2023年初一數(shù)學(xué)競賽教程含例題練習(xí)及答案⑾

初一數(shù)學(xué)競賽講座第11講染色和賦值染色方法和賦值方法是解答數(shù)學(xué)競賽問題的兩種常用的方法。就其本質(zhì)而言,染色方法是一種對題目所研究的對象進(jìn)行分類的一種形象化的方法。而凡是能用染色方法來解的題,一般地都可以用賦值方法來解，只需將染成某一種顏色的對象換成賦于其某一數(shù)值就行了。賦值方法的合用范圍要更廣泛一些，我們可將題目所研究的對象賦于適當(dāng)?shù)臄?shù)值，然后運(yùn)用這些數(shù)值的大小、正負(fù)、奇偶以及互相之間運(yùn)算結(jié)果等來進(jìn)行推證。一、染色法將問題中的對象適當(dāng)進(jìn)行染色，有助于我們觀測、分析對象之間的關(guān)系。像國際象棋的棋盤那樣,我們可以把被研究的對象染上不同的顏色,許多隱藏的關(guān)系會(huì)變得明朗，再通過對染色圖形的解決達(dá)成對原問題的解決，這種解題方法稱為染色法。常見的染色方式有：點(diǎn)染色、線段染色、小方格染色和對區(qū)域染色。例１用15個(gè)“Ｔ”字形紙片和1個(gè)“田”字形紙片（如下圖所示)，能否覆蓋一個(gè)8×8的棋盤?解:如下圖，將8×8的棋盤染成黑白相間的形狀。假如1５個(gè)“T”字形紙片和１個(gè)“田”字形紙片可以覆蓋一個(gè)8×8的棋盤,那么它們覆蓋住的白格數(shù)和黑格數(shù)都應(yīng)當(dāng)是３2個(gè)，但是每個(gè)“T”字形紙片只能覆蓋1個(gè)或３個(gè)白格，而1和３都是奇數(shù)，因此15個(gè)“T”字形紙片覆蓋的白格數(shù)是一個(gè)奇數(shù)；又每個(gè)“田”字形紙片一定覆蓋２個(gè)白格，從而1５個(gè)“T”字形紙片與1個(gè)“田”字形紙片所覆蓋的白格數(shù)是奇數(shù),這與3２是偶數(shù)矛盾，因此，用它們不能覆蓋整個(gè)棋盤。例２如左下圖,把正方體分割成27個(gè)相等的小正方體，在中心的那個(gè)小正方體中有一只甲蟲,甲蟲能從每個(gè)小正方體走到與這個(gè)正方體相鄰的6個(gè)小正方體中的任何一個(gè)中去。假如規(guī)定甲蟲只能走到每個(gè)小正方體一次,那么甲蟲能走遍所有的正方體嗎?解：甲蟲不能走遍所有的正方體。我們?nèi)缬疑蠄D將正方體分割成２７個(gè)小正方體,涂上黑白相間的兩種顏色，使得中心的小正方體染成白色，再使兩個(gè)相鄰的小正方體染上不同的顏色。顯然，在２7個(gè)小正方體中,14個(gè)是黑的，13個(gè)是白的。甲蟲從中間的白色小正方體出發(fā)，每走一步，方格就改變一種顏色。故它走27步,應(yīng)當(dāng)通過14個(gè)白色的小正方體、１3個(gè)黑色的小正方體。因此在27步中至少有一個(gè)小正方體，甲蟲進(jìn)去過兩次。由此可見，假如規(guī)定甲蟲到每一個(gè)小正方體只去一次,那么甲蟲不能走遍所有的小正方體。例38×8的國際象棋棋盤能不能被剪成７個(gè)2×２的正方形和9個(gè)4×1的長方形?假如可以,請給出一種剪法；假如不行,請說明理由。解:如下圖,對8×8的棋盤染色，則每一個(gè)4×1的長方形能蓋住2白2黑小方格,每一個(gè)2×2的正方形能蓋住1白3黑或3白１黑小方格。推知7個(gè)正方形蓋住的黑格總數(shù)是一個(gè)奇數(shù),但圖中的黑格數(shù)為32，是一個(gè)偶數(shù),故這種剪法是不存在的。例４在平面上有一個(gè)２７×27的方格棋盤，在棋盤的正中間擺好81枚棋子，它們被擺成一個(gè)9×９的正方形。按下面的規(guī)則進(jìn)行游戲:每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過相鄰的棋子，放進(jìn)緊挨著這枚棋子的空格中,并把越過的這枚棋子取出來。