高等數(shù)學復旦大學出版社習題答案十

PAGEPAGE252習題十1.根據(jù)二重積分性質，比較與的大小，其中：（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）為頂點的三角形；（2）D表示矩形區(qū)域.解：（1）區(qū)域D如圖10-1所示，由于區(qū)域D夾在直線x+y=1與x+y=2之間，顯然有圖10-1從而故有所以（2）區(qū)域D如圖10-2所示.顯然，當時，有.圖10-2從而ln(x+y)>1故有所以2.根據(jù)二重積分性質，估計下列積分的值：（1）;（2）;（3）.解：（1）因為當時，有,因而.從而故即而（σ為區(qū)域D的面積），由σ=4得.(2)因為，從而故即而所以（3）因為當時，所以故即而所以3.根據(jù)二重積分的幾何意義，確定下列積分的值：（1）（2）解：（1）在幾何上表示以D為底，以z軸為軸，以（0，0，a）為頂點的圓錐的體積，所以（2）在幾何上表示以原點（0，0，0）為圓心，以a為半徑的上半球的體積，故4.設f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，求.解：因為f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，由二重積分的中值定理得，使得又由于D是以（x0，y0）為圓心，r為半徑的圓盤，所以當時，于是：5.畫出積分區(qū)域，把化為累次積分：(1);(2)(3)解：（1）區(qū)域D如圖10-3所示，D亦可表示為.所以(2)區(qū)域D如圖10-4所示，直線y=x-2與拋物線x=y2的交點為（1，-1），（4，2），區(qū)域D可表示為.圖10-3圖10-4所以（3）區(qū)域D如圖10-5所示，直線y=2x與曲線的交點(1，2)，與x=2的交點為(2，4),曲線與x=2的交點為（2，1），區(qū)域D可表示為圖10-5所以.6.畫出積分區(qū)域，改變累次積分的積分次序：(1);(2);(3);(4);(5).解：（1）相應二重保健的積分區(qū)域為D：如圖10-6所示.圖10-6D亦可表示為：所以(2)相應二重積分的積分區(qū)域D：如圖10-7所示.圖10-7D亦可表示為：所以(3)相應二重積分的積分區(qū)域D為：如圖10-8所示.圖10-8D亦可看成D1與D2的和，其中D1：D2：所以.(4)相應二重積分的積分區(qū)域D為：如圖10-9所示.圖10-9D亦可看成由D1與D2兩部分之和，其中D1：D2：所以(5)相應二重積分的積分區(qū)域D由D1與D2兩部分組成，其中D1：D2：如圖10-10所示.圖10-10D亦可表示為：所以7.解：因為為一常數(shù)，不妨設則有從而有而故8.計算下列二重積分：(1)(2)D由拋物線y2=x,直線x=0與y=1所圍；(3)D是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)為頂點的三角形;(4).解：（1）(2)積分區(qū)域D如圖10-12所示.圖10-12D可表示為：所示(3)積分區(qū)域D如圖10-13所示.圖10-13D可表示為：所以9.計算下列二次積分：解：（1）因為求不出來，故應改變積分次序。積分區(qū)域D：0≤y≤1,y≤x≤，如圖10-14所示。圖10-14D也可表示為：0≤x≤1,x2≤y≤x.所以(2)因為求不出來，故應改變積分次序。積分區(qū)域D分為兩部分，其中如圖10-15所示：圖10-15積分區(qū)域D亦可表示為：于是：10.在極坐標系下計算二重積分：(1)(2)D為圓=1所圍成的區(qū)域；(3)D是由=4,=1,及直線y=0,y=x所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域；(4)D是由曲線=x+y所包圍的閉區(qū)域。解：(1)積分區(qū)域D如圖10-16所示：圖10-16D亦可采用極坐標表示為：π≤r≤2π,0≤θ≤2π所以(2)積分區(qū)域D可用極坐標表示為：0≤r≤1,0≤θ≤2π.所以：(3)積分區(qū)域D如圖10-17所示.圖10-17D可用極坐標表示為：0≤θ≤,1≤r≤2.所以：(4)積分區(qū)域D如圖10-18所示，圖10-18D可用極坐標表示為：所以：11.將下列積分化為極坐標形式，并計算積分值：解：（1）積分區(qū)域D如圖10-19所示.圖10-19D亦可用極坐標表示為：所以：(2)積分區(qū)域D如圖10-20所示.圖10-20D可用極坐標表示為：于是：(3)積分區(qū)域D如圖10-21所示.