（新課標版）THUSSAT中學生標準學術能力2022-2023年度高三診斷性測試9月測試數(shù)學試題（含答案與解析）

中學生標準學術能力診斷性測試2022年9月測試

數(shù)學試卷

(時間：120分鐘分值：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={x*-3x<0},8={*"},A.,則。取值范圍是()

A.(-oo,0]B.(^)0,3]C.[0,+oo)D.[3,+co)

2.已知aeR,若/一1+是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位)，則。=()

A.-1或1B.0C.-1D.0或1

3.已知函數(shù)/(X)的圖象如圖所示，則它的解析式可能是()

222

A./(x)=-|-j^—B.=-C?/(%)=——D./(x)=-14—

')3兇一3')3W-3L3-33?+3

4.已知向量〃=卜而e,cos。)，方=(l-sina2cos。)，且?！丁?，兀],則“￡〃是"。=色"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

fjr\jr

5.己知函數(shù)/*）=sin2x+1+sin2尤向左平移8個單位后為偶函數(shù)，其中Ow0,-.則6的值為

（）

71冗_7171

A.-B.-C.—D.一

2346

6.在平面直角坐標系中，4（0,1）,5（0,2）,若動點C在直線>=x上，圓M過A&C三點，則圓〃的

面積最小值為（）

2兀兀兀

A.兀B.—C.—D.一

324

7.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點耳、區(qū),它們的離心率分別為，、出，點尸為它們的一個交點，且

/月產乙=半，則的范圍是（）

C.（2,+oo）D.

8.已知平面向量b,￡滿足且”=W=2,卜+4+q=1,則0+的最小值為

（）

A.叵B.V15C.叵D.V17

22

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.己知空間中。涉是兩條不同的直線，夕是兩個不同的平面，則下列命題不正確的是（）

A.al.a,b-La=>a//b

B.a.La.a±b=>b//a

C.〃尸no與匕異面

D0La,acB=b,aLbna1B

10.如圖所示，在四棱錐P—ABC。中，24,平面ABC。，四邊形A3C0為正方形，PA=AB=1,

E、產為線段PO上的兩個動點（不包括端點），且滿足所=更，以下結論正確的個數(shù)是（）

2

p

A.AC±EF

B.P3〃平面AEC

C.二面角七一班)一C的大小為定值

D.四面體ACEF的體積為定值

11.已知/(x)=2x2,g(x)=3TX,若方程|/(x)—g(x)卜/(》)一8(力+辦+4a=0有四個不同的

根，則滿足上述條件的。的可能的值為()

124

A.gB.-C.-D.1

235

2

12.數(shù)列｛a“｝滿足q=a,an+l=3an-an-1,則下列說法正確的是()

A.若arl且aw2,數(shù)列｛q｝單調遞減

B.若存在無數(shù)個自然數(shù)”，使得。,川=?！埃瑒t。=1

C.當a>2或a<l時，｛4｝的最小值不存在

111f1

D.當a=3時，--+--+……+--e-J

4-2%-2Un~212_

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若tanja-當］=，，則tan(a-鄉(xiāng)］值為.

14.(X+1)2(2%-3)3=%+4%+々2/+小/+%?一，則a4=.

15.隨機變量4分布列如下表所示，則方差。(3的取值范圍是.

鄉(xiāng)012

Pab

3

1431

16.已知—F—=1,則-+-的最小值為_________-

aba-2b—4

三.解答題：本題共6小題，共70分?解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題

為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.有甲、乙兩個盒子，甲盒子中裝有2個小球，乙盒子中裝有4個小球，每次隨機取一個盒子并從中取一

個球.

(1)求甲盒子中的球被取完時，乙盒子中恰剩下2個球的概率：

(2)當其中一個盒子中的球被取完時，記另一個盒子恰剩下J個球，則求自的分布列與數(shù)學期望￡?).

18.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,C,且cosC—bsinC=@".

b

(1)求角B的大??；

(2)若人=2,記，為AABC內切圓半徑，求"的最大值.

19.如圖所示，多面體中，AD//EF//BC,平面ADER_L平面8a戶，AD1EC,且

71

AD=CD=2,CB=EF=1,ZBCD=-.

3

(1)證明：BFYDE-,

(2)若FB=B求直線。。與平面A3廣所成角的正弦值.

20.已知數(shù)列｛叫的前〃項和S,,滿足S2=5,2s“=2〃+加“，

(1)求｛%｝的通項公式；

2

.9111,

(2)數(shù)列出｝,同滿足“瑞q且g…次他,求證：一+—+???+—<4.

