高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：空間向量知識(shí)精講

高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：空間向量蘇教版本講教育信息】.教學(xué)內(nèi)容：空間向量.教學(xué)目標(biāo)：1、理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘。2、了解空間向量的基本定理；3、掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；4、理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念5、掌握空間向量平行、垂直的條件及三個(gè)向量共面及四點(diǎn)共面的條件。三.知識(shí)要點(diǎn)：空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：⑴空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量。⑵向量一般用有向線段表示。同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。⑶空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示。空間向量的運(yùn)算uuurrOP二九a(XeR)uuurrOP二九a(XeR)OB=OA+AB=a+b；BA=OA—OB=a—bpww運(yùn)算律：⑴加法交換律：a+b=b+a⑵加法結(jié)合律：j+（w+w⑶數(shù)乘分配律：九（W+b）二^a+九b平面向量共線定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平p亍向量也叫做共線向量。向量b與非零向量p共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使b=入a。共線向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量。a平行于b記作a//b。pp當(dāng)我們說(shuō)向量a、b共線（或a//b）時(shí)，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b（b工0），a//b的充要條件是存在實(shí)數(shù)入，使a=入b。推論：如果i為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)a且平行于已知非零向量a的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)o,點(diǎn)p在直線u上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式。op—OA+1a。其中向量a叫做直線i的方向向量。111r111r111r—OA)—(1—111r111r111r—OA)—(1—t)OA+tOBOP—OA+1a或OP—OA+1(OB111r1111r111r中點(diǎn)公式：OP—2(OA+OB)

ruuurr7.向量與平面平彳?。阂阎矫鎍和向量a，作OA=a,如果直線OA平彳丁于a或在a內(nèi)，rr那么我們說(shuō)向量a平行于平面a，記作：a//a。通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。&共面向量定理：如果兩個(gè)向量a說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。&共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線,rrrx,y使p二xa+ybp與向量ab共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y），使uuuruuuruuurMP=xMA+yMB①uuuruuuuruuuruuur或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有OP=OM+xMA+yMB②uuuruuuruuuruuuur或OP=xOA+yOB+zOM,（x+y+z=1）③上面①式叫做平面MAB的向量表達(dá)式卡空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量P，存在一個(gè)T丫TT唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z），使p=xa+yb+zc。-pX*-p-pX*-p-pX*-p若三向量仏b,c不共面，我們把｛a,b,c｝叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)uuuuuuuuuuuurx,y,z，使OP=xOA+yOB+zOC。r丁空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)O，作uuuruuurrrrrrrOA=a,OB=b，則ZAOB叫做向量a與b的夾角，記作<a,b>；且規(guī)定0<<a,b><^，兀顯然有<a,b>=<b,a>；若<a,b>=—，則稱a與b互相垂直，記作：a丄b。