江蘇省八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中考試卷含答

第24頁(yè)江蘇省2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中考試卷(含答案解析)江蘇省2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中考試卷(含答案解析)一、選擇題〔此題8小題，每題3分，共24分〕1．以下圖案中軸對(duì)稱圖形是()A．B．C．D．2．以下各條件中，不能作出惟一三角形的是()A．兩邊和夾角B．兩角和夾邊C．兩邊和其中一邊的對(duì)角D．三邊3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24cm，AB=26cm，那么其直角邊BC的長(zhǎng)為()A．6cmB．100cmC．15cmD．10cm4．△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，假設(shè)添加條件∠B=∠C，那么可用()A．SSSB．AASC．HLD．不確定5．如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，那么圖中全等三角形的對(duì)數(shù)是()A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)6．如圖，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D．以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A．圖中共有三個(gè)等腰三角形B．點(diǎn)D在AB的垂直平分線上C．AC+CD=ABD．BD=2CD二、解答題〔共2小題，總分值6分〕8．如圖，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，AC=26，BD=24，那么線段MN長(zhǎng)為_(kāi)_________．10．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．給出以下五個(gè)結(jié)論：〔1〕AE=CF；〔2〕∠APE=∠CPF；〔3〕三角形EPF是等腰直角三角形；〔4〕S四邊形AEPF=S△ABC；〔5〕EF=AP，其中正確的有__________個(gè)．三、操作與計(jì)算〔此題共2小題，共12分〕11．兩城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME、MF位置如下圖，現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME、MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部，那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C．〔不寫、求作、作法，只保存作圖痕跡〕12．如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，點(diǎn)P是△ABC三條邊上的任意一點(diǎn)．假設(shè)△ACP為等腰三角形，在圖中作出所有符合條件的點(diǎn)P，要求：①尺規(guī)作圖，不寫作法，保存痕跡；②假設(shè)符合條件的點(diǎn)P不只一個(gè)，請(qǐng)標(biāo)注P1、P2…四、解答題〔此題共6小題，共54分〕13．小強(qiáng)想知道廣場(chǎng)上旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到旗臺(tái)上還多0.8米，當(dāng)他把繩子的下端在旗臺(tái)上拉開(kāi)2米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸旗臺(tái)面，你能幫他算出來(lái)這根旗桿的高嗎？14．：如圖，點(diǎn)E、A、C在同一條直線上，AB∥CD，AB=CE，∠B=∠E．〔1〕求證：△ABC≌△CED；〔2〕假設(shè)∠B=25°，∠ACB=45°，求∠ADE的度數(shù)．15．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．〔1〕求證：△BCE≌△DCF；〔2〕求證：AB+AD=2AE．16．如圖，AO是邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的高，點(diǎn)D是AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)D不與點(diǎn)A、O重合〕，以CD為一邊在AC下方作等邊△CDE，連結(jié)BE并延長(zhǎng)，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．〔1〕求證：△ACD≌△BCE；〔2〕當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí)，求△CEF的面積．17．課本等腰三角形的軸對(duì)稱性一節(jié)，我們最后通過(guò)直角三角形紙片折疊發(fā)現(xiàn)了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半〞．〔1〕小聰同學(xué)畫出了如圖①所示的一個(gè)特殊的直角三角形，其中∠BAC為直角，AD為斜邊BC上的中線，∠B=30°．它證明上面定理思路如下：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連結(jié)BE，再證△ABC≌△BAE，你認(rèn)為小聰能否完成證明？__________〔只需要填“能〞或“不能〞〕；〔2〕小聰同學(xué)還想借助圖②，任意的Rt△ABC為直角，AD為斜邊BC上的中線，證明或推翻結(jié)論AD=BC，請(qǐng)你幫助小聰同學(xué)完成；〔3〕如圖③，在△ABC中AD⊥BC，垂足為D，如果CD=1，AD=2，BD=4，求△ABC的中線AE的長(zhǎng)度．18．如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．〔1〕在圖1中，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，猜測(cè)并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；〔2〕將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．猜測(cè)并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜測(cè)；〔3〕將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．你認(rèn)為〔2〕中所猜測(cè)的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？