C\C2Cn

21.如圖所示，M、。分別為橢圓W+y2=i(a>i)的左、右頂點，離心率為走

a-2

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過M點作兩條互相垂直的直線M4,MB與橢圓交于A,8兩點，求ADW面積的最大值.

22.已知函數(shù)/(x)=e'-ex,g(x)=2ax-a-i,其中aeR,e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)求/(x)的最小值；

(2)設函數(shù)Mx)=7'(x)-g(x)(/'(X)為"X)的導函數(shù))，如果函數(shù)〃(X)在(0,1)內有兩個不同的

零點，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={X'_3X<0},B={x|x>a}(A^B則“的取值范圍是()

A.(-oo,0]B.C.[0,+a?)D.[3,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合A,再根據(jù)集合的包含關系求出參數(shù)的取值范圍；

【詳解】解：由X2_3X<0,即(X-3)X<0,解得0〈尤<3,所以

A={小?-<o}={%10<%<3},

又8={x|xNa}且A=

所以a40,即ae(Y>,0]；

故選：A

2.己知aeR,若"―l+(a-l)i是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位)，貝ija=()

A.-1或IB.0C.-ID.0或1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念求解即可.

【詳解】一l+(a-l)i是純虛數(shù)，

a2-1=0且a—IHO，

解得a=—1,

故選：C

3.已知函數(shù)/(X)的圖象如圖所示，則它的解析式可能是()

22

X

D.f(x)=—

WC-

3-33-J3兇+3

【答案】B

【解析】

【分析】利用排除法,通過函數(shù)的定義域，取特殊點驗證進行分析判斷.

【詳解】由圖象可知函數(shù)的定義域為{》卜工±1},所以排除CD,

由圖象可知，/(-2)>0,

_?1

對于A,/(-2)=手匚=—§<0,所以排除A,

對于B,/(—2)=工^'=2>0,符合題意,

八,3同-33

故選：B

4.已知向量a=kin2(9,cos。)，^=(l-sin6>,2cos6>),且6G[0,可，則“￡〃是'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

TTjrSir

【分析】根據(jù)向量平行的坐標運算以及三角函數(shù)的性質可得當￡〃加時。=一或者6=—或者。=L，即

266

可判斷必要不充分條件.

【詳解】若則滿足2cosesin?6=cos6。一sin6),進而得cos6(sine+l)(2sine-1)=(),故

cos。=0或sin。+1=0或2sin6-1=0,

TTTT「TP

由于ee[o,7i],所以。=；或者。=二或者夕=二,

266

TT

因此‘￡〃是“。=工”的必要不充分條件，

6

故選：B

'乃、「兀

5.已知函數(shù)/'(x)=sin［2x+§J+sin2x向左平移Q個單位后為偶函數(shù)，其中0e［。，萬］.則0的值為

()

【答案】D

【解析】

【分析】先對函數(shù)化簡變形，然后利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出平移后的解析式，再利用其為偶函數(shù)可

求出8的值.

【詳解】f（x）=sin^2x+—j+sin2x

=sin2xcos—+cos2xsin—+sin2x

33

3._G）

--sin2x+——cos2x

22

=Gsin（2x+f,

所以『3）的圖象向左平移。個單位后，得

y=>/3sin2（x+，）+^=V3sin^2x+2^+^,

因為此函數(shù)為偶函數(shù)，

所以29+2=K+EM￡Z,得6=三十”,ksZ,

6262

TT

因為Oe0,-,

TT

所以。=3

6

故選：D

6.在平面直角坐標系中，A（0,l）,B（0,2）,若動點C在直線y=x上，圓M過A&C三點，則圓M的

面積最小值為（）

【答案】C

【解析】

【分析】設C(a,a),討論a=l時和awl時兩種情況，分別求出或表示出半徑的平方值，結合二次函數(shù)

性質求得答案.

