2023屆江西省南昌市重點(diǎn)校高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2023屆江西省南昌市重點(diǎn)校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則集合的子集個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．32【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)集合A、B并求得，進(jìn)而求得的子集個(gè)數(shù)【詳解】，，∴，其子集個(gè)數(shù)為.故選：B.2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方和復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，從而可得共軛復(fù)數(shù)，即可得其虛部.【詳解】解：因?yàn)?，所以，其虛部?故選：D.3．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，結(jié)合定義即可求解.【詳解】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：，由拋物線定義知焦點(diǎn)坐標(biāo).故選：B.4．“”成立的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】因?yàn)?，?duì)于A，能推出，但不能推出，所以是成立的必要不充分條件，故A不正確；對(duì)于B，能推出，也能推出，所以是成立的充要條件，故B不正確；對(duì)于C，不能推出，但能推出，所以是成立的充分不必要條件，故C正確；對(duì)于D，不能推出，也不能推出，故是成立的既不充分也不必要條件，故D不正確.故選：C5．某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三視圖可知該幾何體為底面邊長(zhǎng)為2，高為2的正六棱柱中間挖去了一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，根據(jù)體積公式即可求解.【詳解】分析知，該幾何體為底面邊長(zhǎng)為2，高為2的正六棱柱中間挖去了一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，所以該幾何體的體積為.故選：D.6．在中，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦定理角化邊將式子化簡(jiǎn)，然后由余弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】由正弦定理得，則，又因?yàn)?，所?故選:D.7．已知公比大于1的等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)得到，，得到，計(jì)算得到答案.【詳解】由題可知，聯(lián)立方程組，解得或，設(shè)數(shù)列的公比為，所以，所以舍去，，所以，從而，所以，所以，所以.故選：B8．2022年9月5日，四川甘孜州瀘定縣發(fā)生6.8級(jí)地震，某醫(yī)院決定派遣5名醫(yī)生前往3個(gè)區(qū)域參與救援，其中男醫(yī)生3名，女醫(yī)生2名.要求每個(gè)區(qū)域至少要有1名男醫(yī)生，則不同的派遣法有（

）A．18 B．36 C．54 D．72【答案】C【分析】先安排3名男醫(yī)生各去一個(gè)區(qū)域，有種去法，再安排女醫(yī)生有種方法，得到答案.【詳解】3名男醫(yī)生各去一個(gè)區(qū)域，有種去法，2名女醫(yī)生有種去法，共有種.故選：C.9．如圖是由邊長(zhǎng)為2的正與正方形拼接成的平面圖形，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角為時(shí)，直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先構(gòu)造二面角的平面角，并計(jì)算邊長(zhǎng)，并將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，利用余弦定理計(jì)算求值.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，.由，，得為二面角的平面角，∴，且，所以平面,，所以平面,平面,所以,因?yàn)?，，由余弦定理得，所?因?yàn)?，所以（或補(bǔ)角）為直線與所成的角.在中，.故選:C.10．已知函數(shù)滿足，，若函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】函數(shù)可看作函數(shù)向右平移兩個(gè)單位得到的，其對(duì)稱軸為，可知為偶函數(shù)，再由得，且函數(shù)的周期為，即可推算的值.【詳解】由函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，得函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令，得，即，得所以，即，所以，得函數(shù)的周期為，所以.故選：B.11．已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，且存在，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圖象確定函數(shù)的周期及特殊點(diǎn)，求得函數(shù)的解析式，由確定關(guān)系，代入結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得的值.【詳解】由圖象可得，即，所以，，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，由，得，由，結(jié)合圖象可得，，所以，所以.故選：C.12．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且與雙曲線右支交于A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的內(nèi)切圓的圓心分別為，，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，求得面積的解析式，再利用函數(shù)單調(diào)性即可求得面積的取值范圍【詳解】設(shè)圓與，，分別切于點(diǎn)，，.由雙曲線定義知，，∴，∵，，，∴，又，∴，，即點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn).∵軸，∴的橫坐標(biāo)為1，同理：橫坐標(biāo)也為1.∵平分，平分.∴，設(shè)、的內(nèi)切圓半徑分別為，，∵軸，∴，∵，∴.設(shè)直線傾斜角為，又為雙曲線右支上兩點(diǎn)，又漸近線方程為，∴由題意得，∴，∴，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴.