緒論與彈性斷裂復(fù)勢方法

斷裂力學(xué)

主講

劉又文教授第1頁/共121頁第一頁，共122頁。斷裂力學(xué)本課程主要介紹平面彈性斷裂復(fù)勢方法；均勻材料中裂尖彈性應(yīng)力應(yīng)變場、彈塑性場的分析方法、斷裂參數(shù)的計(jì)算、常用斷裂判據(jù)及其工程應(yīng)用；裂紋與位錯的彈性干涉。緒論第2頁/共121頁第二頁，共122頁。一.斷裂力學(xué)內(nèi)容、任務(wù)與方法傳統(tǒng)強(qiáng)度理論不能解釋低應(yīng)力脆斷

1.內(nèi)容

材料缺陷的成核微觀固體物理與連續(xù)介質(zhì)結(jié)合斷裂微觀機(jī)理宏觀宏觀斷裂的開裂、擴(kuò)展與止裂規(guī)律細(xì)觀介于兩者之間細(xì)觀力學(xué)第3頁/共121頁第三頁，共122頁。脆性線彈性

小范圍

裂尖屈服、線彈性近似

韌性非線彈性

大范圍彈塑性、宏觀裂紋

裂紋穩(wěn)定，外力變化，裂紋起始擴(kuò)展動力學(xué)外力穩(wěn)定，裂紋傳播

界面多相材料界面第4頁/共121頁第四頁，共122頁。2裂紋類型a)按幾何位置貫穿、表面、深埋b)按受力不同Ⅰ型裂紋（張開）：最危險(xiǎn)Ⅱ型裂紋（滑開）Ⅲ型裂紋（撕開）出平面剪切（反平面）3斷裂特征脆斷、韌斷二、基本概念

1Griffith裂紋模型Griffith是材料中類裂紋形缺陷的簡化模型，裂尖曲率半徑為0，偏安全（硬裂紋與反裂紋，剛性線夾雜）第5頁/共121頁第五頁，共122頁。1913Inglis求解含橢圓孔板應(yīng)力1920Griffith解釋玻璃實(shí)際強(qiáng)度遠(yuǎn)低于理論值，僅適于完全脆性材料及得以推廣（50年代開始大量研究）—提出脆斷能量準(zhǔn)則。1、二戰(zhàn)期間采用焊接與高強(qiáng)材料，脆斷事故迭起

43－47年，美國500艘全焊船脆斷，238艘報(bào)廢?，F(xiàn)在垮橋事故—損傷累積。原因：焊接缺陷—應(yīng)力集中在氣溫負(fù)3水溫4攝氏度冷脆2、1947年，蘇聯(lián)4500立方米大型石油儲罐底與下部焊接處破壞，零下43攝氏度時，焊接缺陷，低溫脆性，內(nèi)外溫差

三斷裂力學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展第6頁/共121頁第六頁，共122頁。

3、50年代初，美國北極星導(dǎo)彈固體燃燒發(fā)動機(jī)殼實(shí)驗(yàn)室爆炸，原因：表面裂紋

4、1969年美國F—111飛機(jī)在飛行中左翼脫落。查明：熱處理缺陷，疲勞脆斷，斷裂應(yīng)力遠(yuǎn)低于強(qiáng)度條件！

Ⅰ線彈性斷裂力學(xué)?

1955G.R.Irwin提出應(yīng)力強(qiáng)度觀點(diǎn)發(fā)展各種確定應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法

應(yīng)力強(qiáng)度因子，斷裂準(zhǔn)則

線彈性斷裂力學(xué)核心內(nèi)容Griffith能量準(zhǔn)則第7頁/共121頁第七頁，共122頁。?

1963年F.ErdoganandG.C.Sin提出復(fù)合型裂紋擴(kuò)展判據(jù)：1、理論2、最大能量釋放率理論

3、最小應(yīng)變能密度因子理論★今后研究方向：三維，表面，各向異性裂紋確定K的方法。特點(diǎn)是數(shù)學(xué)性強(qiáng)Ⅱ彈塑性斷裂?

1948年OrowanandIrwin塑性材料裂紋的能量判據(jù)：抵抗表面張力的功遠(yuǎn)小于塑性變形的功——能量判據(jù)?

60年D.S.Dugdale運(yùn)用N.I.Mush方法研究裂尖塑性區(qū)

D—M模型——提供解析方法途徑。第8頁/共121頁第八頁，共122頁。?

61年A.A.WellsCOD準(zhǔn)則（裂紋張開位移）現(xiàn)為公認(rèn)的起裂準(zhǔn)則，理論薄弱?

63年BCS模型（三人從位錯概念出發(fā)）研究裂尖塑性區(qū)?

68年J積分準(zhǔn)則?；贖RR奇異解，三人分別發(fā)表Ⅰ型裂紋尖應(yīng)力應(yīng)變場彈塑性解—（J積分理論基礎(chǔ)）

J與COD均為起裂準(zhǔn)則★當(dāng)前主要研究：穩(wěn)定擴(kuò)展準(zhǔn)則Ⅲ斷裂動力學(xué)?

48年N.F.Mott論文開始

?

60年代中以前，研究簡化模型裂紋擴(kuò)展、分叉、止裂

?