【詳解】因為A(0,l),6(0,2),若動點C在直線y=x上，圓M過A&C三點，

設C(a,a),顯然圓心為線段AB的垂直平分線和AC的垂直平分線的交點，

13

當a=l時，C(l,l),則圓心為(_,二)，

22

設圓半徑為八則/=d)2+(|-l)2=g,此時圓的面積為兀/=］；

當時，AC的垂直平分線方程為y-四=/一。一區(qū)),

2\-a2

313

令>=二，則工=。+――二,

2a2

133133131

故圓心為(an-----,一),則r2=(ad------)2+(1)2=(ad-----)2H—，

。22a22a24

令，=Q+—,由于a>0時，a+—>2；avO時，a+—<—2,

aaa

故，>2或f4—2,

331

因此對于函數(shù)丁="一5)2,y>(2--)2=-,

、1、TT

即此時圓M的面積nr>—,

22

綜合上述，圓加的面積最小值為3，

2

故選：C

7.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點耳、工，它們的離心率分別為弓、《2,點P為它們的一個交點，且

27r

/月產乙=半，則e；+e；的范圍是()

A.［省8,+8)B.2^^,+8

C.(2,+oo)D.(3,+co)

【答案】C

【解析】

【分析】設橢圓的長半軸長為4,雙曲線的實半軸長的，焦距2c.結合橢圓與雙曲線的定義，得

|PF^\=at+a2,IPg|=q,在△耳「用中,根據(jù)余弦定理可得到％，電，與c的關系式，進而可得

31,t.3

—+—=4,設4=e：/2=e；,則有12=公一；>1，所以覺<乙<1,構造函數(shù)

qe?4/j—J4

4r2-2x3

/(%)=—~<x<1,利用導數(shù)求出函數(shù)的值域即可.

4x—34

【詳解】解：設橢圓的長半軸長為4,雙曲線的實半軸長。2,焦距2c,點P為第一象限交點.

則|PfJ+|P近1=2%,|尸耳|-|尸得|=2。2,

解得|261=4+。2，|「6|=4一。2,

在△耳P6中,根據(jù)余弦定理可得:

227r

WE|=|+|尸入『_2|P8|.C0Sy,

31

整理得4c2=3。：+*,即？+?=4,

%約

,,八31.

設4=64=監(jiān)，則有0<:<1<，2，7+1=4,

G*2

1.34-t,-3t,3

所以=4-即有弓=^^>1,所以<乙<1,

「2G—J4

4彳一2乙

所以e；+e；=[+t=ti+

24/1-34%-3

.n.r,、4廠—2.x3i

設/(x)=—~—,~<x<\,

4x-34

16X2-24X+6

貝iJf(x)=

(4X—3)2

人，'/、八汨3\/33+y/3

令/(x)=0,得為=—―,x=-——

424

3

所以/(x)<0xe(-,1)上恒成立,

3

所以/(x)在xe(―,1)上單調遞減，

4

3

當了趨于一時，/(x)趨于+8,當x趨于1時，/(X)趨于2,

4

所以/。)>2,

nr22

即：e；+紜>2.

故選：C

8.已知平面向量￡,B，￡滿足￡_LB，且卜卜M=2,p+G+q=l,則|"+4+2'+］的最小值為

()

A.叵B.V15C.叵D.V17

22

【答案】D

【解析】

【分析】建立直角坐標系，由向量的坐標運算，得點。的軌跡，進而根據(jù)相似以及三角形邊的關系即可結

合圖形求解.

【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，設￡=(2,O),B=(O,2),雙="=(x,y),M(-2,O),7V(O,-2)

則F+￡+q=ln(x+2『+(y+2)2=l,故點C在以(-2,—2)為圓心，半徑為1的圓上，

3

如圖：取點E(一一,一2),則DE_2，JDC尸1,且NCDE=NNDC,

2~DC~~i~2'~DN~2

CN

因此ADCN“DEC,所以一=2,故。V=2EC,

EC

,+囚+2,+@=次+(,+2)2+2j(x+2『+y2=CN+2CM=2CE+2CM=2(CE+CM)由于

CE+CMNEM=*L2+22=晅，當瓦”,C三點共線且點C在線段ME上時，等號取到，

V22

因此,+可+2,+4=23+01/)2屈，

故選：D

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.已知空間中。力是兩條不同的直線，/，是兩個不同的平面，則下列命題不正確的是（）

A.a±a,b=>a//b

B.a±a,aLb=>b//a

C.aua,bu0,a〃與b異面

D.01a,ac0=b,a上bna上0

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)空間中的線與平面，以及平面與平面的位置關系即可逐一判斷.

【詳解】A：由垂直于同一平面的兩直線平行，可知A正確；

B：由a_L4z,a_|_匕可得匕〃a或者故B錯誤；

C：由aua,buB,a〃4可得。與力異面或。//力，故C錯誤；

D：由力_La,aQ/?=b,,力，當aUa時，不能得到a_L/?,

只有當aua時，才可以得到故D錯誤.

