2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章概率熱點(diǎn)探究課6概率與統(tǒng)計(jì)中的高考熱點(diǎn)問題學(xué)案文北師大版

熱點(diǎn)探究課(六)概率與統(tǒng)計(jì)中的高考熱點(diǎn)問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第155頁)[命題解讀]1.概率與統(tǒng)計(jì)是高考中相對(duì)獨(dú)立的一個(gè)內(nèi)容，處理問題的方式、方法表達(dá)了較高的思維含量，該類問題以應(yīng)用題為載體，注重考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)及閱讀理解能力、分類討論與化歸轉(zhuǎn)化能力.2.概率問題的核心是概率計(jì)算，其中事件的互斥、對(duì)立是概率計(jì)算的核心．統(tǒng)計(jì)問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征．統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容相互滲透，背景新穎．熱點(diǎn)1統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例以實(shí)際生活中的事例為背景，通過對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析、抽象概括，作出估計(jì)、判斷．常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識(shí)交匯考查，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力．近幾年出現(xiàn)各種食品問題，食品添加劑會(huì)引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾?。疄榱私狻叭擗暭膊∈欠衽c性別有關(guān)，醫(yī)院隨機(jī)對(duì)入院的60人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表：患“三高〞疾病不患“三高〞疾病總計(jì)男630女總計(jì)36(1)請(qǐng)將如圖的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；假設(shè)用分層抽樣的方法在患“三高〞疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？(2)為了研究“三高〞疾病是否與性別有關(guān)，請(qǐng)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量K2的觀測(cè)值k，并說明是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“三高〞疾病與性別有關(guān)．下面的臨界值表供參考：P(χ2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)[解](1)完善補(bǔ)充列聯(lián)表如下：患“三高〞疾病不患“三高〞疾病總計(jì)男24630女121830總計(jì)3624602分在患“三高〞疾病人群中抽9人，那么抽取比例為eq\f(9,36)＝eq\f(1,4)，所以女性應(yīng)該抽取12×eq\f(1,4)＝3(人).5分(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表，那么χ2的觀測(cè)值χ2＝eq\f(60×24×18－6×122,30×30×36×24)＝10＞7.879.10分所以在允許犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為是否患“三高〞疾病與性別有關(guān).12分[規(guī)律方法]1.將抽樣方法與獨(dú)立性檢驗(yàn)交匯，背景新穎，求解的關(guān)鍵是抓住統(tǒng)計(jì)圖表特征，完善樣本數(shù)據(jù)．2．(1)此題常見的錯(cuò)誤是對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想理解不深刻，作出無關(guān)錯(cuò)誤判定．(2)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，提出的假設(shè)是兩者無關(guān)．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2023·開封模擬)隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的開展，居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng)．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表：年份20232023202320232023時(shí)間代號(hào)t12345儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810(1)求y關(guān)于t的回歸方程y＝bt＋a；(2)用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年(t＝6)的人民幣儲(chǔ)蓄存款.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090360】附：回歸方程y＝bt＋a中，b＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do5(i＝1))tiyi－n\o(t,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do5(i＝1))t\o\al(2,i)－n\o(t,\s\up8(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up8(－))－beq\o(t,\s\up8(－)).