問:是否存在一種走法，使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子？解：如下圖，將整個(gè)棋盤的每一格都分別染上紅、白、黑三種顏色，這種染色方式將棋盤按顏色提成了三個(gè)部分。按照游戲規(guī)則，每走一步，有兩部分中的棋子數(shù)各減少了一個(gè),而第三部分的棋子數(shù)增長了一個(gè)。這表白每走一步,每個(gè)部分的棋子數(shù)的奇偶性都要改變。由于一開始時(shí),81個(gè)棋子擺成一個(gè)9×9的正方形，顯然三個(gè)部分的棋子數(shù)是相同的,故每走一步,三部分中的棋子數(shù)的奇偶性是一致的。假如在走了若干步以后,棋盤上恰好剩下一枚棋子，則兩部分上的棋子數(shù)為偶數(shù)，而另一部分的棋子數(shù)為奇數(shù)，這種結(jié)局是不也許的，即不存在一種走法，使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子。例5圖1是由數(shù)字０,1交替構(gòu)成的，圖２是由圖1中任選減１，如此反復(fù)多次形成的。問:圖２中的A格上的數(shù)字是多少?解：如左下圖所示,將８×8方格黑白交替地染色。此題允許右上圖所示的6個(gè)操作,這6個(gè)操作無論實(shí)行在哪個(gè)位置上,白格中的數(shù)字之和減去黑格中的數(shù)字之和總是常數(shù)。所以圖1中白格中的數(shù)字之和減去黑格中的數(shù)字之和,與圖2中白格中的數(shù)字之和減去黑格中的數(shù)字之和相等，都等于32，由（31＋Ａ)-32=32，得出A=３3。例６有一批商品,每件都是長方體形狀，尺寸是１×2×4?，F(xiàn)在有一批現(xiàn)成的木箱,內(nèi)空尺寸是6×６×6。問：能不能用這些商品將木箱填滿?解：我們用染色法來解決這個(gè)問題。先將6×6×６的木箱提成2１６個(gè)小正方體,這216個(gè)小正方體，可以組成27個(gè)棱長為2的正方體。我們將這些棱長為2的正方體按黑白相間涂上顏色（如下圖)。容易計(jì)算出，有14個(gè)黑色的，有１3個(gè)白色的?，F(xiàn)在將商品放入木箱內(nèi)，不管怎么放，每件商品要占據(jù)8個(gè)棱長為１的小正方體的空間,并且其中黑、白色的必須各占據(jù)4個(gè)?，F(xiàn)在白色的小正方體共有８×１3=1０4（個(gè)),再配上104個(gè)黑色的小正方體,一共可以放２6件商品,這時(shí)木箱余下的是８個(gè)黑色小正方體所占據(jù)的空間。這8個(gè)黑色的小正方體的體積雖然與一件商品的體積相等，但是容不下這件商品。因此不能用這些商品剛好填滿。例７6個(gè)人參與一個(gè)集會(huì)，每兩個(gè)人或者互相結(jié)識(shí)或者互相不結(jié)識(shí)。證明:存在兩個(gè)“三人組”，在每一個(gè)“三人組”中的三個(gè)人,或者互相結(jié)識(shí)，或者互相不結(jié)識(shí)(這兩個(gè)“三人組”可以有公共成員）。證明:將每個(gè)人用一個(gè)點(diǎn)表達(dá)，假如兩人結(jié)識(shí)就在相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間連一條紅色線段，否則就連一條藍(lán)色線段。本題即是要證明在所得的圖中存在兩個(gè)同色的三角形。設(shè)這六個(gè)點(diǎn)為Ａ,B,C，D，E，Ｆ。我們先證明存在一個(gè)同色的三角形:考慮由Ａ點(diǎn)引出的五條線段ＡB，AC，AD,AE，AＦ,其中必然有三條被染成了相同的顏色，不妨設(shè)AB，AC，AD同為紅色。再考慮△ＢＣD的三邊:若其中有一條是紅色,則存在一個(gè)紅色三角形;若這三條都不是紅色，則存在一個(gè)藍(lán)色三角形。下面再來證明有兩個(gè)同色三角形：不妨設(shè)△AＢＣ的三條邊都是紅色的。