高中三角函數(shù)典型例題(教用)

典型例題】：1、已知tanx=2，求sinx,cosx的值.sinx解：因?yàn)閠anx==2，又sin2a+cos2a=1,cosx廠sinx二2cosx聯(lián)立得v/sin2x+cos2x二1解這個方程組得.2運(yùn)sinx=5解這個方程組得.2運(yùn)sinx=5sinx=cosx=-5cosx=2、求tan(T2°。)cos(21°。)血(—480。)的值。

tan(—690°)sin(—150°)cos(330°)tan(—720。+30°)sin(—150。)cos(360?！?0。)、tan(—120°+180。)tan(—720。+30°)sin(—150。)cos(360?！?0。)tan60°(—cos30°)(—sin120°)==—3^'13.tan30°(—sin150°)cos30°..sinx一cosx小亠.“，亠3、若=2,，求sinxcosx的值.sinx+cosx解：法一：因?yàn)檠獂一cosx=2,sinx+cosx所以sinx一cosx=2(sinx+cosx)得到sinx=—3cosx,又sin2a+cos2a=1，聯(lián)立方程組，解得sinx=cosx=3j0~T0~sinx=cosx=3j0~T0~一価一10".3J10sinx=—10v'T0cosx=-^q-所以sinxcosx=一3102,,,sinx一cosx2,法二：因?yàn)閟inx+cosx所以sinx一cosx=2(sinx+cosx)，所以(sinx—cosx)2=4(sinx+cosx)2，所以1一2sinxcosx=4+8sinxcosx，

所以有sinxcosx=-3104、求證：3104、求證：tan2xsin2x=tan2x-sin2x。5、求函數(shù)y二2sin(〒+)在區(qū)間［0,2兀］上的值域。26cx兀x兀7兀解：因?yàn)?5x52兀］，所以055兀，<〒+—由正弦函數(shù)的圖象,26266所以yg2sin(f+)gL1,2〕266、所以yg2sin(f+)gL1,2〕266、求下列函數(shù)的值域．(1)y=sin2x-cosx+2；解：(1)y=sin2x-cosx+2=1—cos2x—cosx+2——(cos2x+cosx)+3113113令t—cosx，則tg[—i,i],y=—(t2+1)+3=—(t+2)2+—4——(t+2)2+13利用二次函數(shù)的圖象得到y(tǒng)g［1亍?(2)y=2sinxcosx一(sinx+cosx)=(sinx+cosx)2—1—(sinx+cosx)令t—sinx+cosx—^2sin(x+)，貝ytg［—4則y—t2—t—1,利用二次函數(shù)的圖象得到y(tǒng)g［—5,1+邁］.47、若函數(shù)y=Asin(sx+?)(s>0，?>0)的圖象的一個最高點(diǎn)為(2,畧2)，它到其相鄰的最低點(diǎn)之間的圖象與x軸交于(6,0)，求這個函數(shù)的一個解析式。解：由最高點(diǎn)為(2,巨)，得到A-"，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間隔是半個周期，從而與x軸1TAn交點(diǎn)的間隔是丁個周期，這樣求得丁二4,T=16，所以448又由、；2=x'2sin(§x2+申)，得到可以取9——?—y=12sin(8x+—)-8、已知函數(shù)f(x)二cos4x—2sinxcosx—sin4x.n(I)求f(x)的最小正周期；(II)若XG[0,-],求f(x)的最大值、最小值?數(shù)21-sinx“十“y二的值域.3-cosx解：(I)因?yàn)閒(x)二cos4x—2sinxcosx—sin4x=(cos2x—sin2x)(cos2x+sin2x)—sin2x=(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=i：2sinR-2x)=-12sin(2x-)44所以最小正周期為n.(II)若xe[0,-],則(2x-n)e[-n,3n],所以當(dāng)x=0時，f(x)取最大值為2444-邁sin（-彳）=1；當(dāng)x=駕時，f（x）取最小值為-遠(yuǎn)cos0+sin09、已知tan0=戀2，求(1)8二+sin八；(2)sin20-sin0.cos0+2cos20的值.cos0—sin9、1+sin0cos0*sin0_+cos0_1+tan0_1+邁_

解⑴cos0+sin0=^s^0==6=-3-人2；cos0(2)sin20-sin0cos0+2cos20sin20-sin0cos0+2cos20=(2)sin20+cos20sin20sin0-+2cos20cos0沁+12+1cos20說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化就會使解題過程簡化。10、求函數(shù)y=1+sinx+cosx+(sinx+cosx)2的值域。解：設(shè)t=sinx+cosx=J2sin(x+n)e[72,，2]，則原函數(shù)可化為4y=t2+1+1=(t+—)2+—，因?yàn)閠e[-*'2,2],所以13當(dāng)t=、：2時，y=3+、：2，當(dāng)t=-—時，y=，max2min43所以，函數(shù)的值域?yàn)閥e[：,3+J2]。411、已知函數(shù)f(x)=4sin2x+2sin2x一2，xeR；(1)求f(x)的最小正周期、f(x)

n的最大值及此時X的集合；(2)證明：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱。8解:f(x)=4sin2x+2sin2x-2=2sinx-2(1-2sin2x)=2sin2x-2cos2x=2J2sin(2x-)4(1)所以f(x)的最小正周期T=n，因?yàn)閤eR,所以，當(dāng)2x-=2kn+，即x=kn+時，f(x)最大值為2耳2；428n(2)證明：欲證明函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱，只要證明對任意xeR，有8nnf(一一x)=f(一+x)成立，88因?yàn)閒(一彳-x)-2J2sin[2(一彳-x)一彳]=2?2sin(一扌-2x)=一2€2cos2x，f(-+x)=2^2sin[2(-+x)-]=2^2sin(-+2x)=-2p2cos2x，TOC\o"1-5"\h\z8842nnn所以f(--x)二f(-+x)成立，從而函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=-6對稱。88812、已知函數(shù)y=12、已知函數(shù)y=(xWR),cos2x+sinx?cosx+12(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合;(2)該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x￡R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?解：/、1J3解：/、1J311)y=cos2x+sinx?cosx+1=—224(2cos2x－1)+44(2sinx?cosx)+1TOC\o"1-5"\h\z1351兀兀5=cos2x+sin2x+=(cos2x?sin+sin2x?cos)+—4442664兀5=sin(2x+)+—64x=+kn,(k￡Z)o6兀兀x=+kn,(k￡Z)o6所以y取最大值時，只需2x+：=k+2kn,(kWZ),即62所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時，自變量x的集合為{x|x=+kn,kWZ}6(2)將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：兀兀(i)把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移：，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；66(ii)把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；6