圖10-21D也可用極坐標表示為：.于是：(4)積分區(qū)域D如圖10-22所示.圖10-22D可用極坐標表示為：于是:*12.作適當坐標變換，計算下列二重積分：(1),其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所圍平面區(qū)域；(2)(3)令x=v,x+y=u;(4)(5)(6)解：(1)積分區(qū)域D如圖10-23所示：圖10-23令xy=u,,則于是：(2)積分區(qū)域D如圖10-24所示。圖10-24令x+y=u,x-y=v,則且-1≤u≤1,-1≤v≤1.于是：（3）積分區(qū)域Dxy:0≤x≤1,1-x≤y≤2-x令x=v,x+y=u,則y=u-v積分區(qū)域Dxy變?yōu)镈uv:0≤v≤1,1≤u≤2.且于是(4)令x=arcosθ,y=brsinθ則積分區(qū)域D變?yōu)镈rθ：0≤θ≤2π,0≤r≤1,于是：(5)令x=rcosθ，y=rsinθ.即作極坐標變換，則D變?yōu)椋?≤r≤3,0≤θ≤2π.于是：（6）積分區(qū)域D如圖10-25所示：D可分為D1,D2∪D3,D4四個部分.它們可分為用極坐標表示為。圖10-25D1:0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ,D2∪D3:0≤θ≤π,2sinθ≤r≤2,D4:π≤θ≤2π,0≤r≤2于是：13.求由下列曲線所圍成的閉區(qū)域的面積：(1)曲線所圍（a>0,b>0）;(2)曲線xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x所圍（x>0,y解：（1）曲線所圍的圖形D如圖10-26所示：圖10-26D可以表示為：所求面積為：(2)曲線xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x(x>0,y>0)所圍圖形D如圖10-圖10-27所求面積為令xy=u,,則于是14.證明：(1)(2),D為|x|+|y|≤1;(3),其中D為x2+y2≤1且a2+b2≠0.解：（1）題中所給累次積分的積分區(qū)域D為a≤y≤b,a≤x≤y.如圖10-28所示：圖10-28D也可表示為a≤x≤b，x≤y≤b，于是：(2)令x+y=u,x-y=v，則,且-1≤u≤1,-1≤v≤1,于是(3)令,則當x2+y2≤1時，于是*15.試討論下列無界區(qū)域上二重積分的收斂性：(1)(2),D為全平面；(3)當時當時解：（1）當時當時故當m>1時，原積分收斂，當m≤1時發(fā)散。（2）由于被積函數(shù)是正的，并且關于x軸和y軸都對稱，故由于,故積分當p>1時收斂，p<1時發(fā)散，p=1時顯然也發(fā)散，因此.同理有：.由此可知僅當p>1且q>1時收斂，其他情形均發(fā)散。(3)由0<m<|φ(x,y)|≤M,可知積分與積分同時收斂同時發(fā)散。由于被積函數(shù)是正的，故由于，當0≤y≤1時，有(若p≥0),(若p<0),故(若p≥0),若p<0，則有相反的不等式。由于,故積分當時收斂，時發(fā)散，而時，由知積分也發(fā)散。由此可知：積分，從而積分當時收斂，當時發(fā)散。*16.計算積分解：由于而收斂，故收斂，從而，采用極坐標有：*17.試討論下列無界函數(shù)的二重積分的收斂性：(1);(2)解：(1)故當m<1時，原積分收斂，當m≥1時，原積分發(fā)散。（2）由于x2+xy+y2=(當(x,y)≠(0,0)時)故(當(x,y)≠(0,0)時)再注意到廣義重積分收斂必絕對收斂，即知積分與同斂散。由于(當(x,y)≠(0,0)時)，采用極坐標即得而為常義積分，其值為有限數(shù)，而由此可知：原積分當p<1時收斂，當p≥1時發(fā)散。18.化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域Ω分別是：(1)由雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所圍成的閉區(qū)域；(2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所圍成的閉區(qū)域；(3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域;(4)由曲面cz=xy(c>0)，所圍成的第I卦限內的閉區(qū)域。