高中數(shù)列經(jīng)典習(xí)題

文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.1、在等差數(shù)列｛an｝中,a]=—250,公差d=2,求同時(shí)滿足下列條件的所有an的和，70WnW200;(2)n能被7整除.2、設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.(I)求公差d的取值范圍；(II)指出S],S2,…,s12，中哪一個(gè)值最大,并說明理由.3、數(shù)列｛a｝是首項(xiàng)為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)開始變?yōu)樨?fù)n的，回答下列各問：1)求此等差數(shù)列的公差d;⑵設(shè)前n項(xiàng)和為S，求S的最大值;(3)當(dāng)S是nnn正數(shù)時(shí),求n的最大值.4、設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S?已知首項(xiàng)％=3,且S+S=2a，試求此數(shù)列的通項(xiàng)公式ann1n+1nn+1n及前n項(xiàng)和S.n115、已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S二三n(n+1)(n+2),試求數(shù)列｛一｝的前n項(xiàng)和.nn3an6、已知數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列,其中每一項(xiàng)及公差d均不為零,設(shè)nax2+2ax+a=0(i=1,2,3,…)是關(guān)于x的一組方程.回答：(1)求所有這些方程的公共根;TOC\o"1-5"\h\zii+1i+21111設(shè)這些方程的另一個(gè)根為m，求證——-,——,——，…，——，…也成等差數(shù)列.im+1m+1m+1m+1123n7、如果數(shù)列｛a｝中，相鄰兩項(xiàng)a和a是二次方程x2+3nx+c=0(n=1,2,3…)的兩個(gè)根,nnn+1nnn當(dāng)a1=2時(shí)，試求c100的值.8、有兩個(gè)無窮的等比數(shù)列｛a｝和｛a｝，它們的公比的絕對(duì)值都小于1,它們的各項(xiàng)和分別是1nn和2,并且對(duì)于一切自然數(shù)n,都有a，試求這兩個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和公比.n+19、有兩個(gè)各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列｛a｝,｛b｝.如果a1=1,b1=2,a2=3.且a,b,a成等差數(shù)列,nn112nnn+1b,a,b成等比數(shù)列,試求這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.nn+1n+110、若等差數(shù)列｛log2xn｝的第m項(xiàng)等于n,第n項(xiàng)等于m(其中m^n),求數(shù)列｛xn｝的前m+n項(xiàng)的和。11、設(shè)｛an｝為等差數(shù)列,｛b“｝為等比數(shù)列，且a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分別求出｛a”｝及｛b“｝的前10項(xiàng)的和S10及T10.12、已知等差數(shù)列｛an｝的前項(xiàng)和為Sn，且S13>S6>S14,a2=24.(1)求公差d的取值范圍；(2)問數(shù)列｛Sn｝是否成存在最大項(xiàng)，若存在求出最大時(shí)的n,若不存在,請(qǐng)說明理由.13、設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80,前2n項(xiàng)的為6560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比.14、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且存在正數(shù)t,使得對(duì)所有正整數(shù)n,t與°“的等差中