假設(shè)成立，給出證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．江蘇省2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中考試卷(含答案解析)參考答案及試題解析一、選擇題〔此題8小題，每題3分，共24分〕1．以下圖案中軸對(duì)稱圖形是()A．B．C．D．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩局部完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有兩條，符合題意．應(yīng)選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩局部折疊后可重合．2．以下各條件中，不能作出惟一三角形的是()A．兩邊和夾角B．兩角和夾邊C．兩邊和其中一邊的對(duì)角D．三邊【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；全等三角形的判定．【分析】考慮是否符合三角形全等的判定即可．【解答】解：A、B、D三個(gè)選項(xiàng)分別符合全等三角形的判定方法SAS，ASA，SSS，故能作出唯一三角形；C、只有涉及的兩個(gè)三角形同為銳角三角形或者鈍角三角形或者直角三角形時(shí)，才成立．應(yīng)選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判斷方法，在兩邊的情況下，對(duì)應(yīng)的兩邊必須夾角，才能判斷三角形全等．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24cm，AB=26cm，那么其直角邊BC的長(zhǎng)為()A．6cmB．100cmC．15cmD．10cm【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出直角邊BC的長(zhǎng)即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24cm，AB=26cm，由勾股定理得：BC===10〔cm〕；應(yīng)選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理，直角三角形的斜邊長(zhǎng)和一條直角邊長(zhǎng)即可求出另一直角邊長(zhǎng)．4．△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，假設(shè)添加條件∠B=∠C，那么可用()A．SSSB．AASC．HLD．不確定【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ADB=∠ADC=90°，再加上條件∠B=∠C，公共邊AD=AD可利用AAS進(jìn)行判定．【解答】解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD〔AAS〕．應(yīng)選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．5．如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，那么圖中全等三角形的對(duì)數(shù)是()A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)【考點(diǎn)】全等三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)條件“AB=AC，D為BC中點(diǎn)〞，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，推出△AOE≌△EOC，從而根據(jù)“SSS〞或“SAS〞找到更多的全等三角形，要由易到難，不重不漏．【解答】解：∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，在△AOE和△COE中，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，∴△BOD≌△COD；在△AOC和△AOB中，∴△AOC≌△AOB；應(yīng)選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是全等三角形的判定方法；這是一道考試常見(jiàn)題，易錯(cuò)點(diǎn)是漏掉△ABO≌△ACO，此類題可以先根據(jù)直觀判斷得出可能全等的所有三角形，然后從條件入手，分析推理，對(duì)結(jié)論一個(gè)個(gè)進(jìn)行論證．6．如圖，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D．以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A．圖中共有三個(gè)等腰三角形B．點(diǎn)D在AB的垂直平分線上C．AC+CD=ABD．BD=2CD【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，求出∠DAC和∠BAD，根據(jù)等腰三角形的判定即可判斷A；根據(jù)AD=BD即可判斷B；在AB上截取AE=AC，連接DE，證△EAD≌△CAD，推出DE=DC，∠C=∠AED=72°，求出CD=DE=BE，即可判斷C、D．【解答】解：A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB=36°，即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴D在AB的垂直平分線上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、在AB上截取AE=AC，連接DE，在△EAD和△CAD中∴△EAD≌△CAD，∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，∵∠B=36°，∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B，∴DE=BE，即AB=AE+BE=AC+CD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，∴BD＜2DC，故本選項(xiàng)正確；應(yīng)選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，有一定的難度．二、解答題〔共2小題，總分值6分〕8．如圖，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，AC=26，BD=24，那么線段MN長(zhǎng)為5．【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【分析】根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到BM=DM=5，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BN=4，根據(jù)勾股定理得到答案．