2021年廣東省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案詳解）

2021年廣東省佛山市南海區(qū)石門中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.（2021?廣東省佛山市?模擬題）已知U=R,函數(shù)y=ln（l-乃的定義域為集合N=

{x|2x-->0},則Mn（CuN）=（）

A.（—8,0]B.（0,1）C.LU）D.[2,+8）

2.（2019?廣東省佛山市?單元測試）設(shè)（l+i）（x—yi）=2,其中x,y是實數(shù)，i是虛數(shù)

單位，則x+y=（）

A.1B.V2C.V3D.2

3.（2021?廣東省佛山市?模擬題）在一個拋硬幣的游戲里，拋出的前2個硬幣都是正面

朝上，則在拋第3個硬幣時，正面朝上的概率為（）

A.B.；C.1D.1

三8428

4.（2021?內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市?單元測試）若/,〃，是兩條不同的直線，機垂直于平面a,

則“/，死”是，〃a”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2021?廣東省佛山市?模擬題）如圖，圓柱。。1的軸截面

4BB1&是正方形，E分別是44和的中點，C是弧Q

的中點，則經(jīng)過C、。、E的平面與圓柱OR側(cè)面相交所得°￡

到的曲線的離心率是（）兌卜“

A.1

B.在

2

C.V2

D.立

2

6.（2021?廣東省佛山市?模擬題）己知蒼，另是單位向量，且3+加=（1,一1），若向量=

a-b,則五與下的夾角為（）

A.*BjegD*

7.（2021?廣東省佛山市?模擬題）（/+2ax-a>的展開式中各項的系數(shù)和為1024,則

a的值為（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2021.廣東省佛山市?模擬題）已知兩點M（l,3）,N（-2,—3）,在曲線上存在點P滿足

|MP|=|NP|的曲線方程是（）

A.2x+4y-1=0B.M+y2=,

C.乃+%2=iD.光—M=1

22

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.（2021?廣東省湛江市?單元測試）設(shè)a,b為正實數(shù)，現(xiàn)有下列命題中的真命題有（）

A.若a?—爐=1,則a—b<lB.若，一：=1，則a—b<l

C.若=1,則|a-b|<lD.若IcP—J3|=i,則|a-b|<l

10.（2021?廣東省佛山市?模擬題）已知函數(shù)/（x）=以71（2丫+2-，），則以下結(jié)論正確的是

（）

A.f（x）為奇函數(shù)

B.f（x）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

C.曲線y=/（x）在（0,7（0））處的切線的斜率為ln2

D.函數(shù)/（%）有三個零點

11.（2021?廣東省佛山市?模擬題）中國飲食文化是有著長遠歷史，博大精深的中國文化.

譬如粽子，有人說是因為紀念愛國詩人屈原人們用艾葉或葦葉、荷葉包住食物，用

五色絲線捆好，投江祭奠；也有人說是為了清明節(jié)紀念晉文公名臣介子推.現(xiàn)在粽

子已演變出不同品種、不同類別，很多地方逢年過節(jié)懷著美好祝愿以粽子為食物.其

中一種粽子被包成比較對稱的四面體形狀.現(xiàn)有一只質(zhì)地均勻的粽子程棱長為12的

四面體ABCD,兄弟三人分食此粽.大哥將粽子平放桌面上（面8CO在桌面），準備

用垂直于桌面的兩刀將粽子體積三等分，忽略粽子的變形，第一刀經(jīng)過了棱AB上

點E,切截面與棱BC,BO均相交；則以下結(jié)論正確的是（）

A.若AE=2,第一刀切底面所得的三角形面積是定值

B.若獨=2,截面截底面兩邊的長度為『及『

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C.點E能與點A重合

D.若第二刀將剩余部分分為全等的兩塊，則8E長為6傷

12.(2021?廣東省佛山市?模擬題)已知曲線C的方程為尸(x,y)=0,集合7=

｛(x,y)|F(x,y)=0｝,若對于任意的(乙,%)CT,都存在(必,月)C7,使得共小+

y,2=0成立，則稱曲線C為2曲線，下列方程所表示的曲線中，￡曲線的序號是().

A.|x|-|y|=1

B.y-ex—2

C.y=log2x

D.(2x-y+l)(|x-1|+|y-2|)=0.