若△ＤEＦ也是三邊同為紅色的,則顯然就有兩個(gè)同色三角形；若△ＤEF三邊中有一條邊為藍(lán)色,設(shè)其為DE,再考慮DＡ,DB，DC三條線段:若其中有兩條為紅色，則顯然有一個(gè)紅色三角形；若其中有兩條是藍(lán)色的，則設(shè)其為DA,DB。此時(shí)在EA，EB中若有一邊為藍(lán)色,則存在一個(gè)藍(lán)色三角形；而若兩邊都是紅色,則又存在一個(gè)紅色三角形。故不管如何涂色，總可以找到兩個(gè)同色的三角形。二、賦值法將問題中的某些對象用適當(dāng)?shù)臄?shù)表達(dá)之后，再進(jìn)行運(yùn)算、推理、解題的方法叫做賦值法。許多組合問題和非傳統(tǒng)的數(shù)論問題常用此法求解。常見的賦值方式有：對點(diǎn)賦值、對線段賦值、對區(qū)域賦值及對其他對象賦值。例8一群旅游者,從Ａ村走到Ｂ村,路線如下圖所示。如何走才干在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)B村?圖中的數(shù)字表達(dá)走這一段路程需要的時(shí)間（單位：分)。解：我們先把從A村到各村的最短時(shí)間標(biāo)注在各村的旁邊，從左到右，一一標(biāo)注,如下圖所示。由此不難看出，按圖中的粗黑線走就能在最短時(shí)間（６0分鐘)內(nèi)從A村走到B村。例9把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。問：有無也許使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)?請說明理由。解：假設(shè)題中所設(shè)想的染色方案可以實(shí)現(xiàn),那么每條直線上代表各點(diǎn)的數(shù)字之和便應(yīng)都是奇數(shù)。一共有五條直線，把這五條直線上代表各點(diǎn)的數(shù)字之和的這五個(gè)奇數(shù)再加起來，得到的總和數(shù)仍應(yīng)是一個(gè)奇數(shù)。但是,由觀測可見，圖中每個(gè)點(diǎn)都恰好同時(shí)位于兩條直線上，在求上述總和數(shù)時(shí)，代表各點(diǎn)的數(shù)字都恰被加過兩次,所以這個(gè)總和應(yīng)是一個(gè)偶數(shù)。這就導(dǎo)致矛盾,說明假設(shè)不成立，染色方案不能實(shí)現(xiàn)。例10平面上ｎ(n≥2)個(gè)點(diǎn)A１,A２,…,An順次排在同一條直線上，每點(diǎn)涂上黑白兩色中的某一種顏色。已知Ａ1和An涂上的顏色不同。證明:相鄰兩點(diǎn)間連接的線段中，其兩端點(diǎn)不同色的線段的條數(shù)必為奇數(shù)。證明:賦予黑點(diǎn)以整數(shù)值１,白點(diǎn)以整數(shù)值２,點(diǎn)Aｉ以整數(shù)值為aｉ,當(dāng)Aｉ為黑點(diǎn)時(shí),ai=1,當(dāng)Ai為白點(diǎn)時(shí),ai=２。再賦予線段ＡiＡｉ+１以整數(shù)值ai+ａi＋1,則兩端同色的線段具有的整數(shù)值為2或4，兩端異色的線段具有的整數(shù)值為3。所有線段相應(yīng)的整數(shù)值的總和為（a1+a2)+(a2＋a3)＋（a3＋a４)+…＋(aｎ-1＋an）＝a１+an+2(a2+a３+…+an-1)＝2+１＋2(ａ2+a３＋…＋an－１)＝奇數(shù)。設(shè)具有整數(shù)值2,3,４的線段的條數(shù)依次為l,m,n，則２ｌ＋ｍ+4n＝奇數(shù)。由上式推知,m必為奇數(shù),證明完畢。例11下面的表1是一個(gè)電子顯示盤,每一次操作可以使某一行四個(gè)字母同時(shí)改變,或者使某一列四個(gè)字母同時(shí)改變。改變的規(guī)則是按照英文字母的順序，每個(gè)英文字母變成它的下一個(gè)字母（即A變成B，B變成Ｃ……Z變成A）。