70年代逐步建立重要基本概念、外載變化裂紋穩(wěn)定的動應(yīng)力場第9頁/共121頁第九頁，共122頁?！锂?dāng)前重要課題：裂紋快速傳播與止裂，非線性材料動態(tài)裂紋分叉等問題

Ⅳ界面斷裂力學(xué)

?59年Wiliams界面裂尖應(yīng)力振蕩奇異性，典型應(yīng)力強(qiáng)度因子

?

65年England發(fā)現(xiàn)由于應(yīng)力振蕩型，會出現(xiàn)裂紋面相互嵌入

?

77年接觸區(qū)模型

?

89年能量釋放率準(zhǔn)則。Shih有限元――奇異場的漸近解

?

88年界面層型

?

88年Rice漸進(jìn)應(yīng)力位移場第10頁/共121頁第十頁，共122頁。?

92年夏森，王自強(qiáng)，用數(shù)學(xué)分析—HRR型奇異漸近解

斷裂力學(xué)—固體力學(xué)的重要分支深入材料科學(xué)

參考書破壞力學(xué)（與損傷結(jié)合）結(jié)合材料本身特性細(xì)觀結(jié)構(gòu)，建立力學(xué)模型探討斷裂機(jī)理，優(yōu)化細(xì)觀結(jié)構(gòu)。設(shè)計(jì)新型材料第11頁/共121頁第十一頁，共122頁。

1.蘇切列帕諾夫，黃克智等譯脆性斷裂力學(xué)74～90譯，科學(xué)出版社，19902.Sih.G.C.（薛昌明）斷裂力學(xué)叢書（英文版）3.沈成康斷裂力學(xué)同濟(jì)大學(xué)出版社1996年4.范天佑斷裂理論基礎(chǔ)科學(xué)出版社2003年5.匡震邦馬法尚斷裂端部場西安交通大學(xué)出版社2002年6.程靳趙樹山斷裂力學(xué)科學(xué)出版社2006年7.王自強(qiáng)，陳少華，高等斷裂力學(xué)，科學(xué)出版社，20098.BrainLawn著，龔江宏譯，脆性固體斷裂力學(xué)，高教出版社，20109.黃克智，余壽文，彈塑性斷裂力學(xué)，清華大學(xué)出版社，198510.楊衛(wèi)，宏微觀斷裂力學(xué)，國防工業(yè)出版社，1995第12頁/共121頁第十二頁，共122頁。第一章彈性斷裂復(fù)勢方法

彈性平面問題雙調(diào)和函數(shù)彈性反平面問題調(diào)和函數(shù)化為解析函數(shù)的邊值問題參考文獻(xiàn)1N.I.Muskhelighvili著，趙惠元譯.數(shù)學(xué)彈性力學(xué)的幾個基本問題.科學(xué)出版社2路見可.平面彈性復(fù)變方法.武漢大學(xué)出版社，20023森口繁一著，劉亦珩譯.平面彈性論.上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，19624路見可.解析函數(shù)邊值問題.武漢大學(xué)出版社，2004第13頁/共121頁第十三頁，共122頁?！?.1力與位移的復(fù)勢表達(dá)3.1.1復(fù)勢應(yīng)力函數(shù)平面彈性平衡，體力為常量，應(yīng)力函數(shù)U，滿足可化為面力引入

(1)

可得(3-1)

第14頁/共121頁第十四頁，共122頁。積分兩次(3-4)

(3-5)

由(3-1)式，得：(3-2)

(3-2)

(3-3)

相容方程

為

第15頁/共121頁第十五頁，共122頁。故其中f1、f2、f3、f4均表示任意函數(shù)。左邊U是實(shí)函數(shù)，右邊四項(xiàng)一定兩兩共軛，即令

，得古薩公式稱之為復(fù)勢應(yīng)力函數(shù)。

3.1.2應(yīng)力和位移的復(fù)勢(2)

(3-6)

第16頁/共121頁第十六頁，共122頁。1、應(yīng)力復(fù)勢

不計(jì)體力

注意到式(3-4)得

將式(3-6)代入得

由式(3-7)

(3-7)

(3-8)

第17頁/共121頁第十七頁，共122頁。注意到式(3-2)得設(shè)

式(3-8)和(3-9)平面應(yīng)力分量的復(fù)勢形式。2、位移復(fù)勢

平面應(yīng)力，由幾何方程與廣義虎克定律(1)

(3-9)

(2)

(3)

第18頁/共121頁第十八頁，共122頁。將式(1-8)和(1-7)分別代入(2)和(3)式，積分得：式中f1及f2為任意函數(shù)。將式(5)代入式(4)，用式(1-7)中的第三式及式(1-1)，得(常數(shù))

積分得剛體位移：(5)

(4)

G第19頁/共121頁第十九頁，共122頁。若不計(jì)剛體位移，由式(5)組合得（注：強(qiáng)度問題與剛體位移無關(guān)）將式(1-2)中的第一式及式(1-6)代入式(6)右邊，兩邊除以(1+ν)

這就是位移復(fù)勢。對平面應(yīng)變，

(6)

(3-10)

第20頁/共121頁第二十頁，共122頁。3.1.3復(fù)應(yīng)力函數(shù)的確定程度(數(shù)學(xué)上完全確定，力學(xué)上看哪些部分不影響應(yīng)力和位移)

1應(yīng)力確定時，由式(3-8)和(3-9)可知，

設(shè)與可見

具有相同的實(shí)部，只可能相差一個任意虛常數(shù)(1)

