方向?qū)?shù)與梯度

方向?qū)?shù)與梯度1第一頁，共三十六頁，2022年，8月28日1.方向?qū)?shù)的定義

設(shè)有二元函數(shù)沿任何方向的變化率．

考慮函數(shù)在某點(diǎn)射線是指有方向的半直線,即一、方向?qū)?shù)概念與計(jì)算公式方向?qū)?shù)與梯度P2第二頁，共三十六頁，2022年，8月28日定義如果極限存在,則將這個(gè)極限值稱為函數(shù)在點(diǎn)記為即注方向?qū)?shù)是函數(shù)沿半直線方向的變化率.方向?qū)?shù)與梯度P3第三頁，共三十六頁，2022年，8月28日2.方向?qū)?shù)的幾何意義的幾何意義為曲面,當(dāng)限制自變量沿方向變化時(shí),對(duì)應(yīng)的空間點(diǎn)形成過的鉛垂平面與曲面的交線,這條交線在點(diǎn)M有一條記此半切線與方向的夾角為則由方向?qū)?shù)的半切線,定義得方向?qū)?shù)與梯度4第四頁，共三十六頁，2022年，8月28日ρ一定為正!是函數(shù)在某點(diǎn)沿任何方向的變化率.方向?qū)?shù)偏導(dǎo)數(shù)

分別是函數(shù)在某點(diǎn)沿平行于坐標(biāo)軸的直線Δx、Δy可正可負(fù)！的變化率.注方向?qū)?shù)與梯度5第五頁，共三十六頁，2022年，8月28日事實(shí)上,的方向?qū)?shù)存在,事實(shí)上,同理,的方向?qū)?shù)存在,方向?qū)?shù)與梯度存在時(shí),6第六頁，共三十六頁，2022年，8月28日????方向?qū)?shù)與梯度問:反之,存在時(shí),是否一定存在?7第七頁，共三十六頁，2022年，8月28日方向?qū)?shù)與梯度例如,函數(shù)沿方向的方向?qū)?shù)但不存在.即z在(0,0)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不存在.8第八頁，共三十六頁，2022年，8月28日證由于函數(shù)可微,得到3.關(guān)于方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算公式

充分條件定理可微,則函數(shù)且則增量可表示為兩邊同除以方向?qū)?shù)與梯度9第九頁，共三十六頁，2022年，8月28日故有方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)與梯度P10第十頁，共三十六頁，2022年，8月28日注即為(1)(2)計(jì)算方向?qū)?shù)只需知道l的方向及函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).方向?qū)?shù)與梯度在定點(diǎn)的方向?qū)?shù)為(3)(4)關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在可微.]0[的方向角是，、lpba?11第十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日例考慮函數(shù)定點(diǎn)P0(3,1),P1(2,3).求函數(shù)在P0沿方向的方向?qū)?shù).

解

方向?qū)?shù)與梯度12第十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日解由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有例方向?qū)?shù)與梯度13第十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日故方向?qū)?shù)達(dá)到最大值方向?qū)?shù)達(dá)到最小值方向?qū)?shù)等于和(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有方向?qū)?shù)與梯度14第十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日練習(xí)方向?qū)?shù)與梯度求函數(shù)在點(diǎn)P(2,3)沿曲線朝x增大方向的方向?qū)?shù).用參數(shù)方程表示為它在點(diǎn)P

的切向量為解將已知曲線,171cos=\a1760=15第十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義對(duì)于三元函數(shù)它在空間一點(diǎn)的方向?qū)?shù),可定義為方向?qū)?shù)與梯度同理,當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí),那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在,且有是l的方向向量.16第十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日解令故其方向余弦為1991年研究生考題,計(jì)算,5分例方向?qū)?shù)與梯度)1,1,1(632222Pzyxn在點(diǎn)是曲面設(shè)=++,處指向外側(cè)的法向量17第十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日故方向?qū)?shù)與梯度18第十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日練習(xí)求函數(shù)在點(diǎn)處沿解切線方向的方向向量在此點(diǎn)的切線方向上方向?qū)?shù)與梯度曲線的方向?qū)?shù).19第十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日1996年研究生考題,填空,3分解

此方向的方向向量為方向?qū)?shù)與梯度.2121310)32(2132=+-+×××20第二十頁，共三十六頁，2022年，8月28日問題?方向?qū)?shù)與梯度二、梯度概念與計(jì)算已知方向?qū)?shù)公式方向：模：

方向一致時(shí),方向?qū)?shù)取最大值f變化率最大的方向f的最大變化率之值函數(shù)沿什么方向的方向?qū)?shù)為最大(gradient)一個(gè)二元函數(shù)在給定的點(diǎn)處沿不同方向的方向?qū)?shù)是不一樣的.)cos,(cos0ba=lr21第二十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日方向?qū)?shù)與梯度定義記作讀作nable.即為函數(shù)稱向量梯度(gradient),稱為或算子,或向量微分算子.引入算符哈米爾頓算子,設(shè)函數(shù)可偏導(dǎo),利用梯度的概念,可將方向?qū)?shù)計(jì)算公式寫成22第二十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日方向?qū)?shù)與梯度梯度的基本運(yùn)算公式,grad)(grad2.uCuC=,gradgrad)(grad3.vuvu±=±vuuvvu?+?=?)(,grad)()(grad5.uufuf￠=23第二十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日結(jié)論x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量,方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,它的而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的模為方向?qū)?shù)與梯度24第二十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日在幾何上曲面被平面所得曲線在xOy面上投影是一條平面曲線等值線梯度為等值線上的法向量表示一個(gè)曲面,所截得方向?qū)?shù)與梯度如圖:25第二十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日

法線的斜率為:為等值線上點(diǎn)P處的法向量.所以梯度事實(shí)上,由于等值線上任一點(diǎn)方向?qū)?shù)與梯度等值線26第二十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日

類似于二元函數(shù),此梯度也是一個(gè)向量,其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)三元函數(shù)在空間區(qū)域G內(nèi)則對(duì)于每一點(diǎn)都可定義一個(gè)向量(梯度)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),方向?qū)?shù)與梯度27第二十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日類似地,設(shè)曲面為函數(shù)此函數(shù)在點(diǎn)的梯度的方向與過點(diǎn)P的等量面在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同,的等量面指向數(shù)值較高的等量面,等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).且從數(shù)值較低而梯度的模方向?qū)?shù)與梯度28第二十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日解故例并問在哪些點(diǎn)處梯度為零?=0=0=0方向?qū)?shù)與梯度處的梯度,29第二十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日方向?qū)?shù)與梯度設(shè)可導(dǎo),其中處向徑的模,試證證例為點(diǎn)30第三十頁，共三十六頁，2022年，8月28日方向?qū)?shù)與梯度例設(shè)函數(shù)(1)求出沿什么方向具有最大的增長(zhǎng)率,方向的變化率.(2)最大增長(zhǎng)率為多少?解

(1)

PQ方向的方向向量為31第三十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日方向?qū)?shù)與梯度沿什么方向具有最大的增長(zhǎng)率,(2)最大增長(zhǎng)率為多少?解

方向具有最大的增長(zhǎng)率,最大的增長(zhǎng)率為:即為梯度方向.32第三十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日1992年研究生考題,填空,3分解練習(xí)方向?qū)?shù)與梯度33第三十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日方向?qū)?shù)與梯度函數(shù)數(shù)量場(chǎng)

(數(shù)性函數(shù))場(chǎng)向量場(chǎng)(矢性函數(shù))可微函數(shù)梯度場(chǎng)(勢(shì))