2023屆新高考數(shù)學真題解析幾何專題講義第11講 圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用

2023屆新高考數(shù)學真題解析幾何專題講義第11講圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用一、問題綜述解析幾何是用解析方法(代數(shù)方法)來處理幾何問題，這并不意味著解析幾何決不利用幾何知識．相反地，解析幾何是將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，所以總是或多或少地利用了一些幾何知識．在適當?shù)牡胤綉脦缀沃R，往往使演算大為簡化，這也是解析幾何的一個重要技巧．利用圓錐曲線的光學性質(zhì)解題就是這類問題．二、知識儲備1.1橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上；(見圖1.1)橢圓的這種光學特性，常被用來設計一些照明設備或聚熱裝置．例如在處放置一個熱源，那么紅外線也能聚焦于處，對處的物體加熱.電影放映機的反光鏡也是這個原理.證明：由導數(shù)可得切線的斜率，而的斜率，的斜率∴到所成的角滿足，在橢圓上，∴，同理，到所成的角滿足，∴，而，∴ 1.2雙曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上；(見圖1.2)雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠鏡的設計等方面，也能找到實際應用．1.3拋物線的光學性質(zhì)：從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸(如圖1.3)拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇．例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可通過轉(zhuǎn)動拋物線的對稱軸方向，控制照射方向．衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，一般也是以拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點，拋物線的對稱軸跟蹤對準衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在焦點，把對稱軸跟蹤對準衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號射線能平行地到達衛(wèi)星的接收裝置，同樣保證接收效果．最常見的太陽能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽光，以加熱焦點處的貯水器的．圖1.3F2F1圖1.2AF1F2DO圖1.1B 要探究圓錐曲線的光學性質(zhì)，首先必須將這樣一個光學實際問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，進行解釋論證.三、性質(zhì)轉(zhuǎn)化及證明2.1圓錐曲線的切線與法線的定義設直線與曲線交于，兩點，當直線連續(xù)變動時，，兩點沿著曲線漸漸靠近，一直到，重合為一點，此時直線稱為曲線在點處的切線，過與直線垂直的直線稱為曲線在點處的法線.此時，我們可以借助圓錐曲線的切線和法線，對這一問題進行轉(zhuǎn)化：2.2 圓錐曲線光學性質(zhì)的證明預備定理1.若點是橢圓上任一點，則橢圓過該點的切線方程為：.證明：由……①，1°當時，過點的切線斜率一定存在，且，∴對①式求導：，∴，∴切線方程為……②，∵點在橢圓上，故，代入②得……③，而當時，切線方程為，也滿足③式，故是橢圓過點的切線方程.預備定理2.若點是雙曲線上任一點，則雙曲線過該點的切線方程為：證明：由……①，1°當時，過點的切線斜率一定存在，且，∴對①式求導：，∴，∴切線方程為……②，∵點在雙曲線上，故代入②得……③，而當時，切線方程為，也滿足③式，故是雙曲線過點的切線方程.預備定理3.若點是拋物線上任一點，則拋物線過該點的切線方程是證明：由，對求導得：，當時，切線方程為，即，而………①，而當時，切線方程為也滿足①式，故拋物線在該點的切線方程是.定理1.橢圓上一個點的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點處的法線平分（圖2.1）已知：如圖，橢圓的方程為，分別是其左、右焦點，是過橢圓上一點的切線，為垂直于且過點的橢圓的法線，交軸于，設，求證：.證法一：在上，，則過點的切線方程為：，是通過點且與切線垂直的法線，圖2.1則，圖2.1∴法線與軸交于，∴，∴，又由焦半徑公式得：，∴，∴是的平分線，∴，∵，故可得證法二：由證法一得切線的斜率，而的斜率，的斜率，∴到所成的角滿足：∵在橢圓上，∴，同理，到所成的角滿足，∴而，∴證法三：如圖，作點，使點與關(guān)于切線對稱，連結(jié)，交橢圓于點下面只需證明點與重合即可.一方面，點是切線與橢圓的唯一交點，則，是上的點到兩焦點距離之和的最小值（這是因為上的其它點均在橢圓外）.另一方面，在直線上任取另一點，∵即也是直線上到兩焦點的距離這和最小的唯一點，從而與重合，即而得證．定理2.雙曲線上一個點P的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點P處的切線平分（圖2.2）；已知：如圖，雙曲線的方程為，，分別是其左、右焦點，是過雙曲線上的一點的切線，交軸于點，設，求證：．圖2.2證明：，兩焦點為，，在雙曲線上，則過點的切線，切線與軸交于.圖2.2由雙曲線的焦半徑公式得：，雙曲線的兩焦點坐標為，，故故，∴切線為之角分線.定理3.拋物線上一個點P的焦半徑與過點P且平行于軸的直線的夾角被拋物線在點P處法線平分（圖2.3）.圖2.3已知：如圖，拋物線的方程為為，直線是過拋物線上一點的切線，交軸于，，反射線與所成角記為，求證：圖2.3證明：如圖，拋物線的方程為，點在該拋物線上，則過點的切線為，切線與軸交于，焦點為，(同位角)，∵，∴，∴通過以上問題轉(zhuǎn)化可知，圓錐曲線的光學性質(zhì)是可以用我們學過的知識證明的.