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.(2021?廣東省佛山市?模擬題)梯形ABC。中，AD//BC,ABLAD,AD=AB=1,

BC=2,分別以48、BC、AO為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為

14.(2021.廣東省佛山市.模擬題)若“mxG[4,6],x2-ax-l>0”為假命題，則實數(shù)

。的取值范圍為.

15.(2021?廣東省佛山市?模擬題)在某次模擬中，全年級的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布

N(93.1,49).據(jù)此估計：在全年級同學(xué)中隨機抽取的4名高三同學(xué)中，恰有2名同學(xué)

的數(shù)學(xué)成績超過93.1分的概率是.

16.(2018?江西省上饒市?模擬題)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為產(chǎn)，準線/,A、B是

拋物線上的兩個動點，且滿足N4FB=今設(shè)線段A8的中點M在/上的投影為N,

則鬻的最大值是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.(2020.全國?模擬題)已知數(shù)列｛廝｝的前"項和為Sn，且滿足2an-S"=l(n)N*).

(I)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(II)設(shè)垢=log2(l+Sn),求數(shù)列｛m一｝的前〃項和7；.

°nDn+i

18.(2021.廣東省佛山市.模擬題)在△4BC中，AB=3,BC=4,線段8。是NB的角平

分線，且SMBD=6.

⑴求SABCD；

(2)若4847=泰乙4BO=a(a<^),求sin(2a+》的值.

19.(2021.廣東省佛山市.模擬題)在某次校園科技節(jié)游園活動中，數(shù)學(xué)興趣小組的攤位

開展了一個特別的投骰子游戲.如果玩家投中1或者6可得1分，并且可以繼續(xù)下一

次投骰子，如果結(jié)果為2到5則游戲結(jié)束，但游戲的次數(shù)最多不超過"次.以X表示

游戲結(jié)束時玩家累計獲得的分數(shù).

(1)求玩家至少獲得2分(n>2)的概率；

(2)求X的分布列；

(3)求X的數(shù)學(xué)期望.

20.(2021?廣東省佛山市.模擬題)如圖,P。1面28。,

四邊形ABC力是邊長為1的為正方形；點E在線段

PC上，—=m.

EC

⑴若PZ〃面EBZ),求m值；

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(2)若PC_1_面E8D,棱錐E-BCD體積取得最大值，求四棱錐P-ZBCD的高.

21.(2021?廣東省佛山市?模擬題)已知動圓P過點4(—夜,0)且與圓(X—e)2+y2=12

相內(nèi)切.

①求動圓圓心P的軌跡方程D.

②直線/過原點,且與軌跡D有兩個交點M,N.軌跡D上是否存在一點。，使AQMN

為正三角形，若存在，求出。的坐標，若不存在，說明理由.

22.(2021?廣東省佛山市?模擬題)設(shè)函數(shù)/'(%)=1+x-2sinx-e-ax,x>0.

(1)當(dāng)a2|時，證明：f(x)>0；

(2)當(dāng)Q=1時，證明:/(%)有唯一零點.

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答案和解析

1.【答案】A

【知識點】交、并、補集的混合運算

【解析】解：由1一萬>0,解得：x<l,

故函數(shù)y=ln(l—x)的定義域為M=(—00,1),

集合N={x\2x—x2>0}={x|0<x<2],

故CuN={x\x<?；騲>2],

Mn(CQN)=(-oo,0].

故選：A.

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出集合M,求出N的補集，找出M與N補集的交集即可.

本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域，突出集合中交、補集的混合運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【知識點】復(fù)數(shù)的四則運算

【解析】解：丫(1+i)(x-yi)=2,

???x+y+(%—y)i=2,

x+y=2,x—y=0.

故選：D.

利用復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【知識點】古典概型的計算與應(yīng)用

【解析】解：因為每次拋硬幣都是相互獨立的，

所以在拋第3個硬幣時，正面朝上的概率為也

故選：C.

利用相互獨立事件的定義即可得到答案.

本題考查了相互獨立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷、空間中直線與平面的位置關(guān)系

【解析】

【分析】

本題考查空間直線與平面垂直與平行關(guān)系的應(yīng)用，充要條件的判斷，基本知識的考查.

利用直線與平面平行與垂直關(guān)系，判斷兩個命題的充要條件關(guān)系即可.

