2023屆高中數(shù)學(xué)專題10探索利用空間向量求空間夾角方法特色訓(xùn)練新人教A版選修2-1

專題10探索利用空間向量求空間夾角方法一、選擇題1．【北京海淀北方交大附2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中】過正方形的頂點(diǎn)，作平面，假設(shè)，那么平面和平面所成的銳二面角的大小是〔〕．A.B.C.D.【答案】B，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，∵平面的一個(gè)法向量為，，∴所求銳二面角為．應(yīng)選．二、解答題2．【河南省漯河市高級中學(xué)2023屆高三上學(xué)期三?！咳鐖D，四邊形和四邊形均是直角梯形，二面角是直二面角，.〔1〕證明：在平面上，一定存在過點(diǎn)的直線與直線平行；〔2〕求二面角的余弦值.【答案】〔1〕見解析〔2〕【解析】試題分析：〔1〕利用線面、面面平行的判定和性質(zhì)定理即可證明；〔2〕可證，那么以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．利用空間向量可求二面角的余弦值〔2〕因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,又，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于二面角為銳角，因此二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】熟練掌握線面、面面平行的判定和性質(zhì)定理、以及利用空間向量可求二面角是解題的關(guān)鍵．3．【陜西省榆林市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中】如圖，在矩形中，，，是平面同一側(cè)面點(diǎn)，，，，，.〔Ⅰ〕證明：平面平面；〔Ⅱ〕求二面角的正弦值.【答案】〔1〕見解析〔2〕【解析】試題分析：〔Ⅰ〕由條件可得，，從而可證得平面，根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論；〔Ⅱ〕建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的運(yùn)算可求得二面角的余弦值為，進(jìn)一步可得正弦值為?！并颉场撸?，，∴，∴，又，，∴平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么，，，.∴，，4．如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形為菱形，點(diǎn)是棱上不同于，的點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，，，．〔Ⅰ〕求證：∥平面；〔Ⅱ〕求證：平面；〔Ⅲ〕假設(shè)二面角為，求的長．【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3).【解析】試題分析：〔Ⅰ〕先利用面面平行的性質(zhì)定理得到線線平行，再利用線面平行的判定定理進(jìn)行求解；〔Ⅱ〕先利用面面垂直的性質(zhì)定理和菱形的對角線相互垂直得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明；〔Ⅲ〕利用空間向量進(jìn)行求解.試題解析：〔Ⅰ〕因?yàn)樵谌庵校矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所?又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?〔Ⅲ〕取線段中點(diǎn)，因?yàn)榱庑沃?，，所?又因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫?如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，那么所以，，，.設(shè)，〔〕，設(shè)平面的法向量為，那么，即，所以，即的長為.【點(diǎn)睛】在處理空間角〔異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角〕，往往利用空間向量進(jìn)行處理，即先合理建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)直線的方向向量和有關(guān)平面的法向量，再利用有關(guān)公式進(jìn)行求解.5．【湖南省衡陽市第八中學(xué)2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中】如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，.〔1〕求證：PD⊥平面PAB；〔2〕求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)見解析；〔2〕【解析】試題分析：〔1〕由條件得平面PAD，因此，再結(jié)合，可得PD⊥平面PAB。〔2〕取AD的中點(diǎn)O，連PO，CO，可證得OP,OA,OC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的運(yùn)算求解?！?〕取AD的中點(diǎn)O，連PO，CO?！?，∴CO⊥AD，∵PA=PD，∴PO⊥AD，∴OP,OA,OC兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，那么。∴?！嘀本€PB與平面PCD所成角的正弦值為。點(diǎn)睛：利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的投影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面的夾角．即設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，那么直線l與平面α所成角θ滿足sinθ＝|cos〈m，n〉|。6．【河南省鄭州市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中】如圖，在六面體中，平面平面，平面，，.且，.〔1〕求證：平面；〔2〕求銳二面角的余弦值.【答案】〔1〕見解析；〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕取的中點(diǎn)，連接，通過平行且等于證明是平行四邊形，即可證明平行且等于，再證明出是平行四邊形，然后根據(jù)線面平行判定定理即可求證；〔2〕由兩兩垂直，故可建立空間直角坐標(biāo)系，求出二面角的兩個(gè)平面法向量，通過計(jì)算法向量夾角的余弦值，再根據(jù)二面角為銳角即可求出二面角的余弦值.〔2〕由題意可得，兩兩垂直，故可建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系..設(shè)平面的法向量為，那么，令，那么.又平面的法向量.∴.由于所求的二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.7．【廣東省陽春市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次月考】在四棱錐中，平面，是的中點(diǎn)，，，.〔1〕求證：；〔2〕求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：〔1〕取的中點(diǎn)，連接，那么，先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明；進(jìn)而可得，再由線面判定定理即可證明平面，從而可得；〔2〕建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，即可求二面角的余弦值.因?yàn)槠矫妫?