bj是公比為q的等比數(shù)列，且項(xiàng)和t與S的等比中項(xiàng)相等，求證數(shù)列｛JS｝為等差數(shù)列，并求｛a｝通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.bj是公比為q的等比數(shù)列，且15、已知數(shù)列匕｝是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列nb=1,b=5,b=17.123求q的值；求數(shù)列缶｝前n項(xiàng)和.n16、若a、b、c成等差數(shù)列，且a+1、b、c與a、b、c+2都成等比數(shù)列，求b的值.答案：1、解：a1=－250,d=2,an=－250+2(n－1)=2n－252同時(shí)滿足70WnW200,n能被7整除的an構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列｛bj.b1=a70=_112,b2=a77=_98，…,bnZ之毗二140其公差dz=—98—(—112)=14.由140=—112+(n‘一1)14,解得n‘=1919x18???｛bn｝的前19項(xiàng)之和S=19x(—112)+x14=266.2、解：(I2、解：(I)依題意，有S]2+12x(12-D2S=13a+13X(13-】)?S=13a+13X(13-】)?d<0，即13121a+6d<0(2)1由a3=12，得a1=12—2d(3)「24+7d>024將(3)式分別代入(1),⑵式，得<，???—〒<d<—3.I3+d<07(II)由d<0可知a1>a2>a3>^>a12>a13.因此，若在1WnW12中存在自然數(shù)n,使得an>0,an+1<0,則Sn就是S1,S2,-,S12中的最大值.由于S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0，即a6+a7>0,a7<0.由此得a6>—a7>0.因?yàn)閍6>0,a7<0,故在S],S2,…,S12中S6的值最大.3、(1)由a6=23+5d>0和a7=23+6d<0,得公差d=—4.(2)由a6>0,a7<0,?S6最大，S6=8.(3)由a,=23,d=—4,則S=[n(50—4n),設(shè)S>0，得n<12.5,整數(shù)n的最大值為12.1n2n4、a]=3,S]=a]=3.在Sn+1+Sn=2an+1中，設(shè)n=1,有S2+S】=2a2.而S2=a]+a2.即a]+a2+a]=2a2.???a2=6.由S,+S=2a,,……(1)S2+S,=2a”……(2)TOC\o"1-5"\h\z2n+1nn+1n+2n+1n+2(2)—(1),得Sn+2—Sn+1=2an+2—2an+1，?an+1+an+2=2an+2—2an+1n+2n+1n+2n+1n+1n+2n+2n+1即an+2=3an+1n+2n+1此數(shù)列從第2項(xiàng)開始成等比數(shù)列，公比q=3.an此數(shù)列從第2項(xiàng)開始成等比數(shù)列，公比q=3.an的通項(xiàng)公式a=3,當(dāng)n=1時(shí),2x3n-1,當(dāng)n>2時(shí).此數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=3+2x3+2x32+——2x3n-1=3+2x3(3n-1—1)3—1=3n.5、5、a=S—S=—n(n+1)(n+2)—(n—1)n(n+1)=n(n+1).當(dāng)n=1時(shí)，a,=2,S,=x1x(1nnn-1331131+—+…一aaa12n1n=1一=-n+1n+1+—+…一aaa12n1n=1一=-n+1n+1―丄+丄+丄+…+丄-(1-1)+(—-1)+…+(丄-丄)1X22X33X4n(n+1)223nn+16、(1)設(shè)公共根為p,則ap2+2ap+a—O①ap2+2ap+a—O②則②-①，6、TOC\o"1-5"\h\zii+1i+2i+1i+2i+32dm+1=—即iai)=—3，即a—an+2n得dp2dm+1=—即iai)=—3，即a—an+2n-2a2d—1).(2)另一個(gè)根為m,則m+(—1)=汝—-2—-iiaaii1a11—-士，易于證明｛｝是以一懇為公差的等差數(shù)列.\o"CurrentDocument"m+12dm+12ii7、解由根與系數(shù)關(guān)系，a+a=—3n,則(a+a)—(a+ann+1n+1n+2nn+13.?a1,a3,a5…和a2,a4,a6…都是公差為一3的等差數(shù)列，由a1=2,a1+a2=—3,Aa2=—5.則a^=—3k—2,?:a1oo=—152,a2k-1=—3k+5,???a101=—148,?:c1oo=a1oo?a101=22496\o"CurrentDocument"ab8、設(shè)首項(xiàng)分別為a和b,公比q和「?則有冰h|也依據(jù)題設(shè)條件，有E=】,①戸=2,8、n-1—brn-1,③由上面的①，②，③可得(1—q)2q2n-2=2(1—r)rn-1.令n=1,有(1—q)n-1—r)，④設(shè)n=2.則有(1—q)2q2=2(1—r)r,⑤由④和⑤，可得q2=r,代入④得(1—q)2=2(1—q2).由于114164a——31和sq——3qM1,.?有q=—3，r=9?4a——31和sq——3b-169經(jīng)檢驗(yàn)，滿足a2—b的要求.1nnr—99、依據(jù)題設(shè)條件，有sb——(a+a)9、依據(jù)題設(shè)條件，有sn2nn+1由此可得a—\bbn+1nn+1—扎；bnz頁)=2網(wǎng)兀+兀).???bn>0，則2冋=兀+兀???{x.'b}是等差數(shù)列..??b=(n+1)2nn2a2=bbna2=bbnn-1nn2(n+1)2n(n+1)__2?>a=n(n+1)n210、2m+n-111、解：設(shè)｛an｝的公差為d,｛bn｝的公比為q,則:2(1+2d)=q21+2d2(1+2d)=q21+2d=q4解得：d=-3,q8=+i22.S10=10a+45d55TT=b匕1011-q31(2+迂)32__S—S=a+a+??+a=7a>0Ia+8d>012、解：(1)由題意：<136781310<212、解：(1)由題意：S—S=a+a+a=4(a+a)v012a+17dv0146781410112(2)由(1)知,a10>0,a10+a11<0,.°.a10>0>a11，又公差小于零，數(shù)列｛a”｝遞減,

所以｛an｝的前10項(xiàng)為正，從第11項(xiàng)起為負(fù)，加完正項(xiàng)達(dá)最大值。.??n=10時(shí)，S最大。n13、解：設(shè)該等比數(shù)列為｛an｝，且公比為q若q=1，則Sn=na1,S2n=2na1，與題意不符，故q^l。S=a上竺=80n11—qa<1兩式相除，得1+qn=82，qn=81,.°.—片=1v1—q2n心“q—1S=a=65602n11一qaq=a1+1>1，數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，前n項(xiàng)中最大的項(xiàng)為an=a1qn-1=-81=54q解得：a1=2,q=314、證明：由題意：n=%tS即27S=t+aTOC\o"1-5"\h\z2nnn當(dāng)n=1時(shí)，2.tS=t+a=t+S,.?.(.jS—pt)2=0,S=t11111當(dāng)n>2時(shí)，2.'tS=t+a=t+S—S/.(?常S—、?t)2—(飛：S)2=0vnnnn—1#nvn—1(｛S+\.：S1—航)(\.；S—JS1—)=0。因?yàn)椋鸻｝為正項(xiàng)數(shù)列，故S遞增，(JT+F-j)=0不能對(duì)正整數(shù)n恒成立，nnwnn—1.\.：S-Y，S=V；t即數(shù)列｛vS｝為等差數(shù)列。公差為nn—1n:S=\S+(n—l)Jt=n.tS=tn2，a+1=2