【解答】

解：/,相是兩條不同的直線，機垂直于平面a,

則“11m"可能一〃a”也可能/ua,

反之，“，〃a”一定有“，_LnT,

所以/,機是兩條不同的直線，機垂直于平面a,

則-1m”是“〃/a”的必要而不充分條件.

故選:B.

5.【答案】B

【知識點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺、球）及其結(jié)構(gòu)特征

【解析】解：設(shè)軸截面的正方形的邊長為2,設(shè)G是Ci

弧8送1的中點，且與C關(guān)于圓柱的中心對稱，A二'7^^

由題意可知，截面曲線為橢圓，橢圓的短軸長為2,-----'----M

長軸GC=2&,k；i

所以長半軸長a=近，短半軸長b=l,0：k

故半焦距為c=Va2—b2=1,N：/

所以橢圓的離心率為e=（=￥.4

故選：B.Q

根據(jù)平面與圓柱的截線為橢圓，求出橢圓的長半軸長

和短半軸長，即可求出半焦距，由橢圓的離心率定義求解即可.

本題考查了空間幾何體的截面問題，橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，考查了空間想象能

力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【知識點】向量的數(shù)量積

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【解析】解：根據(jù)題意，由刁+另=(1,一1),貝1」國+旬=疙，則有12+才+2五.方=

12+(-1)2=2,

因為五，3是單位向量，所以1+1+2Q?3=2,得五?石=0，

則|五一匕』二方之+8—2a-b=21\a-b\=V2,

U匚I、1/-*t、a，(a*-b)a~ci'b1A/2

所以cos(a,c)=cos(a,a-b)==&=三,

所以五與五一石的夾角為也

故選：B.

根據(jù)題意，求出|日+3|的值，變形可得了小=0，進而計算|方-的值，由向量夾角

的計算公式計算可得答案.

本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量的模、夾角的計算，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【知識點】二項式定理

【解析】解：賦值法:令x=1可知得,展開式中各項系數(shù)的和為(a+1產(chǎn)=1024,Aa=3,

故選：C.

令x=1可知得，展開式中各項系數(shù)的和.

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項

式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【知識點】圓有關(guān)的軌跡問題

【解析】解：由題意可得，點P滿足|MP|=|NP|,則

P點在MN的中垂線上，線段的中點坐標為(一：,0),^^=白消=2,

故中垂線的斜率為-a

所以MN中垂線的方程為y=+即2久+4y+1=0,

所求問題即為判斷中垂線2x+4y+1=0與曲線是否有交點，

對于A,因為直線2x+4y-1=0與中垂線2x+4y+1=0平行，無交點，故選項A錯

、口

1天；

對于B,圓/+y2=表的圓心為(0,o),半徑為以

則圓心到中垂線的距離為d=~^=>占

V2Z+4Z5

所以中垂線與圓相離，無交點，故選項B錯誤；

對于C,聯(lián)立方程組收+/=1,可得18y2+8y—3=0,

\2x+4y+1=0

因為△=82+18x4x3>0,故方程組有解，所以有交點，故選項C正確；

V22

T-X=1,可得14y2+8y+5=0,

(2久+4y+1=0

因為△=82-14x4x5<0,故方程組無解，所以無交點，故選項。錯誤.

故選：C.

由題意可知，P點在MN的中垂線上，求出中垂線方程，將問題轉(zhuǎn)化為判斷中垂線2x+

4y+1=0與曲線是否有交點，依次判斷四個選項即可.

本題考查了曲線與方程的應(yīng)用，直線與直線位置關(guān)系，直線與橢圓以及雙曲線的位置關(guān)

系的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

9.【答案】AD

【知識點】比較大小

【解析】解：若a2—挾=1,則a?—1=爐,BP(a+l)(a-1)=b2,va+1>a-1,

?1?a—l<b<a+l,即a—b<l,A正確；

若"二=1,可取a=7,b=I，則a—b>1,錯誤；

ba8

若—VF|=1,則可取a=9,b=4,而|a-b|=5>1,；.C錯誤；

由佃3一心|=1,

若a>b>0,則a，—b3=1,即(a—l)(a2+a+1)=h3,va2+1+a>b2,?-a-1<

b,即a—b<1

若0<a<b,則?！猘3=1,即(b—1)(爐+1+b)=a3,b2+1+b>a2,.1.b—1<

a,即b—a<1

二。正確.

