高中數(shù)列求和方法集錦

（首項(xiàng)x2，公比x2等比數(shù)列）（常數(shù)列）（首項(xiàng)（1）2（首項(xiàng)x2，公比x2等比數(shù)列）（常數(shù)列）（首項(xiàng)（1）2，公比（1）2等比數(shù)列）xxI、令T=x2+x4+...+x2nnx=1時(shí)，T=x2+x4+.+x2n=1+1+.+1=nnx豐1時(shí)，T=x2+x4+???+x2nnx2—x2nXx2x2n+2—x21—x2x2—1II、令M=2+2+...+2=2nnIII、令G=(1)2+(1)4+...+(丄)2nnxxxx=1時(shí)，G=(—)2+(—)4+...+(—)2n=1+1+...+1=nnxxx②x豐1時(shí)，G=(—)2+(—)4+...+(—)2nnxxx1_1x2x2n+2x2—1x2x2n+2—x2x2Xx2n+2x2—1x2例6:求數(shù)列｛（xn+丄）2｝的前n項(xiàng)和STOC\o"1-5"\h\zxnn分析：將a=（xn+丄）2用完全平方和公式展開，再將其分為幾個(gè)數(shù)列的和進(jìn)行求解。nxn^解：a=(Xn+)2=(Xn)2+2XXnX+()2=X2n+2+=X2n+2+(—)2nnxnxnxnx2nx=[x2+2+(—)2]+[x4+2+(—)4]+...+[x2n+2+(—)2n]XXXxx(x2+x4+.+x2n)+(2+2+...+2)+[(1)2+(丄)4+...+(丄)2n]xxxx2n+2—x2x2x2X(x2n—1)X=x2Xx2n+2x2—1x2nXx2X(x2—1)x2n—1x2n(x2—1)綜上所述：①x=1時(shí)，S=T+M+G=n+2n+n=4nnnnn

x2n+2—x2x2n—1②x豐1時(shí)，S二T+M+G二+2n+nnnnx2—1x2n(x2—1)這個(gè)題，除了注意分組求和外，還要注意分類討論思想的應(yīng)用。第六類：拆項(xiàng)求和法在這類方法中，我們先研究通項(xiàng)，通項(xiàng)可以分解成幾個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。例7：求數(shù)列9，99，999，…的前n項(xiàng)和Sn分析：此數(shù)列也既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列啟發(fā)學(xué)生先歸納出通項(xiàng)公式a二10n—1可轉(zhuǎn)化為n個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)常數(shù)列。分別求和后再相加。解：由于：a=10n—1n則:S=9+99+99+...n=S=(101—1)+(102—1)+(103—1)+...+(10n—1)nnS=(101+102+103+...+10n)—(1+1+1+...+1)nnS=10一10"%10—nn1—10nSn10n+1nSn—n9TOC\o"1-5"\h\z1111=1—+2—+3—+???+n—2482n11解：由于：a=n=n+-n2n2n等差+等比，利用公式求和)則:S=(1+2+3+...+n)+(丄+1+1+???+丄)n2482等差+等比，利用公式求和)12(1—(2)n)n(n+1)+厶