2019-2021北京高三（上）期末數(shù)學匯編：三角函數(shù)的圖象與性質

10/102019-2021北京高三（上）期末數(shù)學匯編三角函數(shù)的圖象與性質一、單選題1．（2021·北京豐臺·高三期末）下列函數(shù)中，同時滿足①對于定義域內的任意x，都有f?x=?fx，②存在區(qū)間D，fA．y=sinx B．y=x3 C．2．（2020·北京密云·高三期末）若函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0）的相鄰兩個極小值點之間的距離為π，最大值與最小值之差為2，且A．2 B．1 C．0 D．±13．（2020·北京豐臺·高三期末）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增的是（

）A．y=?x B．y=C．y=cosx 二、填空題4．（2020·北京朝陽·高三期末）已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+π)=2f(x)，當x∈[0,π)時，f(x)=sinx．若存在x0∈(?∞,m]，使得5．（2019·北京昌平·高三期末（理））已知函數(shù)f(x)=sinx，若對任意的實數(shù)α∈(?π4,?π6三、解答題6．（2020·北京密云·高三期末）已知角α的終邊與以原點為圓心的單位圓交于點P，角β的終邊與角α的終邊關于直線y=x對稱．（Ⅰ）若α為第三象限角，點P的縱坐標為?4（i）求sinα,cosα（ii）求sin(β+（Ⅱ）求函數(shù)f(α)=cos7．（2020·北京大興·高三期末）已知函數(shù)f（1）求fx（2）求fx在區(qū)間0，8．（2020·北京順義·高三期末）函數(shù)f(x)=sinωx?cos（1）求ω的值；（2）求f(x)在區(qū)間[?π9．（2020·北京昌平·高三期末）已知函數(shù)f(x)=3sinωx（1）若函數(shù)f(x)的最小正周期為2，求ω的值；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]上的最大值為310．（2020·北京海淀·高三期末）已知函數(shù)fx（Ⅰ）求函數(shù)fx（Ⅱ）若fx在區(qū)間0,m上的最大值為1，求m四、雙空題11．（2021·北京東城·高三期末）已知函數(shù)fx=2sinx+3cosx，x∈0,2π，其中①f2π②若fx>x+a對任意x∈0,2π12．（2021·北京昌平·高三期末）已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(φ<|π2|)，那么函數(shù)f(x)的最小正周期是_____：若函數(shù)f(x)在[13．（2020·北京昌平·高三期末）已知函數(shù)f(x)=sin①f(x)的最大值為________；②設當x=θ時，f(x)取得最大值，則cosθ=14．（2020·北京房山·高三期末）已知f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π2)，若f(x)的最小正周期為____，若f(x)≤f(?15．（2020·北京海淀·高三期末）用“五點法”作函數(shù)fxx?15211ωx+φ0ππ3π2πf020?20則f?1=_________，

參考答案1．A【解析】分別判斷每個函數(shù)的奇偶性和單調性即可.【詳解】對于A，∵f?x=sin?x=?對于B，∵y=x對于C，∵f?x對于D，∵y=lnx在定義域故選：A.2．C【解析】根據題意，結合正弦型函數(shù)的性質，即可容易求得函數(shù)解析式，再求函數(shù)值即可.【詳解】因為f(x)相鄰兩個極小值點之間的距離為π，故可得T=2πω=π又因為最大值與最小值之差為2，故可得2A=2，則A=1；又因為f(x)是奇函數(shù)，故可得φ=kπ,k∈N故fπ故選：C.【點睛】本題考查由正弦型三角函數(shù)的性質求解析式，屬綜合基礎題.3．B【解析】先考慮函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，再利用基本初等函數(shù)性質判斷各選項中的函數(shù)是否為偶函數(shù)、是否為增函數(shù).【詳解】對于D，因為函數(shù)的定義域為0,+∞，故函數(shù)y=x對于A，y=?x的定義域為R且它是奇函數(shù)，故A錯誤.對于C，y=cosx的定義域為R，它是偶函數(shù)，但在對于B，y=x2?1的定義域為R故選：B.【點睛】本題考查基本初等函數(shù)的奇偶性和單調性，解題的關鍵是熟悉基本初等函數(shù)的性質，本題屬于基礎題.4．[【解析】