(2)

(1’)

(2’)

(3)

第21頁/共121頁第二十一頁，共122頁。C為任意實(shí)常數(shù)。積分得由式(3)有

，比較式(2)與(2')可見積分得故(4)

(5)

(6)

(A)

第22頁/共121頁第二十二頁，共122頁。(8)

(A)型代換不改變應(yīng)力。（常設(shè)其為零或

）

2：位移確定時，則應(yīng)力完全確定，不容許有(A)型以外代換?？疾?A)型代換如何才不致改變位移。將式(1-10)

進(jìn)行(A)型代換位移確定，必須不改變位移只能將(7)

和中只有一個為任意常數(shù),設(shè)為,由確定第23頁/共121頁第二十三頁，共122頁。只有

可任意選取

(B)型代換。平面應(yīng)變

3.1.4復(fù)勢邊界條件1、應(yīng)力邊界條件平面應(yīng)力邊界條件將式(1-7)代入上式得(B)

不改變位移,更不改變應(yīng)力第24頁/共121頁第二十四頁，共122頁。曲線AB為任一段邊界，s是弧長則有代入式(1)，得面應(yīng)力矢量(1)

第25頁/共121頁第二十五頁，共122頁。證明：

由式（1）而故

第26頁/共121頁第二十六頁，共122頁。證畢

式(3-6)代入式(3-2)，再代入上式，得證明：

_第27頁/共121頁第二十七頁，共122頁。證明完畢兩邊同乘以ids，進(jìn)行積分，從基點(diǎn)A至邊界上的任意一點(diǎn)z，令則有該式為面力主矢邊界條件的復(fù)勢表達(dá)(2)

(3-11)

第28頁/共121頁第二十八頁，共122頁。2、位移邊界條件邊界位移代入式(3-10)得(2)

(3-12)

第29頁/共121頁第二十九頁，共122頁?！?.2多連域中復(fù)勢的一般形式和

函數(shù)

在多連通域中可能是多值的。而應(yīng)力

和位移總是單值的。如何選擇這些復(fù)變函數(shù)，保證應(yīng)力和位移的單值性？考察如圖3-2所示多連通體，先考慮僅有一個內(nèi)邊界sk和一個外邊界sm+1的情形。3.2.1應(yīng)力單值條件一周，虛數(shù)增量為

由式(3-8)

知，

的實(shí)部單值。虛部可多值。繞

考察Akln(z-zk)，其中zk是邊界sk之外的任意一點(diǎn)。繞sk一周后，右邊有增量

。令(1)

2kAip第30頁/共121頁第三十頁，共122頁。積分，得xyN圖3-2z0為彈性體內(nèi)的任選定點(diǎn)，如圖3-2所示。+全純函數(shù)。代入式(2)，并將-Akzkln(z-zk)與ckln(z-zk)合并寫成，即得

其中

全純。

為復(fù)常數(shù)。

(3)

常數(shù).

(2)

式中全純。第31頁/共121頁第三十一頁，共122頁。為復(fù)常數(shù)，

全純。

又由式(3-9)可知，函數(shù)

在多

連域全純。類似地3.2.2位移單值條件位移單值對

及

的要求。將3.2.1中的(1)、(3)、(4)三式代入式(3-10)有(4)

第32頁/共121頁第三十二頁，共122頁。當(dāng)z繞sk一周后，增量為：令增量為零，即3.2.3有限多連域的復(fù)勢確定應(yīng)力函數(shù)(3)和(4)式中的復(fù)常數(shù)

及

,需將式(3-11)應(yīng)用于整個內(nèi)邊界sk,積分一周得,是sk上面力主矢量。z沿sk繞行的方向必須是順時針,且

(5)

(6)

第33頁/共121頁第三十三頁，共122頁。轉(zhuǎn)向（使外法線向右），將式(1),(3),(4)代入式(6)得由式(5)及式(7)求得將它們代入式(3)及式(4)，得(7)

(3-13)

式中、在多連域全純第34頁/共121頁第三十四頁，共122頁。3.2.4無限多連域的復(fù)勢

考察函數(shù)

及

在無限遠(yuǎn)鄰域的性態(tài)。原點(diǎn)為圓心，作半徑為R的大圓周sR

，所有內(nèi)邊界s1到sm包圍在其內(nèi)，對于sR之外的任意一點(diǎn)z

在之外的解析函數(shù)。

式(3-13)可寫為(1)

當(dāng)R

趨于零時為原點(diǎn)作用集中力解.第35頁/共121頁第三十五頁，共122頁。及

及

可展為羅朗級數(shù)將式(1)中的第一式代入式(3-8)，然后再將式(2)中的第一式代入，得因無限遠(yuǎn)處應(yīng)力有界由式(3-9)，

時，應(yīng)力有限，必有(2)

(3)

(4)

第36頁/共121頁第三十六頁，共122頁。于是式(5)可簡化為其中(5)

(3-14)

第37頁/共121頁第三十七頁，共122頁。設(shè)σ1及σ2為無限遠(yuǎn)處的主應(yīng)力，σ1與x軸之間的夾角為α，由坐標(biāo)變換 值得指出，公式(3-14)和(3-15)只能描述多連域的遠(yuǎn)場(sR之外)，只含有一個圓孔時，才是該域復(fù)應(yīng)力函數(shù)的精確公式。無限多連通域的復(fù)勢可由式(3-13)給出，其中(3-15)