故選：BCD

10.如圖所示，在四棱錐P—A3C。中，Q4_L平面A8C。，四邊形ABCD為正方形，24=43=1,

E、產為線段PO上的兩個動點（不包括端點），且滿足所=也，以下結論正確的個數(shù)是（）

2

p

A.AC±EF

B.P3〃平面AEC

C.二面角七一班）一C的大小為定值

D.四面體ACEF的體積為定值

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)已知對選項逐項判斷即可.

【詳解】對于A,因為24,平面ABCD,4（7匚平面/3?！辏?.?.24,4。，

假如AC_LE〃，又=.?.AC_L平面P4Q,

又ADu平面PAO,.,.AC，A￡>,

而四邊形ABC。為正方形，與AC_LAT>矛盾，故ACJ_EE不正確，故A不正確;

對于B,設連接0E,

若PBH平面AEC,又平面PB。D平面AEC=OE,則PB//0E,

在△P8Z）中，因為。為8。的中點，則E必為PD的中點，這與E為線段PD上的動點矛盾，故B不正

確：

對于C,因為E為線段PO上的動點，所以二面角￡—80—。的大小即為二面角P—8D—C的大小,

連接P0,

p

因為B4_L平面ABC。，A。,ABu平面ABC。，所以PA_LAD,PA_LAB,

因為四邊形ABC。為正方形，PA=AB^AD=\，

所以APABRPAD，

故PB=PD=?BD=6,

又。為8。的中點，POLBD,乂OCLBD,

故NPOC為二面角P—30—C角的平面角，

P0=j+閨=與oc=；AC當,PC7PA2+AC)=5

而△P0C三邊均為定值，由余弦定理可求得cosZPOC為定值，

故二面角E一%）一C的大小為定值，故C正確；

對于D,因為抬_L平面ABC。，CDu平面ABCD，C。，

因為四邊形ABCD為正方形，,?.AOLCD,

又Q4cAD=A，\C0A平面Q4。，

又E、尸為線段PO上的兩個動點（不包括端點），\CDA平面EV，

???四邊形ABCD為正方形，PA^AB^i，:.CD^\,

又尸的邊防的高即為△%￡＞的邊AO的高，故高為交，且防=正,

22

1V20]_

?aq——X-------X---------

??^EAF2224

VA_CEF=匕_4「=|S.-C。=J，故四面體ACEF的體積為定值，故D正確?

故選：CD

11.己知/'（x）=2x2,g（x）=3TX,若方程|/.（6—8（到一/.（》）一8（》）+奴+4a=0有四個不同的

根，則滿足上述條件的。的可能的值為（）

?24.

A.—B.-C.-D.1

235

【答案】AB

【解析】

【分析】先將原方程化簡，根據(jù)TWxWl與x>l或x<-1,去掉絕對值符號，然后構造函數(shù)

屋五）,工〉1或工〈一1

尸(")=<,將方程有四個根轉化為y=F（x）與%="|x+2a有四個交點，再結合

圖像即可求得。的范圍.

當/(x)>g(x)時,即2f?3一國,即為>1或x<—1時

由|/(x)-g(x)|一/(x)-g(x)+辦+4a=0可得

[/(x)-g(x)]-/(x)-g(x)+or+4a=()

即g(x)=^x+2a

當/(x”g(x)時,即-IWxKl時，

由|/(》)_8(》)|―/(》)_8(》)+辦+4“=0可得

[g(x)-/(x)]-/(x)-g(x)+^+4”。

即/(x)=-^x+2a

令尸⑺Jg(x)，x>l或%<-1

⑴壯⑺，-

則|/(x)一8(犬)|一/(》)一8(%)+內+4"=。有四個不同的根

即兇=尸（X）與必=Wx+2a有四個交點

且％=^x+2a=a]+2）過定點A（-4,0）

畫出丁=尸（%）圖像如上圖所示，結合圖像可知,

當直線％=￡x+2a過點8（1,2）與C（3,0）時與y=*x）有三個交點

此時％AB=|，&IC=O

即直線必=§x+2a斜率的范圍為（0，1

即。＜@＜2=0＜。＜4

255

12

所以滿足條件的“為一,一

23

故選:AB.