故選：AD.

A將a2-/)2=i,分解變形為(a+l)(a-l)=b2,即可證明a—l<b,即a—b<l；

3c可通過舉反例的方法證明其錯誤性；。若a>b,去掉絕對值，將a3-b3=l分解變

形為(a-l)(a2+1+a)=/,即可證明a-b<1,同理當(dāng)a<b時也可證明b-a<1,

從而命題。正確.

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本題主要考查了不等式的證明方法，間接證明和直接證明的方法，放縮法和舉反例法證

明不等式，演繹推理能力，有一定難度，屬中檔題.

10.【答案】ABC

【知識點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】解：對于4函數(shù)/(x)的定義域為R，且有/(—X)=(-x)ln(2'+2-x)=

-xln(2x+2-x)=-f(x),則/(久)為奇函數(shù)，故A正確；

對8,當(dāng)xe(0,+8)時,y=X為增函數(shù)，而y=2X+2-X>2,^\ln(2x+2-x)>ln2>0,

當(dāng)(0,+8)時，y=2了+2-為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)=%111(2方+2-力在區(qū)間(0,+8)

上單調(diào)遞增.故B正確；

對C,設(shè)做x)=ln(2x+2-x),于是=x/i(x),有f'(x)=x'h(x)+x〃(x),得f'(0)=

/i(0)=ln2,故C正確;

對。，由f(x)=0,可得x=0或ln(2，+2r)=0,由4+2-22,可得/(%)只有一

個零點，故。錯誤.

故選：ABC.

由函數(shù)的奇偶性的定義，可判斷A；由一次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性

的性質(zhì)，可判斷B；設(shè)h(x)=ln(2、+2r),可得/'(X)=xh(x),求得導(dǎo)數(shù)，令％=0,

可得切線的斜率，可判斷C；由/(x)=0,解方程可判斷D

本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性，以及函數(shù)的零點和奇偶性的判斷，考查

方程思想和運算能力，屬于中檔題.

11.【答案】AB

【知識點】圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積、表面積和體積、命題及其關(guān)系

【解析】解：設(shè)第一切交邊BC、8。分別交于G、H,不失一般性，設(shè)設(shè)8c

中點為W,A、E在底面的射影分別為O、F,則FeB。；設(shè)=xBD,BM=yBC{x>y),

第=需=九則而=4瓦？

BF=t^H+(1-t)~BMABO=tx-JD+(^1-f)-y-BC

又南=海+環(huán)則*x=(1)y從而"瀉①紀第照鬻=的=

泅

2

對于A選項：當(dāng)AE=2時，2=|，貝1J孫=|，S〉BGH=盯,S^BCD=|x12xR為定值，

故A正確;

對于8選項：聯(lián)立①②解得：x=竺野,V=登薩，故邊長為12%=生詈①l2y=

216-1277^故8正確;

25

對于C選項：此時；1=1,此時聯(lián)立①②無解，故C錯誤;

對于。選項：此時應(yīng)有GH1B0,即*=、，聯(lián)立①②有4=苧,

故BE-AAB=6-V6,故。錯誤.

故選：AB.

直接利用向量的線性運算，幾何體的相關(guān)的運算判斷A、B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識要點：向量的線性運算，幾何體的相關(guān)的運算，主要考查學(xué)生的運算能

力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

12.【答案】BD

【知識點】曲線與方程

【解析】解：對于A,當(dāng)PM/,%)為(1,0)時，曲線上不

存在點「2。2沙2)eC,使OP】LOP?.故A不是￡曲線；:/

對于B,M=((x,y)\y=ex-2},如下圖虛線的直角始J/

終存在，對于任意(看,曠1)eM,存在(%2，y2)eM,使得_：廠_/；~~pn~~}~~5-二

x62+y/2=0成立，例如取M(0,T)，則N(m2,0),滿

足2曲線；

對于C,M={(x,y)|y=log2x},取點(1,0),曲線上不存在另外的點，使得兩點與原點

的連線互相垂直，所以不是“2曲線”；

對于￡),由(2x-y+l)(|x-1|+|y-2|)=0可得2x-y+1=0或點(1,2),.?.對于任

意Pl—eC,存在「2(犯,為)eC,使OP11%?故(2%-y+1)(1%-l|+|y-2|)=

o為2曲線.