(6)

(3-16)

再由式(3-8)及式(3-9)，在無限遠(yuǎn)處，令第38頁/共121頁第三十八頁，共122頁。對于無限多連域,應(yīng)為第39頁/共121頁第三十九頁，共122頁。§3.3*坐標(biāo)變換3.3*.1直角坐標(biāo)變換1．平移原點(diǎn)平移到新點(diǎn)(x0,y0)。設(shè)(x,y)與(x1,y1)為同一點(diǎn)對于舊與新坐標(biāo)系的坐標(biāo)，并設(shè)：顯然

應(yīng)力（3-8），（3-9）可寫為(1)

(2)

第40頁/共121頁第四十頁，共122頁。式中在新坐標(biāo)系里,用

與

表示與

和

在舊坐標(biāo)系里起同樣作用的函數(shù)。因?yàn)樵c(diǎn)移動時應(yīng)力分量不變，由式（2）中的第一式，有由式（2）的第二式，得出由此(A)

第41頁/共121頁第四十一頁，共122頁。注意到式（A）即知積分式（A）與（B）又得注意,

對于原點(diǎn)移動非不變量，不能在

中直接將

代以

，而

對于原點(diǎn)移動是不變量。

2．旋轉(zhuǎn)設(shè)新軸Ox1對舊軸Ox轉(zhuǎn)動角

，則

(B)

(C)

第42頁/共121頁第四十二頁，共122頁。由此同理,由式（2）的第一式，得忽略純虛常數(shù)后，得由平面應(yīng)力坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)可以證明即(3)

(D)

第43頁/共121頁第四十三頁，共122頁。再由式（2）中的第二式可知由此由式(3)有

代入上式得

積分式（D）與（E）略去不影響應(yīng)力分布的任意常數(shù)，得積分(F)的第二等式，得(E)

(F)

(G)

第44頁/共121頁第四十四頁，共122頁。3.3*.2極坐標(biāo)取坐標(biāo)系Oxy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，Ox為極軸，θ與r為平面上任一點(diǎn)M(x,y)極坐標(biāo)，則過點(diǎn)M(x,y)引二軸:一為向徑(r),另一為垂直于前者的(θ).設(shè)νr與νθ表示點(diǎn)M在極坐標(biāo)中的位移分量.式中

為同一位移直角坐標(biāo)分量將式(3-10)代入上式(1)

(H)

(2)

由坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換:第45頁/共121頁第四十五頁，共122頁。式中

在極坐標(biāo)中所應(yīng)力分量與在笛卡兒坐標(biāo)中應(yīng)力分量的規(guī)定,除了通過在討論應(yīng)力的點(diǎn)M所引的兩軸(r)與(θ)起著軸Ox與Oy的作用這一點(diǎn)有所不同以外，其余完全是一樣的。

若暫時用Mx’表示軸(r)，用My’

表示軸(θ)，則上述諸分量將為：對于這些分量，我們采用在文獻(xiàn)中通用的記號：第46頁/共121頁第四十六頁，共122頁。因此，σr表示作用于與軸(r)垂直的微分面上的應(yīng)力在軸(r)上的投影；σθ表示作用于與軸(θ)垂直的微分面上的應(yīng)力在軸(θ)上的投影。最后，

為作用于與軸(r)垂直的微分面上的應(yīng)力在軸(θ)上的投影，或?yàn)樽饔糜谂c軸(θ)垂直的微分面上的應(yīng)力在軸(r)上的投影。由平面應(yīng)力坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)可以證明故有(I)

第47頁/共121頁第四十七頁，共122頁。此式可表示圓周上的面力。(J)

注：應(yīng)用中常聯(lián)合采用極坐標(biāo)應(yīng)力公式與直角坐標(biāo)的位移公式。（如接觸面與滑動情形）第48頁/共121頁第四十八頁，共122頁。oxyzF圖3-3保角變換，把復(fù)雜幾何域映射成像平面上簡單規(guī)則域。先在像平面的規(guī)則域上求解，然后返回物理平面得實(shí)際問題的解。（注：有些問題不必返回，例如裂紋尖應(yīng)力強(qiáng)度因子等。）3.3.1保角變換與曲線坐標(biāo)采用保角變換在ζ平面上令式中ρ和θ是ζ點(diǎn)的極坐標(biāo)(不是z點(diǎn)的極坐標(biāo))。ρ和θ是z平面上相應(yīng)點(diǎn)的曲線坐標(biāo)。兩組曲線總是正交。(3-17)§3.3保角變換第49頁/共121頁第四十九頁，共122頁。z平面矢量F，由幾何關(guān)系有可得沿ρ軸方向給z點(diǎn)以位移dz，對應(yīng)點(diǎn)ζ得徑向位移dζ，且故(1)(2)oxyzF圖3-3第50頁/共121頁第五十頁，共122頁。共軛,得，(1)式變?yōu)楸砻?經(jīng)保角變換后,矢量的曲線坐標(biāo)分量與直角坐標(biāo)分量的關(guān)系.3.3.2保角變換后的位移與應(yīng)力公式引用如下記號(3)(3-18)(3-19)第51頁/共121頁第五十一頁，共122頁。式(3-18)代入式(3-10)得仿式(3)有將式(3-20)代入式(4)得是曲線坐標(biāo)位移分量的復(fù)勢表示。為曲線坐標(biāo)ρ和θ中的應(yīng)力分量，圖3-3所示(3-20)(3-21)(4)第52頁/共121頁第五十二頁，共122頁。oxyzF圖3-3將式(3-8)及(3-9)代入以上兩式，有注意到式(2)和式(3-19)這是曲線坐標(biāo)應(yīng)力分量的復(fù)勢表示。(5)(3-22)第53頁/共121頁第五十三頁，共122頁。1)、如何求得面力表達(dá)式？2)、寫出橢圓孔邊的曲線坐標(biāo)應(yīng)力分量。？思考題第54頁/共121頁第五十四頁，共122頁。3.4.1復(fù)勢的一般級數(shù)形式基本思想所論區(qū)域經(jīng)保角變換后為圓內(nèi)、圓環(huán)或圓外區(qū)域時，所論區(qū)域復(fù)勢展開成復(fù)級數(shù)，代入邊界條件(3-11)或(3-12)式的左端，把右端給定的邊界已知應(yīng)力和位移函數(shù)展成復(fù)級數(shù)。令兩邊同次冪項(xiàng)的系數(shù)對應(yīng)相等定出左端復(fù)勢待定系數(shù)。圓域|z|≤R(R>0)