【解答】解：連接BM、DM，∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM=AC，DM=AC，∴BM=DM=13，又N是BD的中點(diǎn)，∴BN=DN=BD=12，∴MN==5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．給出以下五個(gè)結(jié)論：〔1〕AE=CF；〔2〕∠APE=∠CPF；〔3〕三角形EPF是等腰直角三角形；〔4〕S四邊形AEPF=S△ABC；〔5〕EF=AP，其中正確的有4個(gè)．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【分析】〔1〕通過(guò)證明△AEP≌△CFP就可以得出AE=CF，〔2〕由∠EPA+∠FPA=90°，∠CPF+∠FPA=90°，就可以得出結(jié)論；〔3〕由△AEP≌△CFP就可以PE=PF，即可得出結(jié)論；〔4〕由S四邊形AEPF=S△APE+S△APF．就可以得出S四邊形AEPF=S△CPF+S△APF，就可以得出結(jié)論，〔5〕由條件知AP=BC，當(dāng)EF是△ABC的中位線時(shí)才有EF=AP，其他情況EF≠AP．【解答】解：〔1〕∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°，∠CPF+∠FPA=90°，∴∠APE=∠CPF．故〔1〕正確．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．∵P是BC的中點(diǎn)，∴BP=CP=AP=BC．∠BAP=∠CAP=45°．∴．∠BAP=∠C．在△AEP和△CFP中∴△AEP≌△CFP〔ASA〕，∴AE=CF，PE=PF，S△AEP=S△CFP，故〔2〕正確．∴△EPF是等腰直角三角形．故〔3〕正確．∵S四邊形AEPF=S△APE+S△APF．∴S四邊形AEPF=S△CPF+S△APF=S△APC=S△ABC．故〔4〕正確．∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點(diǎn)，∴AP=BC，∵EF不是△ABC的中位線，∴EF≠AP，故〔5〕錯(cuò)誤；∴正確的共有4個(gè)．故答案為4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，中位線的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的判定定理的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．三、操作與計(jì)算〔此題共2小題，共12分〕11．兩城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME、MF位置如下圖，現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME、MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部，那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C．〔不寫、求作、作法，只保存作圖痕跡〕【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【分析】到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點(diǎn)在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C．【解答】解：如圖：點(diǎn)C即為所求作的點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，掌握垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及尺規(guī)作圖的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，點(diǎn)P是△ABC三條邊上的任意一點(diǎn)．假設(shè)△ACP為等腰三角形，在圖中作出所有符合條件的點(diǎn)P，要求：①尺規(guī)作圖，不寫作法，保存痕跡；②假設(shè)符合條件的點(diǎn)P不只一個(gè)，請(qǐng)標(biāo)注P1、P2…【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；等腰三角形的判定．【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出符合題意的答案．【解答】解：如圖，共4個(gè)點(diǎn)，分別為P1、P2、P3、P4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了復(fù)雜作圖，正確掌握等腰三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．四、解答題〔此題共6小題，共54分〕13．小強(qiáng)想知道廣場(chǎng)上旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到旗臺(tái)上還多0.8米，當(dāng)他把繩子的下端在旗臺(tái)上拉開(kāi)2米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸旗臺(tái)面，你能幫他算出來(lái)這根旗桿的高嗎？【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理得出旗桿的高即可．【解答】解：設(shè)這根旗桿的高為x米，那么繩子的長(zhǎng)為〔x+0.2〕米，依題意，得方程x2+22=〔x+0.2〕2解得：x=9.9．答：這根旗桿的高為9.9米．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．14．：如圖，點(diǎn)E、A、C在同一條直線上，AB∥CD，AB=CE，∠B=∠E．〔1〕求證：△ABC≌△CED；〔2〕假設(shè)∠B=25°，∠ACB=45°，求∠ADE的度數(shù)．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】〔1〕由AB∥CD就可以得出∠BAC=∠ECD，由ASA就可以得出△ABC≌△CED；〔2〕根據(jù)△ABC≌△CED就可以得出∠BAC=∠ECD，∠ACB=∠CDE，AC=CD，求出∠ADC的值就可以得出∠ADE的值．【解答】解：〔1〕∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD．在△ABC和△CED中，∴△ABC≌△CED〔ASA〕；〔2〕∵△ABC≌△CED，∴∠BAC=∠ECD，∠ACB=∠CDE，AC=CD，∴∠CAD=∠CDA．∵∠B=25°，∠ACB=45°，∴∠BAC=110°．∠EDC=45°，∴∠CDA=35°．∴∠ADE=10°．答：∠ADE=10°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．