那么它在解題和生產(chǎn)生活中有何應用呢？二、典例分析類型1：解決入射與反射問題【例1】設拋物線，一光線從點射出，平行的對稱軸，射在上的點，經(jīng)過反射后，又射到上的點，則點的坐標為，點的坐標為.解：如圖，直線平行于對稱軸且，則點的坐標為，圖3.1因此反射線過點，設，則，圖3.1解得：圖3.1.1，∴.圖3.1.1類型2：解決一類“距離之和”的最值問題【例2】已知橢圓，為分別是其左右焦點，點，是上的動點，求的取值范圍.解法1：,即問題轉(zhuǎn)化為求的最大值與最小值,因為兩邊之差小于第三邊,因此當三點一線時,取得的最大值與最小值,即在處取得最小值,處取得最大值,圖3.2所以最小值為,最大值為.圖3.2解法2：根據(jù)光線的“最近傳播法則”，結(jié)合橢圓的光學性質(zhì)，可得：從F1射出被橢圓反射后經(jīng)過點Q的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的。這種情況又分為兩類，一是被上半橢圓反射（如圖3.2，光線從F1P1Q），二是被下半橢圓反射（如圖3.2，光線從F1P2F2Q）綜上所述，只需求出,可得最小值為,最大值為.類型3：解決與“切線”相關(guān)的問題【例3】已知是過橢圓上一動點的橢圓的動切線，過的左焦點作的垂線，求垂足的軌跡方程.分析：如圖3.3，本題如果忽視了橢圓的光學性質(zhì)將很難著手，借助橢圓參數(shù)方程可以求解，但運算相當繁瑣.由于是橢圓的切線，切點為，聯(lián)想到橢圓光學性質(zhì)及反射定律.圖3.3根據(jù)橢圓的光學性質(zhì)是的外角平分線，關(guān)于直線的對稱點在的延長線上。這樣，由于，圖3.3故，而點、點分別是、的中點，所以.從而點軌跡是以為圓心、以4為半徑的圓。即點的軌跡方程.為.類型4：解決高考與競賽中的問題【例4】(2005江西.理22)如圖，設拋物線的焦點為，動點在直線上運動，過作拋物線的兩條切線、，且與拋物線分別相切于、兩點.(1)求的重心的軌跡方程；(2)證明.解：(1)設切點A、B坐標分別為，切線AP的方程為：切線BP的方程為：解得P點的坐標為：所以△APB的重心G的坐標為，圖3.4.1圖3.4.1所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：(2)解法1：因為由于P點在拋物線外，則所以同理有所以.解法2：①當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：即所以P點到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得.②當時，直線AF的方程：直線BF的方程：所以P點到直線AF的距離為：，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到.解法3：如圖3.4.2，做出拋物線的準線，過做于，過作于，連，，在線段的延長線上分別取，因為直線軸，直線軸，由拋物線的光學性質(zhì)知：，.又由拋物線的定義知：，所以，圖3.4.2又，圖3.4.2所以，所以，所以，即，又，所以，又，，所以.【例5】(2017年數(shù)學聯(lián)賽湖北預賽12)過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，拋物線在A,B兩點處的切線交于點E，求證：.解法1：設的方程為，代入，得.設，，則①，②.設切線③，切線④.由③、④得，所以，，得，即，所以，當時，顯然有；當時，，所以.解法2：如圖3.5，設過點的切線與準線交于，過點的切線與準線交于，過作準線的垂線，垂足為.由拋物線的光學性質(zhì)，可得，由拋物線的定義，有，而，所以，從而，即.同理.那么，當三點共線時，必然有，重合，即重合成，從而.圖圖3.5【方法小結(jié)】解析幾何的主流思想是以數(shù)解形，即從代數(shù)角度解決幾何同題.而圓錐曲線光學性質(zhì)從幾何角度看問題，即以形解數(shù)，則是劍走偏鋒，別具一格的.正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰”，換個角度看問題，效果也許就是截然不同的，再結(jié)合進一步的思考，也許就會收獲“柳暗花明又一村”的喜悅與暢決．

三、鞏固練習1.已知橢圓方程為1，若有光束自焦點A(3，0)射出，經(jīng)二次反射回到A點，設二次反射點為B，C，如圖4.1所示，則△ABC的周長為.圖圖4.12.雙曲線，又，已知A(4，2)，F(xiàn)(4，0)，若由F射至A的光線被雙曲線反射，反射光通過P(8，k)，則k.圖圖4.23.已知雙曲線C：，F(xiàn)1、、F2為分別是其左右焦點，點，M是C上的動點，求|MF2|+|MQ|的取值范圍.圖圖4.34.已知動圓(圓心為點)過定點，且與直線相切，記動點的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)設過點的直線與曲線相切，且與直線相交于點.試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.5.(2013山東.理22)橢圓的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(1)求橢圓的方程；(2)點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，設的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；(3)在(2)的條件下，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點.設直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個定值.6.(2016年數(shù)學聯(lián)賽湖北預賽.13)過拋物線外一點P向拋物線作兩條切線，切點為M、N，F(xiàn)為拋物線的焦點.證明：(1)；(2).