故選：BD.

結(jié)合新定義，利用特殊點，判斷4利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合新定義判斷B；特殊點判斷C；

利用新定義判斷。即可.

本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題.

13.【答案】y

【知識點】旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺、球)及其結(jié)構(gòu)特征

第12頁，共21頁

【解析】解：由題意可知，四邊形ABC。是直角梯形，且48為直角腰，且AB=4。=1,

BC=2,

①若以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體為圓臺，且圓臺的上底面半徑為1,下底面

半徑為2,高為1,

所以幾何體的體積為匕=|(7T+47T+V?r-47T)-1=y;

②若以BC為軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體是由一個圓柱和一個圓錐組合而成，

圓柱、圓錐的底面半徑均為1,高均為1,

所以幾何體的體積為眩=7rxl2xl+|x7rxl2xl=y；

③若以AZ)為軸選擇一周，則形成的幾何體是在一個圓柱中挖去一個圓錐所形成的幾何

體，

圓柱的底面半徑為1,高為2,圓錐的底面半徑與高均為1,

所以幾何體的體積為匕=7rxl2x2-ix7rxl2xl=y.

因為匕>v3>v2,

所以分別以A8、BC、AO為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為與.

故答案為：.

以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體為圓臺，以3c為軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體

是由一個圓柱和一個圓錐組合而成，以AO為軸選擇一周，則形成的幾何體是在一個圓

柱中挖去一個圓錐所形成的幾何體，分別求出所形成的幾何體的體積，比較大小即可得

到答案.

本題考查了旋轉(zhuǎn)體的體積問題，解題的關(guān)鍵是弄清旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考

查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題.

14.【答案】[今+8)

O

【知識點】命題及其關(guān)系、全稱量詞、存在量詞

【解析】解：？3xG[4,6],x2-ax-l>0為假命題，

???VxG[4,6],——ax-1W0恒成立，所以x-：Wa在[4,6]恒成立，

所以a2。一且％6[4,6],

又因為/0)=X一：在[4,6]上是增函數(shù)，

所以fCOmax=f(6)=6-5=當(dāng),

所以a2管

o

故答案為：[當(dāng)I+8).

o

由題意可得Vxe[4,6],x2-ax-l<0恒成立恒成立，再利用分參求最值，由此求得a

的范圍.

本題主要考查函數(shù)的成立和恒成立問題，分參求最值，屬于中檔題.

15.【答案】1

O

【知識點】正態(tài)曲線及其性質(zhì)

【解析】解：由題意，可得每名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績f?N(93.1,49),

所以P(f>93.1)=土

則全級隨機抽取的4名同學(xué)中恰有2名的成績超過93.1的概率是P=盤?)4=|

故答案為:|.

O

先利用正態(tài)分布求出一個同學(xué)成績超過93.1的概率，然后利用二項分布的概率公式求解

即可.

本題考查正態(tài)分布與二項分布的應(yīng)用，要掌握正態(tài)分布曲線的特點以及曲線所表示的意

義，二項分布的概率公式，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】立

2

【知識點】拋物線的性質(zhì)及幾何意義

【解析】解：設(shè)|4F|=a,|BF|=b,

A、B在準線上的射影點

分別為。、P,連接AQ、BQ

由拋物線定義，得4H=且

\BF\=\BP\,

在梯形ABPQ中根據(jù)中位線定理，

得2|MN|=\AQ\+\BP\=a+b.

由勾股定理得|4B|2=a2+b2,

整理得：\AB\2=(a+h)2-2ab,

第14頁，共21頁

、Q+bo

???(a+b)2-2ab>(a+fe)o2-2x(-y-)2

=|(a+/))2,

則|AB|>y(a+b).

1

|MN|江+切V2

網(wǎng)-V2(a+b)-2

2

即的最大值為它.

2

故答案為：立.

2

設(shè)［4尸|=a、田尸|=b,由拋物線定義結(jié)合梯形的中位線定理，得2|MN|=a+b.再由

勾股定理得|4B|2=a2+b2,結(jié)合基本不等式求得|4B|的范圍，從而可得的最大值.