圓環(huán)域r≤|z|≤R(r>0,R≤∞)：(3-23)

(3-24)

§3.4級數(shù)解法第55頁/共121頁第五十五頁，共122頁。積分得其中和由式(3-24)中m=-1的項(xiàng)積分而來。給定應(yīng)力可令(A型代換)給定位移只能令其中一個常數(shù)a0=0(或b0=0).(B型代換)3.4.2無限域孔口問題1、應(yīng)力邊界條件孔邊給定外載和，無窮遠(yuǎn)處均勻受載。極坐標(biāo)下應(yīng)力組合公式為(3-25)第56頁/共121頁第五十六頁，共122頁。由以上兩式相減,并代入z=t得xyoR圖3-4由孔邊值方程為:(3-26)(3-27)(3-28)(3-29)(3-30)(3-31)第57頁/共121頁第五十七頁，共122頁。將式(3-28)和式(3-31)同時代入(3-27)式,并利用邊界方程(3-30)，得由等式兩邊含各項(xiàng)的系數(shù)相等，得確定系數(shù)Am和Bm的代數(shù)方程對，有式中系數(shù)與式(3-14)至(3-16)中的關(guān)系為(3-32)第58頁/共121頁第五十八頁，共122頁。由式(3-14),(3-16)，結(jié)合式(3-31)可知注:由(3-14)式（1）

與式（3-31）比較,有(3-34)平面應(yīng)變平面應(yīng)力(3-33)第59頁/共121頁第五十九頁，共122頁。由式（3-14）（2）式與式（3-31）比較第60頁/共121頁第六十頁，共122頁。m=1，為恒等式由正冪，m=0得，

m=2，有(取共扼得A2)m≥3(取共軛得Am)由負(fù)冪，m≥1，得(3-35)第61頁/共121頁第六十一頁，共122頁。2、位移邊界條件問題設(shè)孔邊給定位移和左端展成富氏級數(shù)把式(3-38)和(3-14)(3-15)分別代入(3-37)式的左、右兩端，兩邊同乘以，注意到，得(3-36)在|t|=R上(3-37)(3-38)第62頁/共121頁第六十二頁，共122頁。右端第一項(xiàng)含因子iθ是多值函數(shù)，要求令前式左、右兩邊同冪項(xiàng)系數(shù)相等，正冪項(xiàng)有(3-39)(3-40)第63頁/共121頁第六十三頁，共122頁。注：k=0時，負(fù)冪項(xiàng)有由(3-39)~(3-41)式，可以定出全部待定系數(shù)，于是復(fù)勢被確定。(3-41)k=1時，k=2時，第64頁/共121頁第六十四頁，共122頁。級數(shù)解法同樣適用于有限圓環(huán)域和實(shí)心圓域問題。注意圓環(huán)內(nèi)邊界(或外邊界)上的載荷不能單獨(dú)構(gòu)成自相平衡力系時，環(huán)內(nèi)應(yīng)力將需要通過位移單值條件確定而與材料性能(常數(shù)κ)有關(guān)。級數(shù)解法適用于能用有理函數(shù)將所論區(qū)域映射到圓形域的問題。對于理想界面連接的彈性夾雜問題，級數(shù)解法仍不失為一種行之有效的分析方法。例3-1

如圖3-5所示，帶小圓孔(半徑為R)的無限大平板，在x方向受單向均勻拉力q，求板內(nèi)應(yīng)力場。xyRqq圖3-5o第65頁/共121頁第六十五頁，共122頁。解無窮遠(yuǎn)應(yīng)力條件代入(3-33)式得|z|=R處，，代入(3-34)式得由(3-29)式利用(3-35)式求得(1)(2)(3)(4)xyRqq圖3-5o第66頁/共121頁第六十六頁，共122頁。由(3-32)式其余系數(shù)全為零。將(1)，(2)，(5)式代入(3-14)式求得后，再代入式(3-26)，得代入式(3-36)，得(5)(6)第67頁/共121頁第六十七頁，共122頁。思考1