故選：B.二、填空題13．已知平面向量，，若，則____________.【答案】##【分析】由平面向量的數(shù)量積、模和坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】∵，∴，∵，∴，∴，解得.故答案為：.14．已知展開式中的各項(xiàng)系數(shù)和為243，則其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為____________.【答案】80【分析】令代入可得，利用展開式的通項(xiàng)計(jì)算可得答案.【詳解】令，各項(xiàng)系數(shù)和，解得，的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，則的系數(shù)為.故答案為：80.15．已知曲線，直線，曲線上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍是_____________.【答案】【分析】根據(jù)曲線的表達(dá)式畫出半圓圖象，再利用直線與曲線的臨界位置討論的取值范圍，由于曲線上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，根據(jù)兩平行線間的距離公式并結(jié)合圖象即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，得曲線是以為圓心，半徑為2的圓的上半部分.在曲線中，令，得或4，將代入直線得，將代入直線得，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，由圓心到直線的距離為2，得，所以當(dāng)或時(shí)，直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn).如下圖所示：記與曲線相切的直線為，過且斜率為1的直線記為.當(dāng)直線與距離為1時(shí)，即，∴或，取，此時(shí)曲線上有2個(gè)點(diǎn)到直線距離為1；當(dāng)直線與距離為1時(shí)，即，∴或，取，此時(shí)恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1.∴.故答案為：.16．若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】令，得出，可得出，在等式兩邊取自然對(duì)數(shù)得，可得出，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出的取值范圍，可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，得出，則，在等式兩邊取自然對(duì)數(shù)，可得出，構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).，令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即.如下圖所示，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，在含單參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.三、解答題17．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，是其前項(xiàng)的和.若，且（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)（或）【分析】（1）利用與的關(guān)系進(jìn)行求解；（2）使用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和.【詳解】（1）∵，∴，①時(shí)，，即，解得或，∵，∴；②時(shí)，由，有，兩式相減得，∴，∴，∴，∴，∵數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴，∴，即∴綜上所述，是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，∴，∴，∴∴數(shù)列的前項(xiàng)和.注：結(jié)果也可以為.18．如圖所示，在四棱錐中，底面，底面是菱形，且，，是的中點(diǎn)，是棱上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)連接，交于點(diǎn)，連接，可得，再利用線面平行的判定即可證明；(2)取中點(diǎn)，連接.則，所以、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)，、、分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量的方法求出二面角的余弦值即可.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接.∵四邊形為菱形，且為的中點(diǎn).∴，∴為線段上靠近的三等分點(diǎn).在中，為三等分點(diǎn)，為三等分點(diǎn)，即，∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）如圖，取中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭橇庑?，且，所以，又因?yàn)榍?，所以四邊形為矩形，則，又因?yàn)榈酌?，平面，所以，也即、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)，、、分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，∵，∴，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.取平面的一個(gè)法向量，從而.∵二面角為銳二面角，∴其余弦值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：需要注意以下問題：(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算．(2)設(shè)分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補(bǔ)或相等.求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．19．2022年6月27日，四川正式公布新高考政策，將不再進(jìn)行文理科分科考試，而是按照“”的模式.其中“3”為語文、數(shù)學(xué)、外語3門全國(guó)統(tǒng)一考試科目；“1”為首選科目，考生從物理、歷史2門科目中自主選擇一門；“2”為再選科目，考生從化學(xué)、生物、地理和思想政治4門科目中自主選擇兩門.