數(shù)值分析解線性方程組的迭代法

第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日一、迭代法的一般形式同解變形構(gòu)造迭代公式任取初始向量x(0)，代入迭代公式，產(chǎn)生向量序列{x(k)}，若x(k)收斂，則當(dāng)k充分大時(shí)，以x(k)作為方程組的近似解，就是迭代法.第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日二、向量序列的收斂性定義1設(shè){x(k)}為Rn中的向量序列，x∈Rn，如果其中||.||為向量范數(shù)，則稱序列{x(n)}收斂于x，記為第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日定理1Rn中的向量序列{x(k)}收斂于Rn中的向量x當(dāng)且僅當(dāng)其中第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日三、矩陣序列的收斂性定義2設(shè){A(k)}為n階方陣序列，A為n階方陣，如果其中||.||為矩陣范數(shù)，則稱序列{A(n)}收斂于A，記為第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日定理2設(shè)A(k)=(aij)(k=1,2,…)，A=(aij)均為n階方陣，則矩陣序列{A(n)}收斂于矩陣A的充要條件為第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日???請(qǐng)回答:對(duì)于任何一個(gè)方程組x=Bx+f(由Ax=b變形得到的等價(jià)的方程組)，按迭代法作出的向量序列x(k)是否一定逐步逼近方程組的解x*呢？

答：不一定！例如用迭代法解方程組其精確解為若選初值x(0)=(0,0)T進(jìn)行迭代，則不可能收斂到精確解.第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日因此下面我們將要研究幾個(gè)問題：

如何構(gòu)造迭代公式？如何判斷迭代公式收斂？在收斂條件下，如何判斷收斂速度？第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日一、Jacobi迭代法

§迭代法（2）

二、Gauss-Seidel迭代法三、超松弛迭代法第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日一、Jacobi迭代法1.Jacobi迭代法舉例例：求解方程組其中精確解是x*=(3,2,1)T第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日解：將原方程組改寫為則迭代公式為：若選x(0)=(0,0,0)T,則迭代10次有x(10)=(3.000032,1.999838,0.9998813)T這就是Jacobi迭代法！第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日2.Jacobi迭代法一般形式由方程組的系數(shù)矩陣A非奇異，不妨設(shè)aii≠0，方程組變形為第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日對(duì)應(yīng)上述的方程組，可得迭代公式為其中x(k)為第k次迭代向量.Jacobi迭代法的一般公式第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日3.Jacobi迭代法的矩陣形式將方程組記為Ax=b其中A非奇異且aii≠0(I=1,2,…,n).將A分裂為A=D－Ｌ－Ｕ其中第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日由此可將變形過程用矩陣表示為

Dx=(L+U)x+b即x=D-1(L+U)x+D-1b簡記為

x=B0x+f故Jacobi迭代公式的矩陣形式為第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日二、Gauss-Seidel迭代法1.Gauss-Seidel迭代法舉例例：求解方程組精確解是x*=(3,2,1)T第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日解：將原方程組改寫為則迭代公式為：若選x(0)=(0,0,0)T,則迭代5次有x(5)=(2.999843,2.000072,1.000061)T這就是Gauss-Seidel迭代法:認(rèn)為最新計(jì)算出的分量可能比舊的分量要好些！第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日2.Gauss-Seidel迭代法一般形式對(duì)應(yīng)于變形方程組G-S迭代公式可寫為：其中x(k)為第k次迭代向量.第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日3.Gauss-Seidel迭代法的矩陣形式將方程組記為Ax=b其中A非奇異且aii≠0(I=1,2,…,n).將A分裂為A=D－Ｌ－Ｕ其中第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日由此可將方程組的變形過程用矩陣表示為

Dx=(L+U)x+b這G-S迭代可表示為

Dx(k+1)

=Lx(k+1)

+Ux(k)

+b整理得

x(k+1)

=

(D－L)－1Ux(k)

+(D－L)－1b故G-S迭代公式的矩陣形式為第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日注：對(duì)有些問題Gauss-Seidel迭代法確實(shí)比Jacobi迭代法收斂得快;但也有Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收斂得慢;甚至還有Jacobi迭代法收斂，而Gauss-Seidel迭代法發(fā)散的情形。第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日三、超松弛迭代法1.超松弛迭代法的一般形式為了加速迭代過程的收斂，我們通過引入?yún)?shù)，在Gauss-Seidel迭代的基礎(chǔ)上得到一種新的迭代法。記其中x(k+1)由G-S方法算出。于是有第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日（i=1,2,…,n）可以把△x看作G-S迭代的修正項(xiàng)，即第k次近似解x(k)

以此項(xiàng)修正后得到新的近似解x(k+1)=x(k)+△x

松弛法是將△x乘上一個(gè)參數(shù)因子ω作為修正項(xiàng)而得到新的近似值，其具體公式為：第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日x(k+1)=x(k)+ω△x即按上式計(jì)算方程組近似解序列的方法稱為松弛法，ω<1時(shí)，稱為低松弛；ω=1時(shí)，是G-S法；ω>1時(shí)，稱為超松弛法，簡稱SOR法第二十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日2.超松弛迭代法舉例例：用超松弛法求解下列方程組，取ω=1.4精確解是x*=(3,2,1)T第二十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日解：將原方程組改寫為則迭代公式為：第二十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日3.超松弛迭代法的矩陣形式用分解式A=D－Ｌ－Ｕ，則可寫