uuuruuurr向量的模：設(shè)OA=a，則有向線段OA的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：IaI。rrrrrrrr向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則IaI-1bI-cos<a,b>叫做a,b的數(shù)量積，記作prprprpra-b，即a-b=IaI-1bI?cos<a,b>。空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（3）IaI2=a-a。（1）a-e=IaIcos（3）IaI2=a-a?？臻g向量數(shù)量積運(yùn)算律：rrrp1pip1T丄丄T（1）（九a）?b=X（a-b）=a-（九b）（結(jié)合律）。（2）a-b=b-a（交換律）。rtrrrt（3）a?（b+c）=a?b+a?c（分配律）?！镜湫屠}】例1.證明空間任意無(wú)三點(diǎn)共線的四點(diǎn)A、B、C、D共面的充分必要條件是:對(duì)于空間任一點(diǎn)0,存在實(shí)數(shù)x、y、z且x+y+z=l,使得OA=xOB+yOC+zOD。分析：要尋求四點(diǎn)A、B、C、D共面的充要條件，自然想到共面向量定理。解：依題意知，B、C、D三點(diǎn)不共線，則由共面向量定理的推論知：四點(diǎn)曲B、WD共面0對(duì)空間任一點(diǎn)0，存在實(shí)數(shù)x「yr使得@=°Br+X1BC"BD=OB+x（OC—OB）+y1（掘―ObjA=iC1FX11A?OB+X1OC+y1OD，取汁1=—人、y=X］、z=y，則有OA=xOB+yOC+zOD，且x+y+z=1o點(diǎn)評(píng)：向量基本定理揭示了向量間的線性關(guān)系，即任一向量都可由基向量唯一的線性表示，為向量的坐標(biāo)表示奠定了基礎(chǔ)。共（線）面向量基本定理給出了向量共（線）面的充要條件，可用以證明點(diǎn)共(線)面本題的結(jié)論，可作為證明空間四點(diǎn)共面的定理使用。所以AC?CD=0。uuuruuur同理，BA?AC=0。因?yàn)锳BurCD成&u0°角，所以u(píng)UBA60°或120°。uuruuuuruuruuuuruuur=BA2+AC2因?yàn)锽D=uuruuuuruuruuuuruuur=BA2+AC2uuuruuuruuuruuruuuuruuuruuuru所以BDr=BAr+AC2+CD2+2BA?AC+2BA?CD+2AC?CD+CD2+2BA?CDuuruur_=3+21Xcos〈BA，CD〉=2或丫2，所以丨BD|=2或w2，即B、D間的距離為2或、邁。例3.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于點(diǎn)E,求證:(2)BE=丄ED。(1)BD丄平面(2)BE=丄ED。證uuu(⑴uUU們先證明UUU丄ACUuruuuruuru???BD=BC+CD+DD，AC=AB+BC，uuuur1uuuruuruu1uruuuuuruuuruuruBD?AC=(BC+CD+DD)?(AB+BC)uuru1uuruuuruuuur1=BC?BC+CD?ABuuruuuruuuuruuur=BC?BC—AB?ABuuruuuur=|BC|2—|AB|2=1—1=0。.*.BD丄AC同理可證BD丄AB，于是BD丄平面ACB。11111(2U設(shè)底面正方形的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)M,uuuur1uuur1uuuuruuuuruuuur則BM=1BD=1BD，即2BM=BD。221111???BM〃BD，四點(diǎn)B,B,D,M共面，1111所以，UB與平面ACB1之交點(diǎn)E，就是D1B與MB』勺交點(diǎn)。由2BM=BD知，AEMBsAEBD，DE：EB=2:111111.?.BE=1ED。21點(diǎn)評(píng)：利用空間向量可以解決立體幾何中的線線垂直、線線平行、四點(diǎn)共面、求長(zhǎng)度求夾角等問(wèn)題。例4.下列命題中不正確的命題個(gè)數(shù)是uuuruuruuuruuuurr若A、B、rC、D是空間任意四點(diǎn)r則有AB+BC+CD+DA=0；rrr|aI-Lb|=|a+b丨是a、b共線的充要條件rrrr若a、b共線，則a與b所在直線平行uuruuuuruuruuuur對(duì)空間任意點(diǎn)0與不共線的三點(diǎn)A、B、C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中x、y、zWR),則P、A、B、C四點(diǎn)共面A.1B.2C.3D.UU4UrUUrUUUUr解：易知只有①是正確的，對(duì)于④，若0纟平面ABC,則OA、OB、OC不共面，由空間向量基本定理知，P可為空間任一點(diǎn)，所以P、A、B、C四點(diǎn)不一定共面。答案：C例5.如圖，直棱柱ABC—App［的底面厶ABC中，CA=CB=1，ZBCA=90。，棱AA1=2,⑵求cos〈BAi，CB1〉的值;(3)求證：AB丄CM。