上題中若在y方向也同樣均勻拉伸，結(jié)果如何？孔邊受均勻壓力q，無窮遠(yuǎn)受均勻剪切q時結(jié)果又如何？試用例3-1結(jié)果作出解答。解雙向均勻拉伸,應(yīng)用單向拉伸解式(6)疊加注意到(7)(1)第68頁/共121頁第六十八頁，共122頁。（1）＋（2）得單向受壓時，q取負(fù)號孔邊均勻受壓，邊界力展開為常量易于得解。級數(shù)解法適用于理想連續(xù)可變?yōu)閳A形邊界的問題。由式(6)第2式整理得(2)第69頁/共121頁第六十九頁，共122頁。

如圖(a)所示，在無限平面的一點(diǎn)作用有集中力，和集中力偶，設(shè)在無窮遠(yuǎn)處應(yīng)力等于零()，試求復(fù)應(yīng)力函數(shù)。解：①先研究受圓孔無限平面，設(shè)作用于圓孔圓周上的應(yīng)力有定值與定方向如圖(b)所示：(1)式中為常量，顯然()為外應(yīng)力主矢量。例3-2第70頁/共121頁第七十頁，共122頁。法向應(yīng)力與切向應(yīng)力為在圓周上，有這就說明，在§3.4公式(3-29)中，僅有一個不為零的系數(shù)：再按同節(jié)公式(3-33)，(3-34)和(3-35)(當(dāng))，有第71頁/共121頁第七十一頁，共122頁。其余系數(shù)皆等于零。故令，且主矢量保持不變，有②無限平面一點(diǎn)作用集中力偶。討論在孔的周邊作用有常量切應(yīng)力的情形，如圖(b)所示。應(yīng)力在無窮遠(yuǎn)處也假定等于零。即在圓周上，圖(b)第72頁/共121頁第七十二頁，共122頁。因而在§3.4的展開式(3-29)中,只有一個不為零的系數(shù)

由§3.4諸公式給出：其余系數(shù)皆為零。令，即

則有是作用于圓孔周邊上的外應(yīng)力對中心的主矩。若使

無限減小，

無限增大但保持力矩

為常量，則式(3)仍然正確。第73頁/共121頁第七十三頁，共122頁。注：關(guān)于一般集中力。

若集中力不是作用在點(diǎn)，而是作用于無限平面任，如圖(c)所示，則暫時取為輔助坐標(biāo)系的一點(diǎn)原點(diǎn)后，代替公式(2)將有式中。變回到舊坐標(biāo)系，按照§3.3公式(3)與(4)，得(4)圖(c)第74頁/共121頁第七十四頁，共122頁。上式積分，得(5)完全類似，對于無限平面作用于點(diǎn)的集中力偶，有(6)(7)第75頁/共121頁第七十五頁，共122頁?！?.5柯西積分解法對于不能用有理函數(shù)將所論區(qū)域保角映射到圓形區(qū)域，例如一般多連通域或邊界條件較為復(fù)雜的平面彈性問題，應(yīng)用柯西積分公式較為便利。3.5.1柯西積分公式和Harnack定理1、柯西積分公式設(shè)Γ是簡單光滑閉曲線（可以是多條），S+為Γ圍線的內(nèi)域(有限部分)，S-為Γ線的外域(無限部分)。Γ線的正向按“內(nèi)域位于左側(cè)”確定。若函數(shù)f(z)在S+內(nèi)解析，在S++Γ上連續(xù)(3-42)

當(dāng)在內(nèi)域當(dāng)在外域ztz圖3-6第76頁/共121頁第七十六頁，共122頁。函數(shù)f(z)在S-內(nèi)解析，在S-+Γ上連續(xù),則柯西積分公式為ztz圖3-6有限個極點(diǎn)時，還有另外四個廣義柯西積分公式，也適用于多連通域。注意“內(nèi)域”和“域內(nèi)”不同。計(jì)算孔邊外載合力應(yīng)“域內(nèi)”即“物體位于左側(cè)”確定邊界線的正向?？挛鞴竭m用于任何復(fù)平面。當(dāng)用在保角變換ζ平面上時，應(yīng)把復(fù)變量z,t和閉曲線Γ改變?yōu)橄鄳?yīng)和

.

(3-43)

當(dāng)在外域當(dāng)在內(nèi)域

第77頁/共121頁第七十七頁，共122頁。

2、Harnack定理f(t)是邊界Γ上各點(diǎn)t的連續(xù)函數(shù)，若則3.5.2邊界柯西積分形式保角變換(3-45)

(3-44)

t第78頁/共121頁第七十八頁，共122頁。式(3-14)，(3-15)變?yōu)槠渲惺街谐?shù)項(xiàng)已被刪去。由式(3-18)及(3-19)，對式(3-11)左邊變換，得(3-46)

(3-47)

(1)

第79頁/共121頁第七十九頁，共122頁。在邊界上,

。記

，則(1)式為取式(3-46)的邊界值代入式(2)，全純函數(shù)邊界條件可寫成式中

(2)

(3)

(3-48)

第80頁/共121頁第八十頁，共122頁。式(3-48)的共軛式為式(3-48)的兩邊乘以

，得由公式(3-42)有(3-49)

(3-50)

(4)

第81頁/共121頁第八十一頁，共122頁。由式(3-47)

，在中心單位圓之外是解析的，且在圓外和圓周上是連續(xù)的，(3-43)有

式(5)和(6)代入式(4)

(5)