問：能否通過若干次操作,使表1變?yōu)楸?？假如能,請寫出變化過程，假如不能,請說明理由。ＳOBRＫBDSTZFPHEXGHOCNＲＴBＳADVXCFYA表１表2解:不能。將表中的英文字母分別用它們在字母表中的序號(hào)代替（即Ａ用1，Ｂ用２……Z用26代替)。這樣表１和表2就分別變成了表3和表４。每一次操作中字母的置換相稱于下面的置換：１→2，２→3，…，２5→26，2６→1。１９１52182０26６１681531４１4２２24表３11２４19852471820219３6251表4容易看出,每次操作使四個(gè)數(shù)字改變了奇偶性,而１6個(gè)數(shù)字的和的奇偶性沒有改變。由于表3中１6個(gè)數(shù)字的和為21３，表4中16個(gè)數(shù)字的和為１7４,它們的奇偶性不同，所以表3不能變成表4，即表１不能變成表2。例1２如圖（1)～(６）所示的六種圖形拼成右下圖,假如圖(1）必須放在右下圖的中間一列，應(yīng)如何拼?解：把右上圖黑、白相間染色(見上圖)。其中有１1個(gè)白格和10個(gè)黑格，當(dāng)圖形拼成后,圖形（２）(４)(５)(６）一定是黑、白各2格，而圖形（3)必須有３格是同一種顏色，另一種顏色1格。由于前四種圖形，黑、白已各占2×４=8（格），而黑格總共只有1０格，所以圖形（３)只能是３白1黑。由此知道圖(1）一定在中間一列的黑格，而上面的黑格不也許,所以圖(1)在中間一列下面的黑格中。那么其它圖形如何拼呢？為了說明方便，給每一格編一個(gè)數(shù)碼(見左下圖）。由于圖(3)是3白1黑，所認(rèn)為使角上不空出一格，它只能放在(1，3,4,5）或（7，12,1３，1７）或（１１,15,16，21)這三個(gè)位置上。若放在（１,3，4，5)位置上,則圖（6)只能放在（7,12，１3，1８)或(15,16，19，20）或（2,7,8，13)這三個(gè)位置，但是前兩個(gè)位置是明顯不行的,否則角上會(huì)空出一格。若放在（2，7,8，1３）上,則圖（2）只能放在(1２,１7,18，19）位置上，此時(shí)不能同時(shí)放下圖(４）和圖(5）。若把圖(3）放在(7,1２,13,17）位置上,則方格１這一格只能由圖(2)或圖(６）來占據(jù)。假如圖（2)放在（1，2,3,４）,那么圖(6)無論放在何處都要出現(xiàn)孤立空格；假如把圖(6）放在（1,4,５,10),那么２,3這兩格放哪一圖形都不合適。因此，圖形(３）只能放在（１1，１5,16，21）。其余圖的拼法如右上圖。練習(xí)1１1.中國象棋盤的任意位置有一只馬，它跳了若干步正好回到本來的位置。問：馬所跳的步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？2．右圖是某展覽大廳的平面圖,每相鄰兩展覽室之間都有門相通。今有人想從進(jìn)口進(jìn)去,從出口出來，每間展覽廳都要走到，既不能反復(fù)也不能漏掉，應(yīng)如何走法？3.能否用下圖中各種形狀的紙片(不能剪開）拼成一個(gè)邊長為9９的正方形（圖中每個(gè)小方格的邊長為１）？請說明理由。4．用15個(gè)１×4的長方形和１個(gè)2×2的正方形，能否覆蓋８×8的棋盤?5.平面上不共線的五點(diǎn),每兩點(diǎn)連一條線段,并將每條線段染成紅色或藍(lán)色。假如在這個(gè)圖形中沒有出現(xiàn)三邊同色的三角形,那么這個(gè)圖形一定可以找到一紅一藍(lán)兩個(gè)“圈”(即封閉回路)，每個(gè)圈恰好由五條線段組成。６.將正方形ABCD分割成ｎ2個(gè)相等的小正方格,把相對的頂點(diǎn)A,C染成紅色，B，D染成藍(lán)色,其他交點(diǎn)任意染成紅、藍(lán)兩種顏色之一。試說明：恰有三個(gè)頂點(diǎn)同色的小方格的數(shù)目是偶數(shù)。7.已知△AＢＣ內(nèi)有ｎ個(gè)點(diǎn),連同A，B,Ｃ三點(diǎn)一共(n＋3)個(gè)點(diǎn)。