2023年考研數(shù)學(xué)二真題及答案

202３年考研數(shù)學(xué)二真題一、選擇題(１~10小題，每小題４分,共40分。下列每題給出的四個選項中,只有一個選項是符合題目規(guī)定的。）當(dāng)x→0+時,與(A）1-e-x(Ｃ)1+x-1(D【答案】B?！窘馕觥?當(dāng)ln1+xex~-x幾個不同階的無窮小量的代數(shù)和,其階數(shù)由其中階數(shù)最低的項來決定。綜上所述，本題對的答案是B?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較函數(shù)fx=(e1(A）0(B)１(C)-π2(D【答案】A。【解析】A：由limx→limx→limx→所以x=0是fx的第一類間斷點(diǎn)B：limC：limＤ:lim所以x=1,x=±π2綜上所述,本題對的答案是Ａ?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—函數(shù)間斷點(diǎn)的類型如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-3,-2,[2,3]上的圖形分別是直徑為１的上、下半圓周，在區(qū)間-2,0,[0,2]上的圖形分別是直徑為２的下、上半圓周,設(shè)(A)F（B)F（Ｃ)F(D)F-3-2-10123-3-2-10123y=f(x)xy【答案】Ｃ?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧克膫€選項中出現(xiàn)的F(x)在四個點(diǎn)上的函數(shù)值可根據(jù)定積分的幾何意義擬定F3F2F-F-則F【方法二】由定積分幾何意義知F2>F3又由f(x)的圖形可知f(x)的奇函數(shù)，則FxF顯然排除(Ａ)和(Ｄ),故選(C）。綜上所述,本題對的答案是C?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—定積分的概念和基本性質(zhì),定積分的應(yīng)用設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是(A）若limx→0f(x)(B)若limx→0f（C）若limx→0f(x)x(D）若limx→0fx【答案】D?！窘馕觥?A)：若limx→0f(x)x存在,由于limx→0x=0,則limx→0f(x)=0,又已知函數(shù)f(x)在(B）：若limx→0fx+f(-x)x存在，則(C)limx→0f(x)x存在，知則f'(0)存在,故（C)對的(D)lim不能說明limx→0例如fx=|x|在x=0limx→0fx-f(-x)x存在,但是f'(0)綜上所述，本題對的答案是D?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—導(dǎo)數(shù)和微分的概念曲線y=1(A）0(Ｂ)1（C）2（D)３【答案】D?！窘馕觥坑捎趌imx→0則x=0是曲線的垂直漸近線；又limlim所以y=0是曲線的水平漸近線；斜漸近線:由于-∞一側(cè)有水平漸近線,則斜漸近線只也許出現(xiàn)在+a=lim=0+b=lim==則曲線有斜漸近線y=x,故該曲線有三條漸近線。綜上所述，本題對的答案是D?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且f''x>0(A)若u1>u2，則{un}必收斂(（C)若u1<u2,則{un}必收斂(【答案】Ｄ?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧繄D示法:由f''x>0，顯然，圖１排除選項(A),其中un=fn→-∞;圖2排除選項(B）;圖３排除選項（Ｃ）,其中unyu1yu1xO12yu1xO12yu1xO12?圖1圖2圖3【方法二】排除法:取fx=(x-2)2,顯然在(0,+∞),f''x=2>0取fx=1x,在(0,+∞)上,f取fx=ex,在(0,+∞)上,f''x>0,且f1=e【方法三】由拉格朗日中值定理知u當(dāng)n>2時，f由于f''x>0,且ξ>cf則有un綜上所述,本題對的答案是D?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微的一個充足條件是limlimx→0flimlimx→0[【答案】C?！窘馕觥坑蒷im(x,y)→(0,0)limx→0f即f'x0,0從而lim=根據(jù)可微的鑒定條件可知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微綜上所述,本題對的答案是C。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微分學(xué)—多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分,全微分存在的必要條件和充足條件設(shè)函數(shù)f(x,y)連續(xù),則二次積分π2(A）01(Ｂ)（C)01(D)【答案】B?！窘馕觥炕Q積分順序,已知π20<綜上所述,本題對的答案是B。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微積分學(xué)—二重積分的概念、基本性質(zhì)和計算設(shè)向量組α1,α（Ａ)α(Ｂ)α(Ｃ)α(D)α【答案】A?！窘馕觥?A):由于(α1所以向量組α1-（B):αC=由于α1,α2,α由于=2≠0，故知α1+（Ｃ)：(10-2-2（Ｄ):α=9≠0，同理α1綜上所述，本題對的答案是A?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)—向量—向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)矩陣A=2-1-1-1(A)協(xié)議,且相似(B)協(xié)議，但不相似(C）不協(xié)議，但相似(D)既不協(xié)議，也不相似【答案】Ｂ?！窘馕觥扛鶕?jù)相似的必要條件:aii=bii，易得A協(xié)議的充足必要條件是具有相同的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)。由λ知矩陣A的特性值3,3,0．故二次型xTAx的正慣性指數(shù)p=2，負(fù)慣性指數(shù)q=0,而二次型xTBx也是正慣性指數(shù)p=2綜上所述，本題對的答案是B?