11(1)JUr如圖建立坐標(biāo)系，依題意得B(0，1，0)，N(1，0，1),.?.IBN丨=可(1—0)2+(0—1)2+(1-0)2=扛。（2u）uur：A1（1，0，2），uBuu（r0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.BA=（1，-1，2），CB=（0，1，2），uuuruuuruuri_uuur_BA?CB=3，|BA=V6，ICB|=（5。iiiuuruur丄貯UULTBA?CBV30.?.cos〈BA，CB〉=uurlur=-oii|BA||CB|i0ii（3）證明：*.*C（0，0，2），M（—，—，2），122UUUrUUUUriiAB=（-1，1，-2），CM=（_，_,0），UUiUrUUUUri22.??AB?CM=0,??.AB丄CM。ii11例6.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D］中，E、F分別是BB】、CD的中點(diǎn)。

證明AD丄D]F；求AE與D1F所成的角;則A(2，uu0ur，0)u、uuAur1(2，0，2)、D(0，10，2)、E(2，2，1)、F(0，1，0)。(1)VDA?DF=(2,0，0)?(0,1，－2)=0，?AD±DFOuuuruu1uur1(2)VAE?D[F=(0，2，1)?(0,1，－2)=0，?AE丄D1fiir即AU與D1F成90°角。(3)VDE?DF=(2,2，1)?(0,1，－2)=0，1.?.DE丄DFTAE丄DF,?：DF丄面AED。111?/D]F￡面AD”，.?.面AED丄面ADF點(diǎn)評(píng)：①通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)用三維坐標(biāo)表示，向量用坐標(biāo)表示，進(jìn)行向量的運(yùn)算，輕而易舉地解決立體幾何問(wèn)題，不需要添加輔助線。一個(gè)需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)密推理論證的問(wèn)題就這樣被簡(jiǎn)單機(jī)械的運(yùn)算代替了。②本題是高考題，標(biāo)準(zhǔn)答案的解法較為復(fù)雜，而運(yùn)用代數(shù)向量求解則輕而易舉，充分顯示出代數(shù)化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性，這應(yīng)作為立體幾何復(fù)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)去掌握通過(guò)坐標(biāo)法計(jì)算數(shù)量積去證垂直，求夾角、距離，是高考的重點(diǎn)。例7.在正四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，求直線CE與平面BCD成的角的正弦值。分析：求線面角的關(guān)鍵在于找出斜線在平面內(nèi)的射影，即找垂面，有了垂面即可在垂面內(nèi)作交線的垂線，線面角即可作出，然后轉(zhuǎn)化到三角形中求解。Z1解法一：取BC的中點(diǎn)F,連結(jié)AF、DF。???正四面體ABCD.BC丄AF,BC丄DF.BC丄面AFD，而BC平面BCD??.面AFD丄面BCD

過(guò)E作EH丄DF于H,而DF平面BCD，則EH丄面BCD則ZECH為CE與面BCD所成的角。.'2在RtACEH中，sinZECH=。3解法二：如圖建立以三角形BCD的中心0為原點(diǎn)，OD,0A依次為y軸，z軸、x軸平行于BC。設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3aa3a6a則OF=,FC=—,OD=,OA=——),\o"CurrentDocument"6233),C(專，一字，0)，D(0,孕，0)，A(°，°，???E(0,孚，冬)6626???E(0,孚，冬)66uuur???CE=(-a\3ax6a2,3，6)r???E為AD的中點(diǎn),又因?yàn)槠矫鍮CD的法向量為n=(0,0,1)，TOC\o"1-5"\h\z???即CE與平面BCD成的角扣滿足：_毘rCE-n近sm0=cos<CE,n>=uurr=一。\o"CurrentDocument"|CE||n|3點(diǎn)評(píng)：求線面角的兩種方法。小結(jié)：1、應(yīng)用向量知識(shí)解決幾何問(wèn)題時(shí)，一方面要選擇恰當(dāng)?shù)幕蛄浚硪环矫嬉炀毜剡M(jìn)行向量運(yùn)算。、空間中的任何一個(gè)向量都可以用不共面的三個(gè)向量線性表示，這三個(gè)向量也稱為一個(gè)基底在證明兩個(gè)向量平行、垂直或求其夾角時(shí)，往往把它們用同一個(gè)基底來(lái)表示，從而實(shí)現(xiàn)解題的目的。3、要用向量法解題，所涉及判斷位置或長(zhǎng)度或所成角的向量，一般應(yīng)能用關(guān)系明確的向量表示，或較容易用坐標(biāo)表示，否則應(yīng)考慮用其它方法來(lái)解。模擬試題】1、在以下四個(gè)式子中正確的有rrrr1、在以下四個(gè)式子中正確的有rrrrrr①a+b?c，②a?(b?c)，③a(b—c)，④|a?b|=|a||b|A.1個(gè)rB.2個(gè)rrr2、設(shè)向量arbrc不共面，rrrA.{a＋br，br—a，a}rrrrrC.{a＋b，b—a，c}3、在平行六面體ABCD-AZBzCA.有相同起點(diǎn)的向量C.共面向量4、平行六面體ABCD-ABCD中,M為AC和BD的交點(diǎn)，若ABuuuur1111rrD.0個(gè)則下列集合可乍為空間的一個(gè)基底的是