(6)

(3-51)

第82頁/共121頁第八十二頁，共122頁。類似處理式（3-50），可得單孔口問題，只要

已知，由（3-51）和（3-52）便可得

和

的封閉或級數(shù)形式解。

注：

為多項(xiàng)式或有理函數(shù)時，得精確級數(shù)解；為其他函數(shù)求解近似展開得級數(shù)解；或化為邊界積分方程。3.5.3橢圓孔口問題(3-52)

第83頁/共121頁第八十三頁，共122頁。xxyyzABCDoaabb(a)圖3-7(b)A’B’C’D’1(1)

(2)

圖3-7(a)所示，采用保角變換第84頁/共121頁第八十四頁，共122頁。單位圓周上，

式(3-51)成為(3)

(4)

被積函數(shù)是函數(shù)第85頁/共121頁第八十五頁，共122頁。該函數(shù)在單位圓之外

(|ζ|>1)

解析，在圓外和圓周上連續(xù)。(3-43)知，式(4)左邊的第2項(xiàng)等于零。于是由式(3-52)，得如圖3-8所示，受有均勻拉應(yīng)力q，孔邊不受面力qqxy圖3-8ba由式(3-16)和(3-49)得(5)

(6)

(1)

第86頁/共121頁第八十六頁，共122頁。代入式(5)

將式(8)和式(9)代入式(6)，得將式(9)及(10)分別代入式(3-46)，得(8)

(9)

(10)

(3-53)

第87頁/共121頁第八十七頁，共122頁。利用z平面曲線坐標(biāo)系公式(3-22)第一式計(jì)算孔邊應(yīng)力，注意到在孔邊，可得注意，

為z平面橢圓孔邊曲線坐標(biāo)應(yīng)力分量.(11)

第88頁/共121頁第八十八頁，共122頁。

§3.6解析延拓方法

對于域內(nèi)有奇點(diǎn)特別是含裂紋的平面彈性問題，運(yùn)用復(fù)變函數(shù)的解析延拓技術(shù)，往往十分方便。這里介紹Schwarz對稱延拓原理及其在典型區(qū)域的應(yīng)用。3.6.1Schwarz對稱開拓原理定理1

f(z)在區(qū)域S+內(nèi)全純,S+的邊界的一部分是實(shí)軸上的一直線段L(圖3-9)，S++L上f(z)是連續(xù)的，且在L上取實(shí)數(shù)值。S-是區(qū)域S+關(guān)于實(shí)軸的對稱映象，則f(z)可以越過L解析開拓到S-中，得到在S+++L中解析的函數(shù)，當(dāng)z∈S-時，解析開拓的函數(shù)為第89頁/共121頁第八十九頁，共122頁。定理1和定理2可以推廣到邊界是圓弧，例如定理2：(3-54)

在S++L上f(z)，g(z)連續(xù)，在L上滿足

，則f(z),g(z)可以越過L解析開拓到中定理2

f(z)，g(z)在S+內(nèi)全純，S-和S+關(guān)于實(shí)軸是對稱的，第90頁/共121頁第九十頁，共122頁。定理3

S+的一部分邊界是半徑為R的圓弧L，f(z)，g(z)在S+內(nèi)全純，

L上連續(xù),且滿足

。則f(z)，g(z)可以越過L解析開拓到S-

3.6.2彈性半平面的解析開拓

彈性體所占區(qū)域S+在實(shí)軸的一側(cè),直線段L為其部分邊界。(1)自由邊界。復(fù)應(yīng)力函數(shù)

(去掉了下標(biāo)1)在S+內(nèi)全純，在L上連續(xù)。邊界條件為引入輔助函數(shù)在L上

(3-56)

(3-57)

(3-55)

第91頁/共121頁第九十一頁，共122頁。在S+全純。在L上，，有由定理2得(2)固定邊界。由式(3-12)有則(3)滑動邊界。即由式(3-12)，(3-11)在L上

(1)

(3-58)

(3-59)

(3-60)

在L上

(2)

第92頁/共121頁第九十二頁，共122頁。在L上

，注意到式(3-57),由式(3-62)有xoyib-ib圖3-11由定理1導(dǎo)出例3-2圖示半平面y>0,其內(nèi)一點(diǎn)(z=ib)作用著集中力(Fx,Fy)，邊界y=0自由。求復(fù)應(yīng)力函數(shù)。解:坐標(biāo)變換有孤立奇點(diǎn)，由式(3-14)(3-61)

(3-62)

(3-63)

第93頁/共121頁第九十三頁，共122頁。知其奇性主部為

由坐標(biāo)平移得

在z=ib的奇性主部

由式(3-57)定義的函數(shù)

在z=ib處有奇點(diǎn)，主部為

自由邊界解析開拓可由式(3-58)表示之。點(diǎn)z=ib的映象點(diǎn)(a)

(b)

(c)

第94頁/共121頁第九十四頁，共122頁。z=-ib。該點(diǎn)的主部由式(b)，(c)代入式(3-58)而得考察全純函數(shù)：假設(shè)無窮遠(yuǎn)處應(yīng)力為零,二者在

處無奇點(diǎn)。由推廣的Liouville定理，

在全平面均為常數(shù)，并取為零，于是思考：若集中力作用在任意z0點(diǎn)，結(jié)果如何？(d)

(3-64)

(f)