由f（x+π）＝2f（x），得f（x）＝2f（x﹣π），分段求解析式，結合圖象可得m的取值范圍．【詳解】解：∵fx+π=2fx，∵當x∈0,π時，f∴當x∈π,2π時，f當x∈2π,3π時，f當x∈3π,4π時，f作出函數(shù)的圖象：令8sinx?3π=43，解得：若存在x0∈?∞,m，使得f故答案為：[【點睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合運用，訓練了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查數(shù)形結合的解題思想方法，屬中檔題．5．3π【分析】利用任意性與存在性原命題可轉化為fβ【詳解】由f(x)=sinx，則fα∈?22即fβ作函數(shù)圖像y=fβ與直線y=k,k∈當兩個圖像只有一個交點時，由圖可知，π4故實數(shù)m的最大值是3π4故答案為：3π【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖像與性質，屬于較為基礎題.6．（Ⅰ）（i）sinα=?45，cosα=?35【解析】（Ⅰ）（i）根據三角函數(shù)的定義，以及同角三角函數(shù)關系，即可容易求得；（ii）由角度終邊的對稱性，求得sinβ,cosβ，再用正弦的和角公式即可求得；（Ⅱ）利用余弦的倍角公式，將函數(shù)轉化為關于cosα的二次函數(shù)，求其值域即可.【詳解】（Ⅰ）（i）因為角α的終邊與單位圓交于點P，P的縱坐標為?4所以sinα=?45所以cosα=?因此tanα=（ii）因為角β的終邊與角α的終邊關于直線y=x對稱，所以sinβ=?35sin(β+=?3（Ⅱ）f(α)==2(由cosα∈所以當cosα=14時，f(α)【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)關系，誘導公式，以及二次型三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎題.7．（1）π；（2）1【解析】（1）利用誘導公式、二倍角公式、輔助角公式對fx進行化簡，然后利用T=2πω（2）利用正弦型函數(shù)的性質，得到fx的最大值，以及此時x【詳解】

（1）因為f=3=3=sin所以fx的最小正周期為T=（2）因為x∈0，所以2x?π所以，當2x?π6=函數(shù)fx【點睛】本題考查求正弦型函數(shù)的周期和最值，屬于簡單題.8．（1）ω=1（2）最大值為1，最小值為?【解析】先用降冪公式將f(x)=sinωx?cosωx?3根據圖象可得最小正周期,利用T=2π|2ω|（2）由x∈[?π3,π3【詳解】解：（1）f(x)==1=1=1=sin∴f(x)的最小正周期T∴ω=1（2）∵x∈[?π3∴sin∴求f(x)在區(qū)間[?π3【點睛】本題考查根據三角函數(shù)圖象求函數(shù)解析式,以及求三角函數(shù)在給定區(qū)間內的最大最小值.9．（1）π；（2）ω≥【解析】(1)利用倍角公式以及輔助角公式化簡函數(shù)f(x)，根據周期公式求出ω的值；(2)利用0≤x≤π2,ω>0【詳解】（1）因為f(x)==3=3=sin因為f(x)的最小正周期為2，即T=所以ω=π（2）因為0≤x≤π所以?π若f(x)在區(qū)間[0,π2]上取到最大值3所以ω≥4【點睛】本題主要考查了由正弦型函數(shù)的周期求值以及由正弦型函數(shù)的最值求參數(shù)范圍，屬于中檔題.10．（Ⅰ）kπ?π3,kπ+【解析】（Ⅰ）利用二倍角的降冪公式以及輔助角公式將函數(shù)y=fx的解析式變形為fx=sin2x+（Ⅱ）由x∈0,m，2x+π6∈π【詳解】（Ⅰ）fx因為y=sinx的單調遞增區(qū)間為令2x+π6∈所以函數(shù)y=fx的單調遞增區(qū)間為kπ?（Ⅱ）因為x∈0,m，所以2x+又因為x∈0,m，fx=所以2m+π6≥π2，解得m≥【點睛】

本題考查三角函數(shù)的單調性以及最值的求解，解題的關鍵就是利用三角恒等變換思想將三角函數(shù)解析式化簡，考查計算能力，屬于中等題.11．

43

【解析】

①根據解析式以及取整的定義，將x=2π3代入解析式可求函數(shù)值；②討論x的取值范圍，求出fx【詳解】①由fx∴f2π②當x=0時，fx當x∈0,π2當x=π2時，當x∈π2,π當x∈π2,當x∈3π2,2π當x=2π時，fx又fx>x+a對任意x∈0,2π∴fx?x>3所以實數(shù)a的取值范圍是?∞,3故答案為：43；12．

π

?【解析】（1）利用周期公式求解即可.（2）對f(π2)=?f(5π6【詳解】（1）T=（2）由f(π2)=?f(?sinφ=?sin(φ?∴φ=?π3+kπ(k∈Z)，又【點睛】

求三角函數(shù)的解析式時，由ω=2πT即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0+φ=0或ωx0+φ=π)，即可求出φ13．

5

?【解析】

由輔助角公式以及正弦函數(shù)的性質得到f(x)的最大值；根據①的結果以及誘導公式化簡即可求解.【詳解】①f(x)=sinx?2cosx=5當x?φ=π2+2kπ，即x=π②由題意可知θ=cosθ=故答案為：5；?【點睛】本題主要考查了求正弦型函數(shù)的最值等，屬于中檔題.14．

π

π【解析】利用周期公式求解周期，利用函數(shù)在x=?π12取最大值得【詳解】由題T=2π2=π，若f(x)≤f(?π12)對任意的實數(shù)x故答案為：π，π【點睛】本題考查余弦函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的最值，熟記函數(shù)