本題考查拋物線的定義、簡單幾何性質(zhì)，基本不等式求最值，余弦定理的應(yīng)用等知識,

屬于中檔題

17.【答案】解：(I)???2an-Sn=1,令n=1,解得劭=l.n>2,又2斯_1-S..i=1,

兩式相減，得an=2an_i，

???5｝是以a】=l為首項，q=2為公比的等比數(shù)列，.?.an=2"T；

1iii

ntl-----=-------

(II),?,1+Sn=2,-?,bn=log2(l+Sn)=log22=n,7i(n+l)--

bnbn+ln----n+1

n

啟+而+…+拓而=a一w)+q—p+…+(「/=i一記n+1

【知識點】數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列求和方法

【解析】(I)先求數(shù)列的首項，再研究數(shù)列｛斯｝相鄰項的關(guān)系，得出通項公式;

(□)先求土,再求勾，然后利用裂項相消法求7；.

本題主要考查數(shù)列通項公式的求法及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)???BD平分乙4BC,

???Z-ABD=乙DBC,

.S-BD_iBBDsinABD_竺_三

S&BCD-^BDBCsin￡DBCBC4'

44

S&BCD=-SHABD=-x6=8.

(2)如圖，過點A作AEJ.BD交8。于點E,并延長4E交BC于點凡

???8。平分"BC,S.AE1BD,

AB廣為等腰三角形，[BF=BA=3,CF=BC-BF=1,

在△ABE中，/.BAE=1—Z.ABD—a,AE=AB-sinZ-ABD=3sina,

Z.FAC=^.BAC-^BAE=---a)=a-

AF—2AE=Gsina,

在△AC尸中，由正弦定理得，=

sm^FACsinC

1_6sina

,,~"zrT-T~~~~7r7,

sm(a--)sin(2a+-)

63

???sin(2a+g)=6sina-sin(a—^)=6sina?(^-sina—|cosa)=3V3?—。產(chǎn)?！??

—siTi2.cc——3si?i(2a4--)d—1―,

???sin(2a+$=浮

又0<a〈也

<2a+gV.?.cos(2a+-)=—，

332v378

n71nnnnn

???sin(2a+-)=sin[(2a+—)——]=sin(2a+-)cos——cos(2a+—)sin—

_3V3V3V371_9-V37

-XZX—---

828216

【知識點】正弦定理

【解析】(1)結(jié)合角分線的性質(zhì)和三角形的正弦面積公式，求得鬻的值，即可得解；

(2)過點A作ZE1BD交8。于點E,并延長AE交BC于點F,可得CF=1,4凡4c="也

AF=6sina,然后在△4CF中，結(jié)合正弦定理和三角恒等變換公式，推出sin(2a+》=

不，再根據(jù)2a+￡=(2a+g)一會利用兩角差的正弦公式，得解.

本題考查解三角形與三角恒等變換的綜合，熟練掌握正弦定理、三角形面積公式、二倍

角公式和輔助角公式等是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)在單次投骰子中，投中1或者6的概率為右投中2到5的概率為

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分)

.?,P(X=0)=|,P(X=l)=lx|=|......(2分)

P(X>2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-f-i=i......(4分)

(2)X的可能取值為0,1,2,…...，n......(5分)

依題意得P(X=k)=x|(k=0,1,2....n-1)......(6分)

P(X=n)=(i)n......(7分)

所以X的分布列為：

X012n—1n

21212

P(式9

33X3（2年（孑

......(8分)

⑶E(X)=1x[x|+2xg2x|+…...+(n—1)x?…x|+nx(#……(9分)

121,21.212n

=lx-x-+2x(-)2x-++(n-1)xx-+nx(-)nx-+-

11

X(3)n……①/(X)

2

1212

3-+n

=1x卬2x-+2x(-)x-+-...+(n-1)x3

1

X(3)n+1.…②

①一②得：|E（X）=|X（!+（|）2+C）3+.....,+G）與(10分)

2

=-X----—分)

31%(11

整理得E（X）=久1-（力1）......（12分）

【知識點】離散型隨機變量的期望與方差、離散型隨機變量及其分布列

【解析】(1)在單次投骰子中，投中1或者6的概率為右投中2到5的概率為|,然后利

用對立事件的概率求解即可.

(2)X的可能取值為0,1,2,……，〃，求出概率，得到分布列.

(3)求解期望的表達式，利用錯位相減法求解期望即可.