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)—二次型—二次型及其矩陣表達(dá),協(xié)議變換與協(xié)議矩陣二、填空題(本題共６小題，每小題4分，滿分24分)limx→0arctanx-sinx【答案】-1【解析】【方法一】limx→0==【方法二】泰勒公式：sinx=x-arctanx'arctanx=x-xlimx→0=【方法三】limx→0=綜上所述,本題對的答案是-1【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較、極限的四則運(yùn)算高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—洛必達(dá)法則，泰勒公式曲線x=cost+cos2ty=1+sint上相應(yīng)于【答案】1+【解析】切線斜率k=t=π4所以相應(yīng)的法線斜率為1綜上所述,本題對的答案是1+【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—導(dǎo)數(shù)和微分的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義設(shè)函數(shù)y=12x+3,則y【答案】(-1)n【解析】【方法一】先求一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù),歸納總結(jié)n階導(dǎo)數(shù)則y=yy由此可歸納得到y(tǒng)則y【方法二】運(yùn)用冪級數(shù)展開,為求yn0將y=12x+3在x=0處展開為冪級數(shù),則其展開式中x的n次冪項的系數(shù)為12x+3=所以y推出y綜上所述,本題對的答案是(-1)n【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—高階導(dǎo)數(shù)二階常系數(shù)非齊次微分方程y''-4y'【答案】y=C1e【解析】相應(yīng)齊次方程的特性方程為λ則相應(yīng)齊次方程的通解為y=設(shè)原方程特解為y*4所以原方程的特解為y故原方程的通解為y=C1ex綜上所述,本題對的答案是y=C1ex【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—常微分方程—簡樸的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程設(shè)f(u,v)是二元可微函數(shù),z=f(yx,【答案】-2(【解析】運(yùn)用求導(dǎo)公式?z?x=所以x綜上所述,本題對的答案是-2(【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微積分學(xué)—多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計算設(shè)矩陣A=0000【答案】１?！窘馕觥坑捎贏所以rA綜上所述,本題對的答案是1?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)—矩陣—矩陣的乘法，矩陣的秩三、解答題(本題共8小題,滿分8６分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算環(huán)節(jié))（本題滿分１0分）設(shè)f(x)是區(qū)間[0,π4]上單調(diào)、0其中f-1是f的反函數(shù)，求【解析】等式0f(x)f-1f即x則f由原題設(shè)知0由于f(x)是區(qū)間[0,π4]上單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù),則f-1(t)的值域為[0,f所以f【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（本題滿分１1分）設(shè)D是位于曲線y=xa-x求區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V(當(dāng)a為什么值時，V(a)最小，【解析】旋轉(zhuǎn)體體積為Va==πV'令V'a=0,當(dāng)1<x<e時,V'a<0,當(dāng)a>e時，V'a>0,所以a=e時，旋轉(zhuǎn)體體積最小，最小體積為V【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—定積分的應(yīng)用（本題滿分１0分）求微分方程y''x+y【解析】設(shè)y'=p,則y則dpdx=xp+p得x=結(jié)合y1=1，所以y=【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—常微分方程—可用簡樸的變量代換求解的某些微分方程,可降階的高階微分方程（本題滿分1１分）已知函數(shù)f(u)具有二階導(dǎo)數(shù),且f'0=1,函數(shù)y=y(x)由方程y-x【解析】在y-xey-1=1中令方程y-xey-1=1yx=0，y=1代入上式得上式兩端再對x求導(dǎo)得-可得y又d則dd2d【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所擬定的函數(shù)的微分法（本題滿分1１分）設(shè)函數(shù)fx,g(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且存在相等的最大值【解析】【方法一】令Fx=f設(shè)fx,g(x)在(a,b)內(nèi)的最大值為M，若α=β,取到η=α若α≠β,FF此時,由連續(xù)函數(shù)介值定理知在α,β之間至少存在點(diǎn)η,F綜上所述,存在η∈a,b，使得由羅爾定理知，存在ξ1∈a,η再由羅爾定理知，存在ξ∈(ξ1,【方法二】用反證法證明存在η∈a,b，使得F假設(shè)不存在η∈a,b,使得Fη=0,則由F(x)的連續(xù)性知對于一切x∈設(shè)Fx>0，設(shè)g(x)在x0∈a,b取到最大值,則Fx0=fx0-gx存在η∈a,b,使得所以由羅爾定理知，存在ξ1∈a,η再由羅爾定理知,存在ξ∈(ξ1,【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—微分中值定理(本題滿分11分)設(shè)二元函數(shù)fx,y計算二重積分Df(x,y)dσ【解析】由于被積函數(shù)關(guān)于x,y均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于x,y軸均對稱,所以Df(x,y)dσ=4D而D1=0=1所以D【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微積分學(xué)—二重積分的概念、基本性質(zhì)和計算（本題滿分11分）設(shè)線性方程組x1+x2+x3=0與方程x1+2x2+x3=a-1有公共解,求a的值及所有公共解。【解析】【方法一】方程組有公共解,即為將兩個方程聯(lián)立的解x1+x2+x3=0x對聯(lián)立方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，有A→已知方程組有解,所以應(yīng)有aa=1時，此時,公共解為:x=k-10a=2時，此時,有唯一的公共解為x【方法二】先求方程組=1\*ＧＢ3①的解,其系數(shù)行列式為1111當(dāng)a≠1,a≠2時,方程組＝1\*GB3①只有零解，但此時x=(0,0,0)T不是方程=2\*GＢ3②的解,所以公共解發(fā)生在a=1或a當(dāng)a=1時，對方程組=1\*GB3①的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換→方程組＝1\*ＧB3①的通解為x=k-101,其中k此解也滿足方程組=2\*GB3②，所以此時方程組=1＼*GB3①和=２\*GB3②的公共解為x=k-101,其中k為任意常數(shù)。當(dāng)a=2時,同樣求方程組=1\*GB3①的通解→方程組=１\*GB3①的通解為x=k0-11,其中k將其代入方程組=2\＊ＧB３②中得：0+2-得k=-1,因此此時方程組=１\*GB3①和=2\*GB3②的公共解為x=01-1【考點(diǎn)】線性代數(shù)—線性方程組—齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解,非齊次線性方程組的通解（本題滿分11分）設(shè)3階實對稱矩陣A的特性值為λ1=1,