〔2〕以為原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系.那么，，，，，，.所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【方法點(diǎn)晴】此題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：〔1〕觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；〔2〕寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；〔3〕設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；〔4〕將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；〔5〕根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.8．【北京市平谷區(qū)2023—2023高三第二學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，，，，是中點(diǎn)．〔I〕求證：直線平面．〔II〕求證：直線平面．〔III〕在上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為，假設(shè)存在，確定的位置，假設(shè)不存在，說明理由．【答案】〔I〕見解析；〔Ⅱ〕見解析〔III〕與重合．點(diǎn)的位置為所求.【解析】試題分析：〔I〕結(jié)合條件中給出的線段間的長度關(guān)系，在上取點(diǎn)，使，證明四邊形為平行四邊形，可得,故可得結(jié)論；〔II〕結(jié)合圖形分析可得只需證，，便可得到平面；〔III〕建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法通過計(jì)算進(jìn)行判斷可得結(jié)果。又平面,平面,所以平面〔Ⅱ〕因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，底面是菱形，，所以，因?yàn)椋?，所以．又平面，所以又所以直線平面〔III〕由〔Ⅱ〕可知，，，相互垂直，以為原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．由題意得，點(diǎn)睛：空間向量為立體幾何中的探索性問題的解法帶來了方便，解題時(shí)可先假設(shè)所探索的點(diǎn)〔或其他元素〕存在，然后通過代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)證，看是否得到矛盾，假設(shè)得到矛盾的結(jié)論，那么說明假設(shè)不成立，即滿足條件的點(diǎn)〔或其他元素〕不存在，否那么存在。9．【廣西桂林市第十八中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次月考】如圖，在三棱錐中，，分別為線段上的點(diǎn)，且,.〔1〕求證：平面；〔2〕假設(shè)與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)詳見解析;(2).【解析】試題分析;〔1〕連接，據(jù)勾股定理可證，即進(jìn)而證得平面,又由勾股定理證得，于是平面〔2〕由〔1〕知兩兩互相垂直，建立直角坐標(biāo)系，由空間向量的夾角公式可求平面與平面所成銳二面角的余弦值.〔2〕由〔1〕知兩兩互相垂直，建立如下圖的直角坐標(biāo)系，且與平面所成的角為，有，那么∴又∵由〔1〕知，∴平面∴為平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量為，那么∴，令，那么∴為平面的一個(gè)法向量∴故平面與平面的銳二面角的大小為.10．【云南省昆明市高新技術(shù)開發(fā)區(qū)2023屆高考適應(yīng)性月考】如下圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為線段上一點(diǎn)，.〔1〕證明：平面；〔2〕求直線與平面所成角的正弦值【答案】(1)詳見解析;(2).【解析】試題分析：證明線面平行有兩種思路：第一尋求線線平行，利用線面平行的判定定理.第二尋求面面平行，進(jìn)而說明線面平行；此題借助平行四邊形可以得到線線平行，進(jìn)而證明線面平行；第二步求線面角，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，借助空間向量，求法向量，利用公式求角.〔Ⅱ〕解：如圖，取的中點(diǎn)，連接．由得，從而，且．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系．由題意知，，，，，，所以直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】證明線面平行有兩種思路：第一尋求線線平行，利用線面平行的判定定理.第二尋求面面平行，此題借助平行四邊形和三角形中位線定理可以得到線線平行，進(jìn)而證明線面平行；求線面角有兩種方法，一是傳統(tǒng)方法，“一作，二證，三求〞，如此題的解析，二是建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量，求法向量，利用公式求角.11．【江西省贛州市十四縣2023-2023學(xué)年高二期中聯(lián)考】..【答案】〔1〕；〔2〕【解析】試題分析：傳統(tǒng)方法求二面角，一般采用“一作，二證、三求〞三個(gè)步驟，首先根據(jù)二面角的定義結(jié)合幾何體圖形中的線面關(guān)系作出二面角的平面角，此題利用底面為正方形，三角形AEC為等腰三角形的特點(diǎn)做出二面角，進(jìn)而求出，求線面角既可作出后再求，還可直接求出點(diǎn)B到平面的距離，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出正弦值.(2)在交,取，-因此-.【點(diǎn)睛】傳統(tǒng)方法求線面角和二面角，一般采用“一作，二證、三求〞三個(gè)步驟，首先根據(jù)二面角的定義結(jié)合幾何體圖形中的線面關(guān)系作出線面角或二面角的平面角，進(jìn)而求出；而角的計(jì)算大多采用建立空間直角坐標(biāo)系，寫出向量的坐標(biāo)，利用線面角和二面角公式，借助法向量求空間角.12．【北京西城44中2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中】在四棱錐中，，，，，，，且平面．〔1〕設(shè)平面平面，求證：．〔2〕求證：．〔3〕設(shè)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．【答案】〔1〕見解析；〔2〕見解析；〔3〕【解析】試題分析：〔1〕利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線的傳遞性即可找出兩個(gè)平面的交線并且證明結(jié)論；〔2〕利用條件結(jié)合勾股定理先證明，再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理即可證明；〔3〕通過結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用法向量與斜線所成的角即可找出點(diǎn)的位置.試題解析：〔1〕如下圖，過點(diǎn)作，并且取，連接，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，即為平面平面，．〔3〕建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么，，，，，∴，設(shè)，那么，∴，，由〔2〕可知為平面的法向量，∴，∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，化為，解得，∴.13．