四、鞏固練習參考答案1.在橢圓方程為1中，，因為A(3，0)為該橢圓的一個焦點所以自A(3，0)射出的光線AB反射后，反射光線AC定過另一個焦點(-3，0)，故△ABC的周長為.2.因為入射線FA反射后得到的光線AP的反向延長線定過雙曲線的另一個焦點,所以.3.由雙曲線屬性知,|MF2|+|MQ|不存在最大值，存在最小值，因為，所以===，即|MF2|+|MQ|的取值范圍是.4.(1)因為動圓過定點，且與直線相切，所以圓心到點的距離與圓心到直線的距離相等.根據(jù)拋物線定義，知動點的軌跡為拋物線，且方程為.(2)解法1：如圖4.4.1，設直線的方程為(易知斜率不存在的直線不符合要求)，由，消去得，圖4.4.1因為相切所以，且，化簡得.圖4.4.1設直線與曲線相切的切點，則，所以，由，得.假設坐標平面內(nèi)符合條件的點存在，由圖形的對稱性，知點必在軸上.若取，此時，以為直徑的圓為，交軸于點；若取，此時，以為直徑的圓為，交軸于點.所以若符合條件的點存在，則點的坐標必為，即為點.以下證明就是滿足條件的點.因為的坐標為，所以，，從而，故恒有，即在坐標平面內(nèi)存在定點，使得以為直徑的圓恒過點.解法2：本題也可使用拋物線的光學性質(zhì)來求解第二問.如圖4.4.2，連接，由拋物線的光學性質(zhì)可得其反射光線平行于軸，將反向延長交于點，易知垂直于直線，根據(jù)拋物線定義，由反射定理得，又因為，在和中，圖4.4.2因為，所以和全等，所以，圖4.4.2即點在以為直徑的圓上，點就是要找的定點.5.(1)由于，將代入橢圓方程，得，由題意知，即.又，所以.橢圓的方程為(2)解法1：設.又，所以直線的方程分別為:圖4.5由題意知，圖4.5由于點在橢圓上，所以所以因為，可得.所以.因此.解法2：設，當時，①當時，直線的斜率不存在，易知或.若，則直線的方程為.由題意得，因為，所以.若,同理可得.②當時，設直線的方程分別為，由題意知，所以，因為并且，所以，即.因為所以.整理得，故.綜合①②可得.當時，同理可得.綜上所述，的取值范圍是.解法3：設，過點的橢圓切線為直線，則過的切線方程為，即，根據(jù)橢圓的光學性質(zhì)可得的角平分線即為直線的法線，所以，所以直線方程為，即，所以代入，得，又，所以.(3)解法1：設，則直線的方程為，聯(lián)立整理得由題意，即又所以故，由(2)知，所以，因此為定值，這個定值為.解法2：因為，，代入中得為定值.6.解法1：設,,,易求得切線的方程為，切線的方程為.因為點在兩條切線上，所以有，，故點均在直線上，所以直線的方程為.聯(lián)立，得，即.由韋達定理可知：，.(1)因為，由拋物線第二定義可得，，所以，因此.(2)因為，，，所以，又，，所以，同理可得，所以，所以，結(jié)合可得，所以.解法2：當與拋物線在其準線異側(cè)時，如圖4.6所示，過做準線的垂線，垂足分別為，，與分別交準線于，，連接，.由拋物線的光學性質(zhì)，可知是的角平分線，由拋物線的定義有，所以有，于是且，同理有，于是且，所以有，即得，而，，所以①；在中，.由，得；由，得.所以，且有，于是，圖4.6而，故，又有.圖4.6所以②由①、②可得，于是，即.第12講軌跡方程問題一、問題綜述教材中明確提出，解析幾何研究兩件事：（1）求曲線方程；（2）利用方程研究曲線的性質(zhì)，求曲線方程或者求點的軌跡方程是解析幾何所有問題的發(fā)端，應當給與足夠的重視。其方法一般有：直接法、相關(guān)點法、定義法、參數(shù)法、交軌法，涉及到中點弦可用點差法等。下面我們通過具體題目回顧求軌跡方程的幾種方法，同時分析那種方法在那種情況下較好一些，更適合我們。二、典例分析類型1：直接法【例1】設一動點到直線的距離到它到點的距離之比為，則動點的軌跡方程是.解析：設，可知.