為了迎接新高考，某中學(xué)調(diào)查了高一年級(jí)2000名學(xué)生首選科目的選科傾向，隨機(jī)抽取了150人，統(tǒng)計(jì)首選科目人數(shù)如下表：選考?xì)v史選考物理總計(jì)女生男生6080總計(jì)50(1)補(bǔ)全列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷是否有95%的把握認(rèn)為“選考?xì)v史與性別有關(guān)”；(2)將此樣本的頻率視為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查該年級(jí)4名學(xué)生，設(shè)這4人中選考物理的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，有95%的把握(2)分布列見解析，【分析】（1）完成2×2列聯(lián)表，計(jì)算與3.841比較即可得結(jié)果.（2）X服從二項(xiàng)分布，依次計(jì)算其概率即可得分布列和期望.【詳解】（1）選考?xì)v史選考物理總計(jì)女生304070男生206080總計(jì)50100150，有95%的把握認(rèn)為“選考?xì)v史與性別有關(guān)”.（2），，，，，，.∴的分布列為01234.20．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)過軸上一點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過分別作直線的垂線，垂足為，兩點(diǎn)，證明：直線，交于一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）由離心率可得，結(jié)合，聯(lián)立可求橢圓的方程；（2）分為直線斜率為0和不存在分類討論，斜率不存在時(shí)易得交點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，，直線為：，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出韋達(dá)定理，表示出，，由點(diǎn)斜式分別求出直線方程，聯(lián)立兩直線方程結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可求定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)橢圓半焦距為，∵離心率為，∴.由橢圓性質(zhì)可知，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，面積最大.∴，∴.又，解得，，.∴橢圓的方程為：；（2）設(shè)與軸交于點(diǎn)，則，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，顯然不適合題意；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直線為，∵四邊形為矩形，∴，交于線段的中點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，，直線為：，聯(lián)立，得，，∴，，設(shè)，，則，，聯(lián)立，得，將，代入整理得.將代入，得.綜上，直線、交于定點(diǎn).21．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：不等式.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，然后分和兩種情況討論的單調(diào)性即可；（2）法一：將證明成立轉(zhuǎn)化為證成立，然后根據(jù)單調(diào)性得到，即可得到；法二：將證明成立轉(zhuǎn)化為證成立，然后根據(jù)的單調(diào)性得到，即可得到.【詳解】（1）定義域?yàn)?，，①若恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以恒成立，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即時(shí)，在上是單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，則的根為，，由，得，，由，得或，，得.∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，時(shí)，在上是單調(diào)遞增；時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）要證，只須證.∵，即證.法一：∵，∴只需證，則，令，恒成立，∴在上單調(diào)遞增，又，.∴使，即，∴.當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴.∴，得證.法二：令，只須證.，令，則.∵，∴，∴在上單調(diào)遞增.又∵，而，∴，使，∴，即.∵，在上單調(diào)遞增，∴，即，又知，知.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，得證.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)證明不等式方法：（1）構(gòu)造函數(shù)：轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；（2）放縮法：要證，而，只要證明即可，可以通過函數(shù)不等式，切線不等式進(jìn)行放縮.（3）隱零點(diǎn)法：當(dāng)導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求時(shí)可先證明零點(diǎn)存在，再用此零點(diǎn)代入求函數(shù)最小值；（4）轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)函數(shù)最值大?。阂C，只要證即可.22．在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為（其中為常數(shù),且）.(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)直線與曲線交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),若,求的值.【答案】(1),(2)1【分析】(1)根據(jù)消參,即可將參數(shù)方程化為普通方程,根據(jù),代入即可得極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的直角坐標(biāo);(2)將含有幾何意義的直線參數(shù)方程,代入到曲線中,設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,根據(jù)韋達(dá)定理可得,之間的兩個(gè)等式關(guān)系,由,根據(jù)參數(shù)幾何意義可得,之間的第三個(gè)等式關(guān)系,聯(lián)立三個(gè)等式,即可得的值.【詳解】（1）解:由題知將直線的參數(shù)方程中的兩式相加即可得:,故直線的普通方程為,由,得,根據(jù),代入可得.故曲線的直角坐標(biāo)方程為;（2）由(1)曲線的普通方程,將直線的參數(shù)方程（其中為參數(shù)）代入曲線普