工程力學(xué) 第二章平面力系的合成及平衡

1、課 時(shí) 授 課 計(jì) 劃授課日期2011.10.22班 別1044-3題 目第二章 平面力系的合成與平衡目的要求Ø 會(huì)用平行四邊形法則將力進(jìn)行分解，并計(jì)算力的投影Ø 能解釋力矩、力偶的概念及性質(zhì)Ø 能敘述平面一般力系的平衡條件Ø 能用平衡方程計(jì)算簡(jiǎn)單的平衡問(wèn)題重點(diǎn)計(jì)算力的投影、平面一般力系的平衡條件、平衡方程難點(diǎn)平衡方程教 具課本教 學(xué) 方 法課堂教學(xué)報(bào)書設(shè)計(jì)第二章 平面力系的合成與平衡第一節(jié) 平面匯交力系的合成與平衡第二節(jié) 平面力偶系的合成與平衡第三節(jié) 平面任意力系的簡(jiǎn)化第四節(jié) 平面任意力系的平衡條件及其應(yīng)用教學(xué)過(guò)程：復(fù)習(xí)：1、復(fù)習(xí)約束與約束反力概念。2

2、、復(fù)習(xí)物體受力圖的繪制。新 課：第二章 平面力系的合成與平衡第一節(jié) 平面匯交力系的合成與平衡一、力系的分類力系分為：平面力系、空間力系。平面力系：凡各力作用線都在同一平面內(nèi)的力系?？臻g力系：凡各力作用線不在同一平面內(nèi)的力系。平面匯交力系：若作用在剛體上各力的作用線都在同一平面內(nèi)，且匯交于同一點(diǎn)。平面一般力系：若作用在剛體上各力的作用線都在同一平面內(nèi)，且任意分布。二、平面匯交力系合成與平衡的幾何法1、平面會(huì)交力系的幾何法1）兩個(gè)共點(diǎn)力的合成 由力的平行四邊形法則作，也可用力的三角形來(lái)作。由余弦定理：合力方向可應(yīng)用正弦定理確定：2）任意個(gè)共點(diǎn)力的合成若剛體受一平面匯交力系、和作用，如圖a所示，求該

3、力系的合力，可連續(xù)使用力的三角形法則，即先求與的合力，再求與的合力，最后求出與的合力，便是此平面匯交力系的合力，即由圖可見(jiàn)，在作圖過(guò)程中，中間力，不必畫出，只需將各力的矢量，依次首尾相接得到一條矢量折線ABCDE，然后將其始端A與終端E相連得到一個(gè)封閉的矢量多邊形，則由A點(diǎn)指向E點(diǎn)的封閉邊AE即為該力系的合力的大小和方向，如圖c所示。該多邊形ABCDE稱為已知力系的力多邊形。這種求合力的方法稱為力多邊形法則。(a) (b) (c)圖44 注意：封閉邊僅表示合力的大小和方向，合力作用線通過(guò)原匯交點(diǎn)，合成結(jié)果與各力的繪制順序無(wú)關(guān)。將上述方法推廣到由n個(gè)力組成的平面匯交力系可得結(jié)論：平面匯交力系合成

4、的結(jié)果為一合力，合力的大小和方向由該力系力多邊形的封閉邊表示，其合力作用線通過(guò)原力系匯交點(diǎn)。用矢量式可表示為平面匯交力系的合力等于各分力的矢量和。 =Fn 2、平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的充分和必要條件是：該力系的合力等于零。用矢量式表示，即FR=Fn按多邊形法則，在合力等于零的情況下，力多邊形中最后一個(gè)力矢的終點(diǎn)與第一個(gè)力矢的起點(diǎn)重合，此時(shí)的力多邊形稱為封閉的力多邊形。平面匯交力系平衡的幾何條件：平面匯交力系平衡的充分和必要條件是該力系的多邊形自行封閉。三、平面匯交力系的平衡條件及應(yīng)用合力投影定理：平平面匯交力系的合力在任意坐標(biāo)軸上的投影，等于它的各分力在同一坐標(biāo)軸上投影的代