【北京西城44中2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中】如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．①求證：．②求點(diǎn)到平面的距離．③求二面角的余弦值的大?。敬鸢浮俊?〕見解析；〔2〕；〔3〕【解析】試題分析：〔1〕由等腰三角形得，由平面得，故而可得平面，最后得結(jié)論；〔2〕點(diǎn)到平面的距離為．通過轉(zhuǎn)化，求點(diǎn)到平面的距離；〔3〕以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面和面的法向量，計(jì)算法向量的夾角，根據(jù)圖可判斷二面角為銳角，故可得角的大小.〔3〕如圖，點(diǎn)睛：此題考查了線線垂直的判定，用等體積法求點(diǎn)到面的距離，用空間向量求平面間的夾角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題；在證明垂直的過程中主要通過線線垂直和面面垂直之間的互相轉(zhuǎn)化，兩個(gè)平面的法向量之間所成的角與二面角之間相等或互補(bǔ)，主要通過圖形來確定.14．【北京朝陽日壇中學(xué)2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中】如下圖，在多面體中，四邊形，，均為正方形，為的中點(diǎn)，過，，的平面交于．〔I〕證明：．〔II〕求二面角余弦值．【答案】〔I〕見解析；〔II〕.【解析】試題分析：〔I〕由線面平行推出線線平行?！睮I〕建立空間直角坐標(biāo)系，求出二面角兩個(gè)平面的法向量，利用法向量夾角的余弦值求出二面角的余弦值。〔II〕以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)邊長為．設(shè)為面法向量，，，∴．面法向量為，∴．15．【河北省衡水市武邑中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次調(diào)研】在五面體中，,,，平面平面.(1)證明:直線平面；(2)為棱上的點(diǎn)，試確定點(diǎn)位置，使二面角的大小為.【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕點(diǎn)在靠近點(diǎn)的的三等分點(diǎn)處.試題解析：〔1〕四邊形為菱形，，平面平面，平面平面平面，又直線平面.(2)，為正三角形，取的中點(diǎn)，連接，那么，【方法點(diǎn)晴】此題主要考查線面垂直的判定定理以及用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：〔1〕觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；〔2〕寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；〔3〕設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；〔4〕將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；〔5〕根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.16．【山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)、南海桂城中學(xué)2023屆高三上學(xué)期聯(lián)考】如下圖，在中，斜邊，將沿直線旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)二面角的大小為.〔1〕取的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與分別交于點(diǎn)，當(dāng)平面平面時(shí)，求的長〔2〕當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)兩個(gè)面平行的性質(zhì)，可以得出交線平行，利用中位線的性質(zhì)可得；〔2〕過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可證明平面，建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角可求出二面角的余弦值.〔2〕過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接,那么.因?yàn)?，所以平面平?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平?以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系.在中，，所以.所以.所以.點(diǎn)睛：此題考查面面垂直，線面垂直，線線垂直的判定及性質(zhì)以及二面角的余弦，屬于中檔題。對于第一問，要注意結(jié)合圖形，特別是中點(diǎn)，尋求垂直或平行關(guān)系，對于第二問關(guān)鍵是建系寫點(diǎn)的坐標(biāo)，利用求得的法向量來求二面角的余弦，注意對角是銳角鈍角的分析.17．【北京西城44中2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中】在四棱錐中，，，，，，，且平面．〔1〕設(shè)平面平面，求證：．〔2〕求證：．〔3〕設(shè)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．【答案】〔1〕見解析；〔2〕見解析；〔3〕【解析】試題分析：〔1〕利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線的傳遞性即可找出兩個(gè)平面的交線并且證明結(jié)論；〔2〕利用條件結(jié)合勾股定理先證明，再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理即可證明；〔3〕通過結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用法向量與斜線所成的角即可找出點(diǎn)的位置.試題解析：〔1〕如下圖，過點(diǎn)作，并且取，連接，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，即為平面平面，．〔3〕建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么，，，，，∴，設(shè)，那么，∴，，由〔2〕可知為平面的法向量，∴，∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，化為，解得，∴.18．【北京西城44中2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中】如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．①求證：．②求點(diǎn)到平面的距離．③求二面角的余弦值的大?。敬鸢浮俊?〕見解析；〔2〕；〔3〕【解析】試題分析：〔1〕由等腰三角形得，由平面得，故而可得平面，最后得結(jié)論；〔2〕點(diǎn)到平面的距離為．通過轉(zhuǎn)化，求點(diǎn)到平面的距離；〔3〕以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面和面的法向量，計(jì)算法向量的夾角，根據(jù)圖可判斷二面角為銳角，故可得角的大小.試題解析：〔1〕∵在等腰中，為斜邊中點(diǎn)，∴，又∵在直三棱柱中，平面，平面，∴，∵點(diǎn)，、平面，∴平面，平面，∴．〔3〕如圖，點(diǎn)睛：此題考查了線線垂直的判定，用等體積法求點(diǎn)到面的距離，用空間向量求平面間的夾角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題；在證明垂