注：直接法的五個步驟簡稱：建系，集合，方程，化簡，證明。其中建系，集合，證明往往可以省略，只需要方程和化簡兩個步驟。我們要留意證明，要保證曲線的方程的純粹性和完備性.類型2：相關(guān)點法【例2】已知,分別為橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的動點，則的重心的軌跡方程為.解析：依題意知，，設，，則由三角形重心坐標公式可得,反解即，代入橢圓，得重心的軌跡方程為.注：相關(guān)點法，它一般是由已知點的軌跡方程來求未知點的軌跡方程，題目會給我們一個橋梁，或者是中點公式，或者是向量表達式，我們根據(jù)橋梁建立已知和未知的關(guān)系式，然后反解，用未知點來表示已知點，然后代入已知點的軌跡方程，可得未知點的軌跡方程，所以又稱代入法。類型3：定義法【例3】已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.求的方程.解析：由已知得圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.設圓的圓心為，半徑為.因為圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，所以.由橢圓的定義可知，曲線是以，為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為.注：解析幾何是用代數(shù)研究幾何，但是究其本質(zhì)還是幾何，或者說幾何性質(zhì)是解析幾何中簡化運算最巧妙的手段，而幾何圖形最基本的幾何性質(zhì)就是定義，要善于發(fā)現(xiàn)題目中隱含的幾何性質(zhì)，善于從代數(shù)式中分析其幾何特征，從而找到問題更簡單的解法.類型4：參數(shù)法【例4】過平面直角坐標系內(nèi)定點作兩條互相垂直的直線分別交軸，軸正半軸于，兩點，求中點的軌跡方程.解析：設過點的一條直線為：，與軸正半軸于，其坐標為，設過點的另一條直線為：，與軸正半軸于，其坐標為，由中點公式可得的坐標為：，消去參數(shù)，可得：.當不存在或者為時，解得滿足此直線方程，所以的軌跡方程為：.注：求動點的軌跡方程，當動點的橫縱坐標的關(guān)系比較難發(fā)現(xiàn)時，我們可以引入第三個量，也就是一個參數(shù)，來表示動點的橫縱坐標，表示出來后，我們再“過河拆橋”，消掉參數(shù)，從而得到動點的軌跡方程。本題還可以采用向量的方法，利用向量的數(shù)量積為零，或者利用斜率之積等于，或者利用中垂線的幾何性質(zhì)來解決.類型5：點差法【例5】過點作一條直線交圓于，兩點，求中點的軌跡方程.解析：設,,代入元的方程：，，兩式做差，可得：，其中，，，整理可得：（在已知圓的內(nèi)部）.注：本題涉及到中點弦問題，可以使用點差法，在直線與二次曲線相交的問題中，可以代點做差，因為相同的結(jié)構(gòu)，會出現(xiàn)平方差公式，坐標之和可以轉(zhuǎn)化為中點坐標，坐標之差可以轉(zhuǎn)化為斜率，運算非常簡潔.同時，本題還可以使用參數(shù)法，向量或者斜率之積，幾何性質(zhì)垂徑定理等方法來解決.類型6：交軌法【例6】如圖所示，動圓,與橢圓相交于，，，四點.點，分別為的左、右頂點，求直線與直線交點的軌跡方程.解析：由橢圓，知，，設點的坐標為，由曲線的對稱性，得，設點的坐標為，直線的方程為.①直線的方程為.②由①②相乘得.③又點在橢圓上，故.④將④代入③得.因此點的軌跡方程為.注：在本題中，求兩直線交點的軌跡方程，直接運算比較困難，我們發(fā)現(xiàn)本題條件中的對稱，就寫出兩條直線的方程，其結(jié)構(gòu)也是對稱的，若是只有一個參