5、數(shù)和。即FRx=F1x+F2x+Fnx=FxFRy=F1y+F2y+Fny=Fy當(dāng)平面匯交力系為已知時(shí)，我們可以選定直角坐標(biāo)系求出系中各力在x軸和y軸上的投影，再根據(jù)合力投影定理求出合力FR在x軸和y軸上的投影FRx和FRy，即tan=FRy/ FRx=Fy /Fx平面匯交力系平衡的充分和必要條件是：該力系的合力等于零，及FR=0。平面匯交力系的平衡方程Fx=0Fy=0即平面匯交力系平衡的必要和充分條件是力系中在坐標(biāo)上投影的代數(shù)和為零。第二節(jié) 平面力偶系的合成與平衡一、力偶的概念力偶：把大小相等、方向相反的平行力組成的力系稱為力偶，并記作 （F，F(xiàn)'）。力偶對(duì)物體只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而不產(chǎn)

6、生移動(dòng)效應(yīng)。力偶中兩力所在的平面叫做力偶作用面，兩力作用線之間的垂直距離d稱為力偶臂。二、力偶矩的計(jì)算力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于力偶中力和力臂的大小及力偶的轉(zhuǎn)向。因此，在力學(xué)中以乘積Fd加上+、-號(hào)作為度量力偶對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量，稱為力偶矩，以符號(hào)m（F，F(xiàn)'）或m表示，即或 上式表示力偶矩是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于李的大小與力臂的乘積，正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向。通常規(guī)定力偶逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，力偶矩為正；反之為負(fù)。力歐可以用力和力偶臂表示，也可以用一個(gè)帶箭頭的弧線表示力偶，箭頭表示力偶的轉(zhuǎn)向，m表示力偶矩的大小。力偶矩的單位與例句相同，為N×m或kN×m。實(shí)踐證明，力偶

7、對(duì)物體的作用效果由力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶作用面的方位等三個(gè)因素決定。三、力偶的基本性質(zhì)1、基本性質(zhì)（1）力偶無(wú)合力，即力偶不能用一個(gè)力來(lái)代替。（2）力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩恒等于力偶矩，而與矩心位置無(wú)關(guān)，即欲求力偶對(duì)其所在平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩時(shí)，計(jì)算出力偶中的兩個(gè)力分別對(duì)該點(diǎn)的力矩的代數(shù)和就等于力偶矩、（3）在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果它們的力偶矩大小相等，且力偶的轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶是等效的。這稱為力偶的等效性。2、推論力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)，而不影響它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應(yīng)力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。

8、第三節(jié) 平面任意力系的簡(jiǎn)化在工程實(shí)際中遇到的大量力學(xué)問(wèn)題，常常都是平面力系的問(wèn)題，例如：圖411a所示的旋轉(zhuǎn)式起重機(jī)，作用在橫梁船上的力有重力W、輪壓P、鋼絲繩的拉力T，以及鉸鏈支座A的約束反力、，這些力構(gòu)成了一個(gè)平面一般力系，如圖411b所示。又如圖412a所示的樓梯板，沿斜面長(zhǎng)度作用的均布荷載g，兩端的約束反力、和，即可簡(jiǎn)化為在樓板的中心對(duì)稱平面內(nèi)的平面一般力系，如圖412b所示。 (a) (b) (a) (b) 圖411 圖412 一、力的平移定理設(shè)力F作用于剛體上的A點(diǎn)，如圖413a所示，欲將此力平移到剛體上的任一點(diǎn)O，可在O點(diǎn)加上一對(duì)平衡力、，并使（圖413b）。顯然，根據(jù)加減平衡力

9、系公理可知，力系（、）與原力F等效。而力系中的力F與又組成一個(gè)力偶，其力偶矩為。另一力則可看作是力平移至O點(diǎn)的結(jié)果。這表明，作用于剛體上的力可平移至該剛體上的任一點(diǎn)，但平移后必須附加一力偶，該力偶的矩等于原來(lái)的力對(duì)平移點(diǎn)O之矩。由此可得力的平移定理：作用于剛體上的力可平移至該剛體上的任一點(diǎn)，但平移后必須附加一個(gè)力偶，此附加力偶的力偶矩等于原來(lái)的力對(duì)平移點(diǎn)之矩。(a) (b) (c)圖413 應(yīng)用力的平移定理時(shí)必須注意： （1）力平移后所附加力偶矩的大小、轉(zhuǎn)向與平移點(diǎn)的位置有關(guān)。 （2）力的平移定理的逆定理亦成立，即作用于剛體上的一力及一力偶，也可以合成為一個(gè)合力，該合力與的大小相等、方向相同，