B.{a＋br，b—a，br}rrrrrrD.{＋uuu＋r，uuuur＋uu，ur}中，向量AB'、AD'、BD是B.等長(zhǎng)的向量D.不共面向量uuuurruuuurr=a，AD=b，1111C.3個(gè)uuurrAA=c，1則下列式子中與B1M相等的是A.C.c1ccB.a+b+A.C.TOC\o"1-5"\h\z2\o"CurrentDocument"1r1rrD.—a——b+c22uuuuuuuuur5、0、A、B、C為空間四個(gè)點(diǎn)，又OA、OB、OC為空間的一個(gè)基底，則O、A、B、C四點(diǎn)共面，但不共線O、A、B、C四點(diǎn)不共線O、A、B、C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線uururrrCD=5a+6b—8cuururrrCD=5a+6b—8c，對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)6、已知四邊形/BCD中，ABrr分別為E、F,則CF=rrrrr7、已知a+3b與7a—5b垂直，且a—4b與7a—2b垂直，則〈a，b7、8、試用向量證明三垂線定理及其逆理°uuruuruuruuruur9、在空間四邊形ABCD中，求證：AB?CD+AC?DB+AD?BC=0°10、如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，且ZBAD=60°，^PAD為正三角形，且面PAD丄面ABCD。(1)求(1)求cos〈AB，PD〉的值r試題答案rrrr1、解析：根據(jù)數(shù)量積的定義,b?c是一個(gè)實(shí)數(shù)，ar試題答案rrrr1、解析：根據(jù)數(shù)量積的定義,b?c是一個(gè)實(shí)數(shù)，a+乞?c無(wú)意義實(shí)數(shù)與向量無(wú)數(shù)量rrrrrrrrrrrrr積，故a?(b?c)錯(cuò)，|a?b|=|a||b||cos〈a,b〉|,只有a(b—c)正確。答案：A2、解析：由已知及向量共面定理，易得a+b,b—a,個(gè)基底，故選C。答案：ruuuur3、解析：?AD'—AB'=B'D'=答案：Cuuuuruuuruuuuruuur1廠廠’廠開/T廠廠’1rrrrrc不共面，故可作為空間的一uuurBD，uuuuruuur???AB'、AD、uuurBD共面。uuur1uuuur1uuuurr=AA——AB+—AD=c

i2ii2ii1uuuruuru4、解析：BM=BB+BM=BB+(BA+BC)ii-1r1r——a+b，故選A。答案：A22uur5、i解析：由基底意義，OA、°B、能使OA、OB6、解析：???EF=UEA+AB+BFuEF兩式相加，AutECr+???e是AU的中點(diǎn)r^A+EC=°。同理，BFu+DFu=°。rr.2uuEurF=ArB+rCD=r(a—2c)r+(r5a+6rb?EF=3a+3b—5歸答案：3a+rb—5crrrrrrrrrrrJ、解析：由條件知(a+3b)(7a—5b)_=7|a匕一⑸bh+16a?b=0,及(a—rrrrrrr4b)?(7a—2b)=7/h+8^〔2—30a?b=0。兩式相減得46a?b=23|b12,rr1rrra?b=-|b|2代入上面兩個(gè)式子中的任意一個(gè)，即可得到Ia|=|b|2uuurOC三個(gè)向量不共面，但A、B、C三種情形都有可、°C共面。u只有Du才能使這三個(gè)uu量不共面，故應(yīng)選D。答案：D=EC+CD+DF，uuuruuruuuuruuurAB+CD)+(BF+DF)。uururrrrr—8c)=6a+6b—10cr1rTOC\o"1-5"\h\zrr—|bI2rr?a-b21rr..cos〈a,b〉=rr==一。.?.〈a,b〉=60。。答案：60°..coslallblIbl22rr8、已知：P0、PA分別是平面a的垂線和斜線，0A是PA在a內(nèi)的射影，a呈a,求證：a丄PAoa丄OA。rrrr證明:r設(shè)直直線a上非零向Uua，要證a丄PAoa丄OA,即證a?APT=0Lgua?AO=0。?r￡uu,ar^ulu°，uunruurruuuruura?AP=a?(AO+OP)=a?AO+a?OP=a?AO。ruuurruuurrra?AP=0oa?AO=0,即a丄PAoa丄OA。點(diǎn)評(píng)：向量的數(shù)量積為零是證明空間直線垂直的重要工具在應(yīng)用過(guò)程中，常需要通過(guò)加、減法對(duì)向量進(jìn)行轉(zhuǎn)換,u當(dāng)然,u轉(zhuǎn)換的方向是有利于計(jì)算向量的數(shù)量積。9、u證法一：把AB拆成uAC+uuB后重組，AB?CD+AC?DB+AD?BCuuuruuuruuruuuuruuuruuuruuru=(AC+CB)?CD+AC?DB+AD?uuuruuruuuuruuruuuuruuuruuuruuru=AC?CD+CB?CD+AC?DB+AD?BCuu