12.數(shù)列｛qj滿足％=。，a,l+i=3a?-a^-\,則下列說法正確的是（)

A.若awl且。工2,數(shù)列｛%｝單調遞減

B.若存在無數(shù)個自然數(shù)”，使得4川=%,則。=1

C.當a>2或。<1時，｛4｝的最小值不存在

111f1

D.當a=3時，-----+-----+....+-----

4—24—22\2

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項，根據(jù)。向—4=—（《,—Ip<0求出可力1,再由。，漳=3%-一1/1求出4彳2,從

而得到。。1且。。2,數(shù)列｛《,｝單調遞減，A正確；

B選項，可舉出反例；

C選項，由a>2或。<1時，4+i—a,=2a,,—a「—1=一（4一爐<?？勺C得數(shù)列&｝單調遞減，所以最

小值不存在;

,111

D選項，對。川=3%-一1變形為------=——------采用裂項相消進行求和，結合數(shù)列的項

%+1一1/一1??-2

的正負性和單調性求出其取值范圍.

22

【詳解】A選項，all+l-an-2an-a,,-1=-（??-1）,

令%+1<%，解得：q產1，

令a,*1=3a?-a：-1H1,解得：a“H2

綜上：q尸1且a“H2,

所以a。1且2,數(shù)列｛%｝單調遞減，A正確;

2

B選項，當。=2時，a2=3<21-?|-1=6-4-1=1,

當〃23時，?！?3-1-1=1,

所以存在無數(shù)個自然數(shù)〃，使得an+i=an

故B錯誤;

22

C選項，當。>2或。<1時，aM-an=2afJ-an-1=-(?w-1)<0,

所以數(shù)列｛為｝單調遞減，所以最小值不存在，c正確;

D選項,an+1-1=3an-a；-2=-(a?-l)(a?-2),

111

所以4+1一1（生一1）（凡一2）a?-1%一2'

111_

所以

a-1

n+\

11二十二一??+

故-----+------+.....+

q—2a2—2ctfJ_26Z]—1%—1%—1%—1

1111

%T4+1T2an+i-1

因為q=a=3,4=3q-a；-1=-1<0，｛《,｝單調遞減,

1

所以當〃22時，％+1<。2<0,

%

111

所以萬一￡^1>2,

71+1

111

又因為------7單調遞減，所以當〃=1時，-------7取得最大值,

4+1-12an+l-l

1111,

最大值為r?白=5+5=|,

1111Iefpl,D正確.

綜上：言+右+……+

勺-22an+t-1

故選：ACD

【點睛】由數(shù)列通項公式研究數(shù)列的性質，要對數(shù)列的通項公式進行變形，轉化為熟悉的知識點進行處

1111

理，本題D選項，要將4+1=34-a,：-1變形為------=-----------------=-------------泵用馴

a1

n+\~(a?-1)(??-2)an-\an-2,

項相消進行求和，結合數(shù)列的項的正負性和單調性求出其取值范圍.

二.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

?(57則tan[a71

13.若tan["w的值為.

【答案】3

【解析】

【分析】由tan,利用兩角和與差的三角函數(shù)和商數(shù)關系的齊次式求解.

.(5/r71

sina-------F一

【詳解】解：tana一春=一124

757n

、cos0C---------1—

124

=3,

故答案為：3

232345

14.(X+1)(2X-3)=a0+atx+a2x+a3x+a4x+a5x,則％=.

【答案】-20

【解析】

【分析】根據(jù)乘法分配律以及二項式展開式的特征即可求解.

【詳解】由(x+l)2(2x—3)3=(x2+2x+l)(2x—3>,要得則

X2C；(-3)'(2X)2+2xC1(一3)°(2x)3=-36x4+16x4=-20/,所以q=-20,

故答案為：-20

15.隨機變量J的分布列如下表所示，則方差。(/的取值范圍是.

4012

]_

Pab

3

【答案】炭］

【解析】

【分析】結合概率之和為1求出“與人之間的關系，進而用人表示出期望公式和方差公式，最后結合二次

函數(shù)性質即可求解.

1222

【詳解】由題意可知，a+h=\一—=—,則04aW—,0<^<-,

3333

12

故隨機變量4的數(shù)學期望E(J)=§x0+a+20=a+2b=5+b,

3511

從而。值)=Z［。一夙初2E=一(?！?2+

i=\612

因為04b42,

3

28

<|/<

所以由二次函數(shù)性質可知,9--\-9-

2Q

故方差0(4)的取值范圍是.