解：(1)積分區(qū)域Ω如圖10-38所示，圖10-38Ω可表示為：故(2)積分區(qū)域Ω如圖10-39所示。圖10-39Ω可表示為：故(3)由消去z得即，所以Ω在xOy面的投影區(qū)域為x2+y2≤1，如圖10-40所示。圖10-40Ω可表示為：-1≤x≤1,,x2+2y2≤z≤2-x2故(4)積分區(qū)域如圖10-41所示。Ω可表示為：圖10-41故19.在直角坐標系下計算三重積分：(1),其中Ω是由曲面z=xy與平面y=x,x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域；(2)，其中Ω為平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的四面體；(3)，Ω是兩個球：x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz(R>0)的公共部分；(4),其中Ω是由x=a(a>0),y=x,z=y,z=0所圍成；(5),其中Ω是由x2+z2-y2=1,y=0,y=2所圍成；(6),其中Ω是由所圍成。解：(1)積分區(qū)域Ω如圖10-42所示。圖10-42Ω可表示為：(2)積分區(qū)域Ω如圖10-43所示，Ω可表示為：圖10-43故(3)積分區(qū)域Ω如圖10-44所示。圖10-44由方程x2+y2+z2=R及x2+y2+z2=2Rz得兩球的交線為：,且平面把積分區(qū)域Ω分為兩部分，且積分區(qū)域Ω在z軸上的投影區(qū)間為[0,R],記過上任意一點z的平行于xOy面的平面與Ω相交的平面區(qū)域為D1(z),過上任意一點z的平行于xOy面的平面與Ω的相交的平面區(qū)域為D2(z)，則(4)積分區(qū)域Ω如圖10-45所示。圖10-45Ω可表示為：故(5)積分區(qū)域Ω如圖10-46所示。圖10-46Ω在y軸上的投影區(qū)間為[0,2]，故(6)積分區(qū)域Ω如圖10-47所示。圖10-47Ω可表示為：故20.如果三重積分的被積函數(shù)f(x,y,z)是三個函數(shù)f1(x),f2(y),f3(z)的乘積，即f(x,y,z)=f1(x)·f2(y)·f3(z)，積分區(qū)域為a≤x≤b，c≤y≤d,l≤z≤m，證明,這個三重積分等于三個單積分的乘積，即證：21.利用柱面坐標計算下列三重積分：(1),其中Ω是由曲面及所圍成的閉區(qū)域；(2),其中Ω是由曲面及平面z=2所圍成的閉區(qū)域.圖10-48解：(1)由及消去得,因而區(qū)域Ω在xOy面上的投影區(qū)域為,如圖10-48所示，在柱面坐標系下：Ω可表示為：圖10-48故(2)積分區(qū)域如圖10-49所示，在柱面坐標系下，Ω可表示為圖10-49圖10-49故22.利用球面坐標計算下列三重積分：(1)，其中Ω是由球面所圍成的閉區(qū)域；(2)，其中Ω由不等式,所確定.解：（1）(2)積分區(qū)域Ω如圖10-50所示，在球面坐標系下，Ω可表示為圖10-50故圖10-5023.選用適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝腥胤e分：(1)，其中Ω為柱面及平面z=1,z=0,x=0,y=0所圍成的第I卦限內的閉區(qū)域；(2),其中Ω是由球面所圍成的閉區(qū)域;(3),其中Ω是由曲面及平面z=5所圍成的閉區(qū)域；(4)，其中Ω由不等式所確定。解：（1）積分區(qū)閉Ω如圖10-51所示.利用柱面坐標計算，Ω在柱面坐標系下表示為：圖10-51,0≤r≤1，0≤z≤1,故本題也可采用直角坐標計算，在直角坐標系下，Ω可表示為：故(2)積分區(qū)域Ω如圖10-52所示。用球面坐標計算，在球面坐標系下Ω可表示為：圖10-52故(3)積分區(qū)域Ω如圖10-53所示。利用柱面坐標計算，在柱面坐標系下，Ω可表示為：圖10-53故(4)積分區(qū)域如圖10-54所示。利用球面坐標計算，在球面坐標系下，Ω可表示為：圖10-54故24.利用三重積分計算由下列曲面所圍成的立體的體積：(1)z=6-x2-y2及；(2)x2+y2+z2=2az(a>0)及x2+y2=z2（含有z軸的部分）；(3)及z=x2+y2;(4)z=及x2+y2=4z.解：（1）曲面圍成的立體Ω如圖10-55所示。在柱面坐標系下，Ω可表示為：圖10-55用柱面坐標可求得Ω的體積（2）曲面圍成的立體Ω如圖10-56所示。在球面坐標系下Ω可表示為：圖10-56利用球面坐標可求得Ω的體積：（3）曲面圍成的立體Ω如圖10-57所示。在柱面坐標系下，Ω可表示為：圖10-57利用柱面坐標可求得Ω的體積：(4)曲面圍成的立體Ω如圖10-58所示。