本題考查離散型隨機變量的分布列的分布列的求法，期望的求法，數(shù)列求和方法的應(yīng)用,

是中檔題.

20.【答案】解：(1)設(shè)4CnBD=0.

vPAu面PAC,面PACC面E8D=EO,

PA〃面EBD,

PA//EO

EOCECO1y

???-=—=—=m=1.

PACPCA2

(2)解法一:以A為坐標原點,AB,AD,

AC所成直線分別為x,y,z軸，建立如

圖所示空間直角坐標系，

設(shè)p(o,o,p),有.前=(一1,1,0),PC=x

(1,1，—P)

設(shè)方=n而，則而=團+謂=(-n,-n,np)，

???PCIffiEBD,PC1EB,

???PC■BF=—n+(1—n)—np-p=0,得：n=

因為E-BCD的底面ABCD不變，故即E到面BCD的距離取最大值.

Jp1.1

E到面BCD的距離d=用3=西=不|W三萬，

當(dāng)僅當(dāng)p=i即p=加時取最大值.

故四棱錐P-4BCD的高為近.

解法二：設(shè)4CCB0=0.4P4c中，作EH〃PA,交AC于凡

???PAIffiABCD,：.EHiffiABCD,E/7就是E至U面BCO的距離，

因為E—BCD的底面ABCD不變，所以求四棱錐P—ABC。的高，即求EH最大時PA的

值.

???PC_L面EBD,OEu面EBD,0E1PC.

故E在以O(shè)C為直徑的半圓上，

當(dāng)EH取最大值時，E”為圓的半徑，〃為圓心.

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此時篙=符=瑞=4,P4=4EH=4XmC|=a

【知識點】圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積、表面積和體積、線面平行的判定

【解析】⑴設(shè)ACn8。=。，推導(dǎo)出PA〃E。，則穿=W=當(dāng)=；,由此能求出m

inCrC/iN

（2）法一：以A為坐標原點，AB,AD,AC所成直線分別為x,y,z軸，建立空間直角

坐標系，利用向量法能求出四棱錐P-ABCD的高.

法二：設(shè)4cCiBD=。，APAC中，作EH〃P4交AC于"，則EHJ■面ABCD,EH就

是E到面BC。的距離，由E-BCD的底面ABC。不變，知求四棱錐P-ABCD的高，即

求￡7/最大時PA的值.

本題考查兩線段比值、四棱錐的高的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，是中檔題.

21.【答案】解：①設(shè)圓的圓心為P（a,b）,半徑為r,則由條件知|PB|=2遮一r,|P4|=

r..........（1分）

故|P4|+\PB\=2VI.........（3分）

因此，尸的軌跡是以A,8為焦點，長軸長為2百的橢圓方程.

故圓心尸的軌跡方程。為：y+y2=1.........（4分）

②解法一：若直線/的斜率存在且不為零.

故可設(shè)/：y=kc直線。。方程為：y=-1x.........（5分）

由產(chǎn)+廣，3%2=J=>\MN\=2V1+fc2.........（7分）

（y=kxl+3fc21Vl+3k2'）

同理，得10Q[=正容=...........（8分）

J1+以

因|OQI=金皿|o五==彳磊=3/+9=l+3k2,此時無解.......（10分）

若直線的斜率為零，此時也無解.......（11分）

若直線的斜率不存在，可求出Q（±g,0）.故Q的坐標為（±百,0）....（12分）

解法二：由圖形的對稱性及正三角形性質(zhì)，不妨設(shè)MScosarismO）,Q（r2cos（84-

5，r2sin（0+=））,....（8分）

代入橢圓方程，得*C。+r2sjn2g=1=*=——L—....（9分）

311l+2sin20'

同理以=i+2；°sze'由△QMN為正三角形，可得|0Q|=遮|0M]....（10分）

得cos0=0,故存在這樣的點Q,其坐標為(土通,0).......(12分)

【知識點】圓有關(guān)的軌跡問題、直線與橢圓的位置關(guān)系

【解析】①設(shè)圓的圓心為P(a,b)，半徑為r,推出P的軌跡是以A,3為焦點，長軸長

為2國的橢圓方程.然后求解即可.

②解法一：若直線/的斜率存在且不為零.設(shè)/：y=kx,直線。。方程為：丫=-