15．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．〔1〕求證：△BCE≌△DCF；〔2〕求證：AB+AD=2AE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】〔1〕根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=CF，∠F=∠CEB=90°，即可得到結(jié)論；〔2〕由CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得到∠F=∠CEA=90°，推出Rt△FAC≌Rt△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=AE，由△BCE≌△DCF，得到BE=DF，于是得到結(jié)論．【解答】〔1〕證明：∵AC是角平分線，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，在Rt△BCE和Rt△DCF中，∴△BCE≌△DCF；〔2〕解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠F=∠CEA=90°，在Rt△FAC和Rt△EAC中，∴Rt△FAC≌Rt△EAC，∴AF=AE，∵△BCE≌△DCF，∴BE=DF，∴AB+AD=〔AE+BE〕+〔AF﹣DF〕=AE+BE+AE﹣DF=2AE．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，此題中求證Rt△BCE≌Rt△DCF和RT△ACF≌RT△ACE是解題的關(guān)鍵．16．如圖，AO是邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的高，點(diǎn)D是AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)D不與點(diǎn)A、O重合〕，以CD為一邊在AC下方作等邊△CDE，連結(jié)BE并延長(zhǎng)，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．〔1〕求證：△ACD≌△BCE；〔2〕當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí)，求△CEF的面積．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】〔1〕由△ABC和△CDE是等邊三角形，用“SAS〞證得△ACD≌△BCE；〔2〕首先作CP⊥BF于點(diǎn)P，由∠CBE=30°，求得CP的長(zhǎng)，繼而求得答案．【解答】解：〔1〕∵△ABC為等邊三角形∴AC=BC，∠ACB=60°，同理可證CD=CE，∠DCE=60°，∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE〔SAS〕；〔2〕由〔1〕得∠CBE=∠CAD=30°，得△ABF恒為直角三角形，且∠F=30°CF=CB=2，又因?yàn)辄c(diǎn)D不與點(diǎn)A、O重合，所以當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí)，∠F只能為頂角，如圖，作CP⊥BF于點(diǎn)P，由∠CBE=30°，得CP=BC=1，因?yàn)镃F=EF=2，所以S△CEF=×2×1=1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．17．課本等腰三角形的軸對(duì)稱性一節(jié)，我們最后通過(guò)直角三角形紙片折疊發(fā)現(xiàn)了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半〞．〔1〕小聰同學(xué)畫出了如圖①所示的一個(gè)特殊的直角三角形，其中∠BAC為直角，AD為斜邊BC上的中線，∠B=30°．它證明上面定理思路如下：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連結(jié)BE，再證△ABC≌△BAE，你認(rèn)為小聰能否完成證明？能〔只需要填“能〞或“不能〞〕；〔2〕小聰同學(xué)還想借助圖②，任意的Rt△ABC為直角，AD為斜邊BC上的中線，證明或推翻結(jié)論AD=BC，請(qǐng)你幫助小聰同學(xué)完成；〔3〕如圖③，在△ABC中AD⊥BC，垂足為D，如果CD=1，AD=2，BD=4，求△ABC的中線AE的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】〔1〕如圖①所示．由三角形內(nèi)角和定理可求得∠ACB=60°．然后證明△ACD≌△EBD，從而得到∠EBD=∠ACD=60°，BE=AC，∠ABE=90°然后再證明Rt△ABE≌Rt△BAC，于是得到BC=AE故此BC=2AD；〔2〕如圖②所示：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E使DE=AD，連結(jié)BE，先證明△ACD≌△EBD，得到∠C=∠EBD，從而可證明∠BAC=∠ABE，然后證明△ABC≌△BAE，從而得到AE=BC，故此BC=AE=2AD；〔3〕根據(jù)勾股定理得：AC2=5，AB2=20，于是可得到AC2+AB2=BC2．于是得到△ABC是直角三角形，根據(jù)結(jié)論可知△ABC的中線AE的長(zhǎng)度=BC=．【解答】解：〔1〕能．理由：如圖①所示．∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠ACB=60°．在△ACD和△EBD中，∴△ACD≌△EBD．∴∠EBD=∠ACD=60°，BE=AC．∴∠ABE=90°．在Rt△ABE和Rt△BAC中，∴Rt△ABE≌Rt△BAC．∴BC=AE．∴BC=2AD．∴AD=BC．〔2〕證明：如圖②所示：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E使DE=AD，連結(jié)BE．在△ACD和△EBD中，∴△ACD≌△EBD．∴∠C=∠EBD∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE．在△ABC和△BAE中，∴△ABC≌△BAE．∴AE=BC．∴BC=AE=2AD〔3〕∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°．∵CD=1，AD=2，BD=4，∴根據(jù)勾股定理得：AC2==5，AB2==20．∵AC2=5，AB2=20，BC2=〔1+4〕2=25，∴AC2+AB2=BC2．∴△ABC是直角三角形．∴△ABC的中線AE的長(zhǎng)度=BC=．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用、勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，根據(jù)△ACD≌△EBD、△ABC≌△BAE是解題的關(guān)鍵．18．如圖1，△ABC的邊B