10、但二力作用線相距為。 力的平移定理及其逆定理不僅是力系簡(jiǎn)化的基本依據(jù)，也是分析力對(duì)物體作用效應(yīng)的一個(gè)重要手段。如擰螺釘時(shí)，要求雙手用力均勻，這時(shí)絲錐只受一個(gè)力偶作用。若兩手用力不均或單手用力（圖414a），則將力平移至絲錐中心后，將得到一個(gè)力和一個(gè)力偶（圖414b），該力偶固然能起到擰緊螺釘?shù)淖饔?，但該力將使絲錐發(fā)生彎曲，極易使其折斷，故應(yīng)當(dāng)避免。(a) (b)圖414 又如圖415所示偏心受壓柱比中心受壓柱相當(dāng)于多受到一個(gè)力偶的作用，此力偶矩為（e為偏心距）。正是由于此力偶的存在，才使得在壓力相等的情況下，偏心受壓柱比中心受壓柱更易發(fā)生傾斜或出現(xiàn)裂縫。圖415 二、平面力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)

11、化1. 簡(jiǎn)化方法和結(jié)果 設(shè)剛體受一平面任意力系，作用，各力的作用點(diǎn)分別為，如圖416a所示。在力系的作用面內(nèi)任選一點(diǎn)O，稱為簡(jiǎn)化中心。應(yīng)用力的平移定理，將各力平移至O點(diǎn)，同時(shí)附加相應(yīng)的力偶，則原平面任意力系就分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單力系：作用于O點(diǎn)的平面匯交力系，和力偶分別為，的附加力偶系，如圖416b所示。其中平面匯交力系，又可合成為作用于O點(diǎn)一個(gè)力。 （47） (a) (b) (c)圖416因各力平移時(shí)其大小、方向均保持不變，即, ， 故 （48）式中：原力系的主矢，等于原力系各力的矢量和。 顯然，主矢并不能代替原力系對(duì)物體的作用，因而它不是原力系的合力，其大小和方向角用解析法計(jì)算為 （49）式中：

12、與軸所夾銳角，的指向由、的正負(fù)號(hào)確定。 平面力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化而附加的力偶系，則可按平面力偶系合成的方法，將其合成為一個(gè)合力偶，其力偶矩為因各力平移時(shí)所附加的力偶矩分別為原力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩，即，故 （410）式中：原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的主矩，等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和。 同樣，主矩也不能代替原力系對(duì)物體的作用，即不是原力系的合力偶矩。 綜上所述，平面任意力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般可得一個(gè)力和一個(gè)力偶（圖416c）。該力稱為原力系的主矢，它等于力系中各力的矢量和，其大小和方向與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)，但作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心；該力偶的力偶矩稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩，它等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩

13、的代數(shù)和，其值一般與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。 由以上討論可知，力系的主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)，而力系的主矩在一般情況下與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。這是因?yàn)楦淖兒?jiǎn)化中心時(shí)，每一個(gè)附加力偶的矩將隨之改變的緣故。所以表示主矩時(shí)，必須指明簡(jiǎn)化中心，通常在主矩符號(hào)的右下角注明簡(jiǎn)化中心的代號(hào)。2. 簡(jiǎn)化結(jié)果的討論 平面力系向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般可得到一個(gè)主矢和一個(gè)主矩，根據(jù)主矢和主矩是否為零，可分為四種情況： （1），原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶：平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶，該力偶對(duì)平面內(nèi)任意點(diǎn)的矩都相同，在這種情況下，力系的主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。 （2），原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力：原力系等效于作用在簡(jiǎn)化中心的主矢。 （3），原力

