概率論與數(shù)據(jù)分析第六章

概率論與數(shù)據(jù)分析第六章第一頁，共三十三頁，2022年，8月28日數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的問題:

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本研究方法統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)分析參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)

方差分析

回歸分析第二頁，共三十三頁，2022年，8月28日

本章主要內(nèi)容是統(tǒng)計(jì)推斷，其中參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的主要內(nèi)容之一.參數(shù)估計(jì)，就是根據(jù)樣本觀測(cè)值來估計(jì)總體分布中的未知參數(shù)或數(shù)字特征的統(tǒng)計(jì)推斷方法.

對(duì)總體的某個(gè)未知參數(shù)的估計(jì)方式有兩種，一種是參數(shù)的值估計(jì)，另一種是參數(shù)的范圍估計(jì)，也即點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)，統(tǒng)稱為參數(shù)估計(jì).

本章介紹總體、隨機(jī)樣本及統(tǒng)計(jì)量的基本概念，討論參數(shù)估計(jì)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)方法以及估計(jì)的優(yōu)良性.

第一節(jié)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念第二節(jié)點(diǎn)估計(jì)(pointestimate)第三節(jié)區(qū)間估計(jì)(intervalestimate)第三頁，共三十三頁，2022年，8月28日§1數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念一、總體和樣本二、統(tǒng)計(jì)量及其分布三、正態(tài)總體的抽樣分布第四頁，共三十三頁，2022年，8月28日

一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對(duì)象.1.總體…研究某批燈泡的質(zhì)量研究對(duì)象的全體稱為總體(母體)，總體中每個(gè)成員稱為個(gè)體.總體一、總體和樣本第五頁，共三十三頁，2022年，8月28日

然而在統(tǒng)計(jì)研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心其每個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)(或幾項(xiàng))數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況.這時(shí)，每個(gè)個(gè)體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體.某批燈泡的壽命該批燈泡壽命的全體就是總體國產(chǎn)轎車每公里的耗油量所有國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體第六頁，共三十三頁，2022年，8月28日

由于每個(gè)個(gè)體的出現(xiàn)是隨機(jī)的，即相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)帶有隨機(jī)性.從而可把這種數(shù)量指標(biāo)看作一個(gè)隨機(jī)變量，我們用一個(gè)隨機(jī)變量或其分布來描述總體。為此常用隨機(jī)變量的符號(hào)或分布的符號(hào)表示總體.

通常，我們用隨機(jī)變量X,Y,Z等表示總體。當(dāng)我們呢說到總體，就是一個(gè)具有確定概率分布的隨機(jī)變量.第七頁，共三十三頁，2022年，8月28日

如:研究某批燈泡的壽命時(shí)，關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.總體壽命X可用一概率分布來刻劃F(x)第八頁，共三十三頁，2022年，8月28日

實(shí)例研究某燈泡廠1000只同一型號(hào)燈泡的壽命，這1000只燈泡的壽命就是總體，且為有限總體，而每一只燈泡的壽命就是個(gè)體.如果研究該工廠所有燈泡的壽命，那么所有燈泡的壽命組成的總體為無限總體。

當(dāng)有限總體包含的個(gè)體的總數(shù)很大時(shí)，可近似地將它看成是無限總體。有限總體和無限總體第九頁，共三十三頁，2022年，8月28日3.樣本:設(shè)從總體X中隨機(jī)抽取或觀察n個(gè)個(gè)體X1,X2…Xn,所得的這一組個(gè)體(X1,X2…Xn)稱為總體X的一個(gè)樣本.其中個(gè)體的數(shù)目n稱為樣本容量.注意：在抽取或觀察每個(gè)個(gè)體之前，X1,X2…Xn都是未知的，因而它們都是隨機(jī)變量，(X1,X2…Xn)為n維隨機(jī)變量．當(dāng)n次抽取或觀察一經(jīng)完成，我們就得到一組實(shí)數(shù)（x1,x2,…,xn),稱其為樣本觀察值或樣本值．2.抽樣:為了推斷總體的性態(tài)而從總體中抽取部分個(gè)體的過程稱為抽樣.第十頁，共三十三頁，2022年，8月28日

設(shè)(X1,X2…Xn)是X的樣本,則由X1,X2…Xn構(gòu)造出來的、不包含任何未知參數(shù)的函數(shù):g(X1,X2…Xn)稱為統(tǒng)計(jì)量.＊注意:統(tǒng)計(jì)量是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量X1,X2…Xn的函數(shù),因而它也是一個(gè)隨機(jī)變量.