在柱面坐標系下，Ω可表示為：圖10-58利用柱面坐標可求得Ω的體積：*25.選擇坐標變換計算下列各題：（1）（2）解：（1）令則積分區(qū)域Ω變?yōu)棣?：且故(2)坐標變換同（1）。26.球心在原點，半徑為R的球體，在其上任意一點的密度的大小與這點到球的距離成正比，求這球體的質量。解：利用球面坐標計算：Ω：則27.求球面x2+y2+z2=a2含在圓柱面x2+y2=ax內部的那部分面積。解：如圖10-29所示：圖10-29上半球面的方程為，由得由對稱性知28.求錐面z=被柱面z2=2x所割下部分的曲面面積。解：由z2=x2+y2,z2=2x兩式消去z得x2+y2=2x，則所求曲面在xOy面上的投影區(qū)域D為：x2+y2≤2x,而故所求曲面的面積為.29.求底面半徑相等的兩個直交圓柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所圍立體的表面積。解：由對稱性知，所圍立體的表面積等于第一卦限中位于圓柱面x2+y2=R2內的部分面積的16倍，如圖10-30所示。圖10-30這部分曲面的方程為，于是所求面積為.30.設薄片所占的閉區(qū)域D如下，求均勻薄片的重心。(1)D由所圍成；(2)D是半橢圓形閉區(qū)域：;(3)D是介于兩個圓r=acosθ,r=bcosθ(0<a<b)之間的閉區(qū)域。解：(1)閉區(qū)域D如圖10-31所示。圖10-31閉區(qū)域D的面積A為所求重心為.(2)因為閉區(qū)域D對稱于y軸，所以=0,又閉區(qū)域D的面積。.所以：所求重心為.(3)閉區(qū)域D如圖10-32所示：圖10-32由于閉區(qū)域D關于x軸對稱，所以,又故所求重心為31.設平面薄片所占的閉區(qū)域D由拋物線y=x2及直線y=x所圍成，它在點（x,y）處的面密度ρ(x,y)=x2y，求該薄片的重心。解：閉區(qū)域D如圖10-33所示：圖10-33薄片的質量為從而所求重心為.32.設有一等腰直角三角形薄片，腰長為a，各點處的面密度等于該點到直角頂點的距離的平方，求這薄片的重心.解：建立直角坐標系如圖10-34所示。圖10-34由已知ρ(x,y)=x2+y2,且從而即所求重心為.33.設均勻薄片（面密度為常數(shù)1）所占閉區(qū)域D如下，求指定的轉動慣量：(1)D:，求Iy;(2)D由拋物線與直線x=2所圍成，求Ix和Iy；(3)D為矩形閉區(qū)域：0≤x≤a,0≤y≤b,求Ix和Iy.解：（1）令x=arcosθ,y=brsinθ,則在此變換下D：變化為：r≤1,即0≤r≤1,0≤θ≤2π,且,所以(2)閉區(qū)域D如圖10-35所示圖10-35(3)34.已知均勻矩形板（面密度為常量ρ）的長和寬分別為b和h，計算此矩形板對于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉動慣量。解：取形心為原點，取兩旋轉軸為坐標軸，建立坐標系如圖10-36所示.圖10-3635.求直線與坐標軸圍成的三角區(qū)域（a>0,b>0）對x軸及坐標原點的轉動慣量（面ρ為常數(shù)）.解：所圍三角區(qū)域D如圖10-37所示：圖10-3736.求由拋物線y=x2及直線y=1所圍成的均勻薄片（面密度為常數(shù)）c對于直線y=-1的轉動慣量。圖10-65解：37.計算下列對弧長的曲線積分：(1)，其中L為圓周x=acost,y=asint(0≤t≤2π);(2),其中L為連接（1,0）及（0，1）兩點的直線段；(3),其中L為由直線y=x及拋物線y=x2所圍成的區(qū)域的整個邊界；(4)，其中L為圓周x2+y2=a2，直線y=x及x軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界；(5)，其中為曲線x=etcost,y=etsint,z=et上相應于t從0變到2的這段弧；(6)，其中為折線ABCD，這里A，B，C，D依次為點（0,0,0）,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；(7)，其中L為擺線的一拱x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)；(8)，其中L為曲線x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcot),(0≤t≤2π)；(9)，其中為螺旋線，x=acost,y=asint,z=at(0≤t≤π).解：(1).(2)L的方