[解](1)易求eq\o(t,\s\up8(－))＝eq\f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do5(i＝1))yi＝7.2，2分又eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do5(i＝1))tiyi－5eq\o(t,\s\up8(－))eq\o(y,\s\up8(－))＝120－5×3×7.2＝12，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do5(i＝1))teq\o\al(2,i)－5eq\o(t,\s\up8(－))2＝55－5×32＝10.5分從而b＝eq\f(\o(∑,\s\up8(5),\s\do5(i＝1))tiyi－5\o(t,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(5),\s\do5(i＝1))t\o\al(2,i)－5\o(t,\s\up8(－))2)＝eq\f(12,10)＝1.2，∴a＝eq\o(y,\s\up8(－))－beq\o(t,\s\up8(－))＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回歸方程為y＝1.2t＋3.6. (2)將t＝6代入回歸方程，可預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為y＝1.2×6＋3.6＝10.8(千億元).12分熱點(diǎn)2古典概型與幾何概型的概率計(jì)算幾何概型與古典概型的本質(zhì)區(qū)別在于試驗(yàn)結(jié)果的無限性，幾何概型經(jīng)常涉及的幾何度量有長(zhǎng)度、面積、體積等，解決幾何概型的關(guān)鍵是找準(zhǔn)幾何測(cè)度；古典概型是命題的重點(diǎn)，對(duì)于較復(fù)雜的根本領(lǐng)件空間，列舉時(shí)要按照一定的規(guī)律進(jìn)行，做到不重不漏．某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)，推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)那么如下：消費(fèi)每滿100元可以轉(zhuǎn)動(dòng)如圖1所示的圓盤一次，其中O為圓心，目標(biāo)有20元，10元，0元的三局部區(qū)域面積相等．假定指針停在任一位置都是等可能的．當(dāng)指針停在某區(qū)域時(shí)，返相應(yīng)金額的優(yōu)惠券．例如：某顧客消費(fèi)了218元，第一次轉(zhuǎn)動(dòng)獲得了20元，第二次獲得了10元，那么其共獲得了30元優(yōu)惠券．顧客甲和乙都到商場(chǎng)進(jìn)行了消費(fèi)，并按照規(guī)那么參與了活動(dòng)．圖1(1)假設(shè)顧客甲消費(fèi)了128元，求他獲得的優(yōu)惠券面額大于0元的概率；(2)假設(shè)顧客乙消費(fèi)了280元，求他總共獲得的優(yōu)惠券金額不低于20元的概率．[解](1)設(shè)“甲獲得優(yōu)惠券〞為事件A．因?yàn)榧俣ㄖ羔樛Ｔ谌我晃恢枚际堑瓤赡艿?，而題中所給的三局部區(qū)域的面積相等，所以指針停在20元，10元，0元區(qū)域內(nèi)的概率都是eq\f(1,3).2分顧客甲獲得優(yōu)惠券，是指指針停在20元或10元區(qū)域，所以甲獲得優(yōu)惠券面額大于0元的概率為P(A)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).5分(2)設(shè)“乙獲得的優(yōu)惠券金額不低于20元〞為事件B．因?yàn)轭櫩鸵肄D(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，設(shè)乙第一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤獲得優(yōu)惠券的金額為x元，第二次獲得優(yōu)惠券的金額為y元，那么根本領(lǐng)件空間為Ω＝{(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)}，即Ω中含有9個(gè)根本領(lǐng)件，每個(gè)根本領(lǐng)件發(fā)生的概率都為eq\f(1,9).8分而乙獲得的優(yōu)惠券金額不低于20元，是指x＋y≥20，所以事件B中包含的根本領(lǐng)件有6個(gè).10分所以乙獲得的優(yōu)惠券金額不低于20元的概率為P(B)＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).12分[規(guī)律方法]1.此題(1)中，指針連續(xù)地變化，是幾何概型，第(2)問是顧客獲得優(yōu)惠券的各種可能，是有限的可以一一列舉的離散問題，滿足古典概型．2．題目以“市場(chǎng)銷售手段〞為背景，認(rèn)真審題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移，恰中選擇概型是解題的關(guān)鍵．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](2023·北京模擬)某出租車公司響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召，已陸續(xù)購置了140輛純電動(dòng)汽車作為運(yùn)營(yíng)車輛．目前我國(guó)主流純電動(dòng)汽車按續(xù)駛里程數(shù)R(單位：千米)分為3類，即A類：80≤R＜150，B類：150≤R＜250，C類：R≥250.該公司對(duì)這140輛車的行駛總里程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：類型A類B類C類已行駛總里程不超過10萬千米的車輛數(shù)104030已行駛總里程超過10萬千米的車輛數(shù)202020(1)從這140輛汽車中任取一輛，求該車行駛總里程超過10萬千米的概率；(2)公司為了解這些車的工作狀況，決定抽取14輛車進(jìn)行車況分析，按表中描述的六種情況進(jìn)行分層抽樣，設(shè)從C類車中抽取了n輛車．①求n的值；②如果從這n輛車中隨機(jī)選取兩輛車，求恰有一輛車行駛總里程超過10萬千米的概率.