例設(shè)(X1,X2)是從總體N(,2)中抽取的一個(gè)容量為2的樣本,其中為未知參數(shù),則X1/,1、統(tǒng)計(jì)量定義:二、統(tǒng)計(jì)量(statistic)第十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日2.幾種重要的統(tǒng)計(jì)量設(shè)（X1，X2，Xn）為總體X的樣本，則樣本方差；樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階(原點(diǎn))矩樣本k階中心矩樣本均值；第十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日當(dāng)(X1,X2,…,Xn)的觀察值為(x1,x2,…,xn)時(shí),上述統(tǒng)計(jì)量的觀察值分別為:樣本均值；樣本方差；樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階(原點(diǎn))矩樣本k階中心矩第十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日解設(shè)25瓶洗凈劑灌裝量為，它們是來自均值為方差為1的總體的樣本，現(xiàn)在需要計(jì)算的是事件的概率，根據(jù)性質(zhì)(2)有對(duì)于裝25瓶的一箱而言，平均每瓶灌裝量與標(biāo)定值之差不超過0.3毫升的概率近似為0.8664.例1某公司用機(jī)器向瓶子里灌裝液體洗凈劑，規(guī)定每瓶裝毫升，但實(shí)際灌裝量有一定的波動(dòng)，假定灌裝量服從正態(tài)分布,方差瓶洗凈劑的平均每瓶灌裝量與標(biāo)定值的概率是多少？=1，如果每箱裝25瓶這樣的洗凈劑，試問這相差不超過0.3毫升第十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日設(shè)總體X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn為取自該總體X的樣本.幾種常用統(tǒng)計(jì)量及統(tǒng)計(jì)四大分布①標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其上側(cè)α分位數(shù)若P(Z>zα)=α,則稱zα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)α分位數(shù).zααXφ(x)其中定義設(shè)X~N(μ,σ2),則~N(0,1),對(duì)任意0<α<1,三、正態(tài)總體下的常用統(tǒng)計(jì)量及其分布第十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日設(shè)X～N(,2),(X1,X2…Xn)是它的一個(gè)樣本,那么有統(tǒng)計(jì)量的分布(隨機(jī)變量函數(shù)的分布)又稱抽樣分布證:由概率論的知識(shí)知,服從正態(tài)分布.樣本均值的分布第十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日②2分布（第二大分布）:設(shè),X1,X2,…,Xn是來自總體的一個(gè)樣本,則稱統(tǒng)計(jì)量:服從自由度為n的分布,記為2～2(n)

的密度曲線Xf(x)n=1n=4n=10隨著n的增大,密度曲線逐漸趨于平緩第十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日2分布的性質(zhì):①設(shè)Y~2(n),則E(Y)=n,D(Y)=2n②設(shè)Y1~2(n1),Y2~2(n2),且Y1,

Y2相互獨(dú)立,則

Y1+Y2~2(n1+

n2),(可加性)證于是①根據(jù)定義其中E(X4)用定義求,求積分,用分部積分的方法求得第十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日2分布的上分位數(shù):的點(diǎn)為2(n)分布的上側(cè)分位數(shù).,對(duì)于給定的正數(shù)(0<<1),稱滿足條件第十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日n﹥45時(shí)，用近似公式：有表可查(附表5)12.5922.733第二十頁，共三十三頁，2022年，8月28日③t分布（第三大分布）:服從自由度為n的t分布，記為Tt(n).又稱為學(xué)生氏(Student)分布.其概率密度函數(shù)為第二十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日n=∞

n=1圖形1)圖形關(guān)于t=0對(duì)稱;2)t分布的的極限是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,即事實(shí)上,當(dāng)n>30時(shí),兩者就非常接近了.3)t分布的上側(cè)分位數(shù)t

(n):對(duì)于給定的(0<<1),稱滿足條件的點(diǎn)t

(n)為t分布的上分位點(diǎn)第二十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日t(n)上側(cè)分位數(shù)t（n），由圖形不難看出還有性質(zhì)：當(dāng)n45時(shí),查表附表4當(dāng)n>45時(shí),可利用N(0,1)近似,即

t

(n)≈Z,

t1-(n)=-t(n)例

第二十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日④F分布（第四大分布）設(shè)U~2(n1),V~2(n2),且U與V相互獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量服從自由度為(n1,n2)的F分布.其概率密度函數(shù)為.根據(jù)F分布的定義有第二十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日

n1=10,n2=25n1=10,n2=5F分布的上側(cè)分位數(shù):可查附表6,如F0.01(10,15)=(0<<1)的點(diǎn)F(n1,n2)為F分布的上側(cè)分位數(shù).3.8.第二十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日F分布的上分位點(diǎn)有下列性質(zhì):證若FF(n1,n2),按定義有于是再由，得從而例統(tǒng)計(jì)三大分布的定義、基本性質(zhì)在后面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，要牢記哦！！第二十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日1、若X~N（，2），(X1,X2…Xn)為其樣本，①與S2相互獨(dú)立，②

四、幾個(gè)重要結(jié)論分別為樣本均值與樣本方差，則有①的證明從略。②的證明如下：第二十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日證明②：從而由t分布的定義得第二十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日例2

在研究設(shè)計(jì)導(dǎo)彈發(fā)射裝置時(shí)，彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離服從正態(tài)分布，這里=100米2，現(xiàn)在進(jìn)行了25次發(fā)射試驗(yàn)，表示這25次試驗(yàn)中彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心距離的樣本方差，試求超過50米2的概率.解

根據(jù)上述重要結(jié)論也即本定理6.1知：于是超過50米2的概率為0.975第二十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日２、設(shè)總體XN（1，2），YN（2，2）而

(X1,X2…Xn1)和(Y1,Y2…Yn2)分別是取自總體X和Y的

樣本，X與Y相互獨(dú)立,則有

第三十頁，共三十三頁，2022年，8月28日３、設(shè)總體XN（1，21），YN（2，22）而

(X1,X2…Xn1)和(Y1,Y2…Yn2)分別是取自總體X和Y的

樣本，S12,S22分別表示它們的樣本方差,且X與Y相互

獨(dú)立,則第三十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日例3設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，問統(tǒng)計(jì)量服從什么分布？解因?yàn)?/p>