次抽獎，最有可能獲得400元的現(xiàn)金獎勵.………………12分20.〔Ⅰ〕詳見解析〔Ⅱ〕【解析】試題分析：〔Ⅰ〕證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從線面垂直出發(fā)給予證明，而線面垂直的證明往往利用線面垂直判定與性質(zhì)定理，即從線線垂直出發(fā)給予證明，而線線垂直的尋找與論證往往需結(jié)合平幾知識進行：連接交于，那么根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得，〔Ⅱ〕求二面角，一般利用空間向量進行求解，先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，利用方程組解出各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角之間關(guān)系求解試題解析：〔Ⅰ〕證明：連接交于，連接.在正方形中，點是中點，點是中點，所以，所以，所以在等腰中，是的中點，且，因此在等腰中，，從而，又，所以平面，即平面.…6分〔Ⅱ〕方法一：在正方形中，連接，交于，設(shè)正方形的邊長為2，由于點是中點，點是中點，所以，于是，從而，所以，于是，在翻折后的幾何體中，為二面角的平面角，在正方形中，解得，，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以，二面角的余弦值為.………………12分方法二：由題知兩兩互相垂直，故以為原點，向量方向分別為，，軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標系.設(shè)正方形邊長為2，那么，，，.所以，.設(shè)為平面的一個法向量，由得，令，得，又由題知是平面的一個法向量，所以.所以，二面角的余弦值為.………………12分21.〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】試題分析：〔Ⅰ〕到直線距離最小的點，可根據(jù)點到直線距離公式，取最小值時的點；也可根據(jù)幾何意義得為與直線平行且與拋物線相切的切點：如根據(jù)點到直線的距離得當且僅當時取最小值，〔Ⅱ〕解析幾何中定點問題的解決方法，為以算代證，即先求出直線AB方程，根據(jù)恒等關(guān)系求定點.先設(shè)點，求出直線AP方程，與直線方程聯(lián)立，解出點縱坐標為.即得點的坐標為，再根據(jù)兩點式求出直線AB方程，最后根據(jù)方程對應(yīng)恒成立得定點試題解析：〔Ⅰ〕設(shè)點的坐標為，那么，所以，點到直線的距離.當且僅當時等號成立，此時點坐標為.………………4分〔Ⅱ〕設(shè)點的坐標為，顯然.當時，點坐標為，直線的方程為；當時，直線的方程為，化簡得；綜上，直線的方程為.與直線的方程聯(lián)立，可得點的縱坐標為.因為，軸，所以點的縱坐標為.因此，點的坐標為.當，即時，直線的斜率.所以直線的方程為，整理得.當，時，上式對任意恒成立，此時，直線恒過定點，當時，直線的方程為，仍過定點，故符合題意的直線恒過定點.……12分22.〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕詳見解析〔Ⅲ〕【解析】試題分析：〔Ⅰ〕由導數(shù)幾何意義得，分別求導得〔Ⅱ〕由于，所以根據(jù)導函數(shù)是否變號進行討論：當時，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當時，先增后減再增〔Ⅲ〕不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，即的最小值大于零，先利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，滿足條件；時，存在使得，且在時，單調(diào)遞減，不滿足條件試題解析：〔Ⅰ〕，由，得.……2分〔Ⅱ〕，當時，即時，，從而函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當時，，此時假設(shè)，，那么函數(shù)單調(diào)遞增；假設(shè)，，那么函數(shù)單調(diào)遞減；假設(shè)時，，那么函數(shù)單調(diào)