第95頁/共121頁第九十五頁，共122頁。3.6.3關(guān)于彈性圓孔的解析開拓如圖3-12所示，圓周|z|=R的全體或其中一段弧L為圓外彈性體的邊界，在L上oyxR圖3-12取輔助函數(shù)為（由式（3-56））與直線邊界類似,(1)當(dāng)L為自由邊界時，有(1)

(2)

(3-65)

第96頁/共121頁第九十六頁，共122頁。(2)當(dāng)L為固定邊界時，由式（3-59）有例3-3

如圖3-13所示，設(shè)圓孔為|z|=R，不失一般性設(shè)在點(diǎn)b(b>R)作用著集中力(Fx,Fy)，試求復(fù)應(yīng)力函數(shù)。yxobR圖3-13解在z=b有奇點(diǎn)，和例3-2類似求得應(yīng)力函數(shù)奇性主部為由式(2)及式(a)得

在z=b的主部

(3-66)

(a)

第97頁/共121頁第九十七頁，共122頁。解析開拓時，在z=R2/b和z=0出現(xiàn)奇點(diǎn)，奇性主部由式

(a)，(b)及式(3-65)可導(dǎo)出如下注：

(b)

(c)

第98頁/共121頁第九十八頁，共122頁。去常數(shù)項(xiàng)即為式（c）第二式與例3-2同樣推理，可得(3-67)

第99頁/共121頁第九十九頁，共122頁。思考2

若集中力作用于圓外任意點(diǎn)z0處，如何求出其應(yīng)力函數(shù)。在任意點(diǎn)z0作用集中力偶時，試求應(yīng)力函數(shù)。已知有圓孔受切向分布荷載主矩為M之解取極限得原點(diǎn)作用集中力偶M的解,3.6.4關(guān)于彈性橢圓孔的解析開拓如圖3-14(a)，為含橢圓孔無限彈性平面，橢圓xyoibc-c圖3-14(a)(1)

由(3-68)

第100頁/共121頁第一百頁，共122頁。oR圖3-14(b)映射到ζ平面上的圓：|ζ|=R

將橢圓的外部區(qū)域S+映射到ζ平面的圓外區(qū)域|ζ|>R。同時也將沿橢圓焦點(diǎn)(-c,c)剪開的橢圓內(nèi)部映射到圓環(huán)域：1<|ζ|<R，如圖3-14(b)所示。由式(3-20)和(3-19)，注意到

有(3-69)

第101頁/共121頁第一百零一頁，共122頁。將式(3-18)，(3-19)代入式(3-11)，右邊積分，兩邊取共軛|ζ|=R上可設(shè)越過圓弧的解析開拓：(1)L為自由邊界時(2)L為固定邊界時(3-70)

(3-71)

(2)

(3)

(4)

第102頁/共121頁第一百零二頁，共122頁。例3-4

具有自由橢圓孔的無限板在無窮遠(yuǎn)處受均勻應(yīng)力，試求復(fù)應(yīng)力函數(shù)。解式(3-14)在z=∞處，與(3-16)式相同。

在ζ=∞處的奇性主部由式(3)得

奇性主部為

(5)

(a)

(b)

第103頁/共121頁第一百零三頁，共122頁。越過圓周解析開拓到圓內(nèi)時，僅在ζ=0出現(xiàn)奇點(diǎn)，由式(4)得主部推廣的Liouville定理(c)

(d)

(3-72)

第104頁/共121頁第一百零四頁，共122頁。例3-5

如圖3-15(a)所示，有自由橢圓孔的無限彈性板在任意位置z0受集中力Fx+iFy作用，試求復(fù)應(yīng)力函數(shù)。解采用式(3-68)的保角映射，如圖3-15(b)所示。xyoboR圖3-15(a)物理平面(b)相平面oR第105頁/共121頁第一百零五頁，共122頁。在z平面上

奇性主部為

在相平面必存在一奇點(diǎn)ζ0，奇性主部由式(3-68)代入(a)、(b)得由式(3)，并注意到，求出在點(diǎn)ζ0的主部為

(a)

(b)

(c)

(d)

第106頁/共121頁第一百零六頁，共122頁。其中延拓到S-時，在

和ζ=0出現(xiàn)奇點(diǎn)，奇性主部由式(4)可導(dǎo)出由推廣的Liouville定理(e)

（f）第107頁/共121頁第一百零七頁，共122頁。再由式(3)可得

,孔邊界周向應(yīng)力

是復(fù)數(shù)

在孔邊界上的值。思考3

若橢圓孔外任意位置z0作用集中力偶M，試求復(fù)勢函數(shù)及孔邊周向應(yīng)力.(g)

(3-73)

第108頁/共121頁第一百零八頁，共122頁。§3.7彈性反平面問題的復(fù)勢解法3.7.1基本方程與邊界條件如圖3-16所示，圓柱體柱面上的剪力q沿母線方向作用且均勻分布為反平面問題，即縱向剪切問題，包括沿z方向作用的集中源，集中力，螺型位錯等。o圖3-16反平面問題的基本方程可由空間彈性力學(xué)基本方程退化得到。1、基本假設(shè)2、幾何方程(1)

第109頁/共121頁第一百零九頁，共122頁。將式(1)代入空間幾何方程可得3、物理方程將式(2)代入廣義虎克定律得(2)(3)第110頁/共121頁第一百一十頁，共122頁。4、平衡