以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)將△ABＣ提成若干個(gè)互不重疊的小三角形。將Ａ,B,C三點(diǎn)分別染成紅色、藍(lán)色和黃色。而三角形內(nèi)的n個(gè)點(diǎn),每個(gè)點(diǎn)任意染成紅色、藍(lán)色和黃色三色之一。問：三個(gè)頂點(diǎn)顏色都不同的三角形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？8.從10個(gè)英文字母A，B，C,D，Ｅ,F，Ｇ,X,Y,Z中任意選5個(gè)字母(字母允許反復(fù)）組成一個(gè)“詞”，將所有也許的“詞”按“字典順序”(即英漢辭典中英語詞匯排列的順序)排列，得到一個(gè)“詞表”:AAAAA,ＡAAAB,…,AAＡＡZ，ＡAABA，ＡAABＢ，…,ZＺＺZY，ＺZZＺＺ。設(shè)位于“詞”ＣＹＺGB與“詞”XEFDＡ之間(這兩個(gè)詞除外）的“詞”的個(gè)數(shù)是k，試寫出“詞表”中的第ｋ個(gè)“詞”。練習(xí)1１答案：１.偶數(shù)。解：把棋盤上各點(diǎn)按黑白色間隔進(jìn)行染色（圖略）。馬如從黑點(diǎn)出發(fā)，一步只能跳到白點(diǎn),下一步再從白點(diǎn)跳到黑點(diǎn),因此，從原始位置起相繼通過:白、黑、白、黑……要想回到黑點(diǎn),必須黑、白成對，即通過偶數(shù)步,回到本來的位置。２.不能。解:用白、黑相間的方法對方格進(jìn)行染色(如圖)。若滿足題設(shè)規(guī)定的走法存在，必然從白色的展室走到黑色的展室,再從黑色的展室走到白色的展室，如此循環(huán)往復(fù)?，F(xiàn)共有36間展室，從白色展室開始,最后應(yīng)當(dāng)是黑色展室。但右圖中出口處的展室是白色的，矛盾。由此可以鑒定符合規(guī)定的走法不存在。3.不能。解:我們將99×99的正方形中每個(gè)單位正方形方格染上黑色或白色，使每兩個(gè)相鄰的方格顏色不同，由于99×99為奇數(shù),兩種顏色的方格數(shù)相差為1。而每一種紙片中,兩種顏色的方格數(shù)相差數(shù)為0或3,假如它們能拼成一個(gè)大正方形，那么其中兩種顏色之差必為3的倍數(shù)。矛盾?。?不能。解:如圖，給８×８的方格棋盤涂上4種不同的顏色(用數(shù)字1,2，3，4表達(dá))。顯然標(biāo)有1,2,3,４的小方格各有16個(gè)。每個(gè)1×4的長方形恰好蓋住標(biāo)有1,２,３,4的小方格各一個(gè)，但一個(gè)２×2的正方形只能蓋住有三種數(shù)字的方格,故無法將每個(gè)方格蓋住，即不也許有題目規(guī)定的覆蓋。5.證:設(shè)五點(diǎn)為Ａ，B,C，D，Ｅ?？紤]從Ａ點(diǎn)引出的四條線段:假如其中有三條是同色的，如AＢ，AC，ＡＤ同為紅色，那么△ＢCＤ的三邊中，若有一條是紅色，則有一個(gè)三邊同為紅色的三角形;若三邊都不是紅色，則存在一個(gè)三邊同為藍(lán)色的三角形。這與已知條件是矛盾的。所以，從A點(diǎn)出發(fā)的四條線段,有兩條是紅色的，也有兩條是藍(lán)色的。當(dāng)然,從其余四點(diǎn)引出的四條線段也恰有兩條紅色、兩條藍(lán)色，整個(gè)圖中恰有五條紅色線段和五條藍(lán)色線段。下面只看紅色線段，設(shè)從A點(diǎn)出發(fā)的兩條是AB,AE。再考慮從B點(diǎn)出發(fā)的另一條紅色線段,它不應(yīng)是BE,否則就有一個(gè)三邊同為紅色的三角形。不妨設(shè)其為BD。再考慮從D點(diǎn)出發(fā)的另一條紅色線段,它不應(yīng)是ＤE，否則從C引出的兩條紅色線段就要與另一條紅色線段圍成一個(gè)紅色三角形，故它是DＣ。最后一條紅色線段顯然是CＥ