14、系仍可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力：根據(jù)力偶等效變換的性質(zhì)，將主矩用兩個(gè)等值、反向的平行力和來(lái)表示。且使它們滿足，如圖417a、b所示。于是，與為一對(duì)平衡力，可以撤去，從而使原力系簡(jiǎn)化的最后結(jié)果為一個(gè)作用線過(guò)O點(diǎn)的合力（圖417c），其大小、方向與主矢量相同，即。但合力的作用線并不通過(guò)簡(jiǎn)化中心，其偏離簡(jiǎn)化中心的垂直距離，偏離的位置應(yīng)使合力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩轉(zhuǎn)向與主矩的轉(zhuǎn)向相同。(a) (b) (c)圖417此外，由圖417c可以看出，平面任意力系的合力對(duì)點(diǎn)之矩為而 故 （411） 由于簡(jiǎn)化中心O是任意選取的，故上式具有普遍意義。于是可得到平面力系的合力矩定理：平面力系的合力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各分

15、力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。利用該定理，可以簡(jiǎn)化某些情況下的力矩計(jì)算，還可以確定平面力系合力作用線的位置。 （4），原力系平衡：這表明原力系處于平衡狀態(tài)。綜上所述，平面力系的簡(jiǎn)化結(jié)果，不外乎三種情況，或?yàn)橐粋€(gè)合力，或?yàn)橐粋€(gè)合力偶，或處于平衡狀態(tài)。第四節(jié) 平面任意力系的平衡條件及其應(yīng)用一、平面一般力系的平衡條件和平衡方程平面一般力系平衡條件是：力系中所有各力在兩個(gè)直角坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，且各力對(duì)力系所在平面內(nèi)任一點(diǎn)力矩的代數(shù)和也等于零。平面一般力系的平衡條件可用下式表示： 上式稱為平面一般力系的平衡方程的基本形式。其中前兩個(gè)方程稱為投影方程，后一個(gè)方程稱為力矩方程。這三個(gè)方程是相互獨(dú)立

16、的，故能求出三個(gè)未知量。平面一般力系平衡問(wèn)題的解題步驟：（1）選取研究對(duì)象，取隔離體，畫受力圖。 （2）據(jù)受力圖中力系的特點(diǎn)，靈活地選取投影軸和矩心。投影軸和矩心的選取原則是：使盡可能多的未知力與投影軸垂直，使盡可能多的未知力作用線通過(guò)矩心，以求做到列出一個(gè)平衡方程，就能求解一個(gè)未知量，避免解聯(lián)立方程組。（3）列平衡方程解出所需的未知量。若所得結(jié)果為負(fù)，則說(shuō)明負(fù)號(hào)的含義，而不要改變受力圖中原來(lái)假設(shè)的方向。通過(guò)講解書P52-55 例2-7、例2-8、例2-9、例2-10進(jìn)行詳細(xì)講解。例 梁AB的A端為固定鉸支座，B端為活動(dòng)鉸支座（圖a），梁上受集中力F與力偶M的作用。已知，求支座A、B處的反力。

17、(a) (b) 解 （1）選取研究對(duì)象，畫受力圖。由于已知力和待求力都作用于梁AB上，故選取梁AB為研究對(duì)象。梁AB的受力圖如圖b所示。作用于梁上的主動(dòng)力有荷載F、M，支座反力有、和，指向假定。這些力組成一個(gè)平面任意力系。 （2）列平衡方程，求約束力。本題有一個(gè)力偶，由于力偶在任一軸上投影都為零，故力偶在投影方程中不出現(xiàn)；由于力偶對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩都等于力偶矩，而與矩心的位置無(wú)關(guān)，故在力矩方程中可直接將力偶列入。取直角坐標(biāo)系，如圖b所示。 由，即：可得：由，即：可得：由，即：可得： 、均為正值，表示力實(shí)際的指向與假定的指向相同（若為負(fù)值，則表示力實(shí)際的指向與假定的指向相反）。 （3）討論。 由于平衡方程彼此獨(dú)立，故可先列能解出一個(gè)未知量的方程，并視此未知量為已知量，再列其他方程。 本例中的數(shù)值有誤差或出錯(cuò)，則必定影響到。因此，每個(gè)平衡方程最好能單獨(dú)求解一個(gè)未知量。如本例可改用三力矩形式的平