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090361】[解](1)從這140輛汽車中任取一輛，那么該車行駛總里程超過10萬千米的概率為P1＝eq\f(20＋20＋20,140)＝eq\f(3,7).4分(2)①依題意n＝eq\f(30＋20,140)×14＝5.5分②5輛車中已行駛總里程不超過10萬千米的車有3輛，記為a，b，c；5輛車中已行駛總里程超過10萬千米的車有2輛，記為m，n.“從5輛車中隨機(jī)選取兩輛車〞的所有選法共10種：ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn.8分“從5輛車中隨機(jī)選取兩輛車，恰有一輛車行駛里程超過10萬千米〞的選法共6種：am，an，bm，bn，cm，cn，10分那么選取兩輛車中恰有一輛車行駛里程超過10萬千米的概率P2＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).12分熱點(diǎn)3概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題(答題模板)統(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)相結(jié)合命制概率統(tǒng)計(jì)解答題已經(jīng)是一個(gè)新的命題趨向，概率統(tǒng)計(jì)初步綜合解答題的主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識(shí)和使用這些圖表是解決問題的關(guān)鍵，在此根底上掌握好樣本數(shù)字特征及各類概率的計(jì)算．(本小題總分值12分)(2023·安徽高考)某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的效勞情況，隨機(jī)訪問50名職工．根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖2所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．圖2(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；(3)從評(píng)分在[40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評(píng)分都在[40,50)的概率．[標(biāo)準(zhǔn)解答](1)因?yàn)?0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝分(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4. (3)受訪職工中評(píng)分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評(píng)分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2.9分從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為eq\f(1,10).12分[答題模板]第一步：由各矩形的面積之和等于1，求a的值．第二步：由樣本頻率分布估計(jì)概率．第三步：設(shè)出字母，列出根本領(lǐng)件總數(shù)及所求事件M所包含的根本領(lǐng)件．第四步：利用古典概型概率公式計(jì)算．第五步：反思回憶，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題標(biāo)準(zhǔn)．[溫馨提示]1.此題的易失分點(diǎn)：(1)不能利用頻率分布直方圖的頻率求出a值．(2)求錯(cuò)評(píng)分落在[50,60)，[40,50)間的人數(shù)．(3)沒有指出根本領(lǐng)件總數(shù)與事件M包含的根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，或者只指出事件個(gè)數(shù)，沒有一一列舉出10個(gè)根本領(lǐng)件及事件M包含的根本領(lǐng)件，導(dǎo)致扣3分或2分．2．抓住關(guān)鍵，準(zhǔn)確計(jì)算：(1)得關(guān)鍵分：如第(1)問中，正確求得a＝0.006；第(3)問中列出10個(gè)根本領(lǐng)件，錯(cuò)寫或多寫、少寫均不得分．(2)得轉(zhuǎn)化計(jì)算分：如第(1)問、第(2)問中的計(jì)算要正確，否那么不得分；第(3)問中利用“頻數(shù)、樣本容量、頻率之間的關(guān)系〞求得各區(qū)間的人數(shù)，轉(zhuǎn)化為古典概型的概率．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2023·秦皇島模擬)長(zhǎng)時(shí)間用上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的身體健康，某校為了解A，B兩班學(xué)生上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)，分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)作為樣本，繪制成莖葉圖如下圖(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個(gè)位數(shù)字)．圖3(1)你能否估計(jì)哪個(gè)班級(jí)學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng)？(2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過21的數(shù)據(jù)記為b，求a＞b的概率.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090362】[解](1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為eq\f(1,5)(9＋11＋14＋20＋31)＝17.2分由此估計(jì)A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間為17小時(shí)；B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為e