1431

16.已知。>匕>0,—+―=1,則——+--的最小值為_________.

aba-2b-4

1

+

【答案】V3+-##V34-

4

【解析】

11□1

【分析】由題意可得?=」一,由。>〃>0可得4<〃<5,將?=」一代入——+——化簡得

〃一4b-4a-2b-4

3101W-40llx-40

----1----=-J.令/(x)=-3--——~,4<x<5,利用導數(shù)求出fM的最小值

a-2b-4(b-4)0-8)(九一4)。一8)

即可.

14

【詳解】解：因為?！?—=1,所以"=8+4。,

ab

14b-4b

所以一二1—^=1-,所以。=二

abbp-4

又因為。>〃>0,

b>Q

b

所以《>0,解得4<力<5,

b-4

b

>b

為一4

門…313s—4)+a—23b+a-l43h+a-l43(6—8)+a+10.a+10

所以-----1--------=------------------=-------------------=-------------=-------------------=—3—

a-2Z?-4(。-2)?(〃-4)a〃-4a-2Z?+88-Z?S-bh-S

士+1031W-40

_3_^^-

人一/、o1lx—40

令/(x)=-3—(I/有,4<x<5

?■Ilf—80x+128

則f(x)=------------------

[(x-4)(x-8)]2

人，7、n俎40±8V3

令/(x)=0,得8=.........-

11

又因為（4,5）,

所以當xe（4,竺彳誓）時，/（x）＜0,/（x）單調遞減;

當XG（絲土更,5）時，/'（X）＞0,f（x）單調遞增;

所以/（》）*=/（"簪尸卜叔

故答案為：—+yfi.

4

【點睛】本題考查了轉化思想、學生的計算能力，也考查了導數(shù)的綜合運用，屬于難題.

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題

為必考題，每個試題考生都必須作答.第22.23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.有甲、乙兩個盒子，甲盒子中裝有2個小球，乙盒子中裝有4個小球，每次隨機取一個盒子并從中取一

個球.

（1）求甲盒子中的球被取完時，乙盒子中恰剩下2個球的概率：

（2）當其中一個盒子中的球被取完時，記另一個盒子恰剩下J個球，則求&的分布列與數(shù)學期望￡修）.

3

【答案】（1）—

16

（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望：-

2

【解析】

【分析】（1）分析出總共取了四次球，第四次取到的一定是甲盒中的球，前三次中有一次取到甲盒中的

球，另外兩次取的是乙盒中的球，利用二項分布求概率公式求出概率；

（2）求出J的可能取值及相應的概率，得到分布列，求出數(shù)學期望.

【小問1詳解】

甲盒子中的球被取完時，乙盒子中恰剩下2個球，意味著總共取了四次球，第四次取到的一定是甲盒中的

球，

前三次中有一次取到甲盒中的球，另外兩次取的是乙盒中的球，

*z"1丫113

所以〃=C；—x—x—=一

\2）2216

【小問2詳解】

由題意知：J的可能取值為123.4,

當4=1時，總共取了5次球，剩余的一個球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，

若剩余的一個球在甲（乙）盒子中，則第5次取到的是乙（甲）盒子中的球，前4次有一次取到甲盒子中

的球，另外3次取到乙盒子中的球，

所以“=叫5+明―，

當。=2時，總共取了4次球，剩余的2個球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，

若剩余的2個球在甲盒子中，則4次均取到乙盒子中的球，

若剩余的2個球在乙盒子中，則第4次取到甲盒中的球，前3次有1次取到甲盒中的球，有2次取到乙盒

子中的球，

故尸（1）=4「+嗯）三

當＜=3時，總共取了3次球，剩余的3個球一定在乙盒子中，第3次一定取到的是甲盒中的球，前2次

有1次取到甲盒中的球，有1次取到乙盒子中的球，

所以PC=3）=C；［￡|=；，

當J=4時，總共取了2次球，剩余的4個球一定在乙盒子中，前2次均取到甲盒中的球，

（1Y1

即4的分布列為：

234

18.在AABC中，角A,B,。的對邊分別為“，b,c,且cosC—J^sinC=3".

b

(1)求角B的大??；

(2)若。=2,記r為AABC的內切圓半徑，求"的最大值.

【答案】(1)8=]

⑵是

3

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理化邊為角，再結合三角恒等變換化簡即可得解；

(2)利用余弦定理結合基本不等式求出a+c的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式計算，從而可得出答案.

【小問1詳解】

解：因為cosC一百sinC=^——

b

所以Z?cosC-V§/?sinC=a-2c,

所以sinBcosC-V3sinBsinC=sinA-2sinC，

所以sin3cosC-V3sinBsinC=sin(B+C)-2sinC,

則2sinC-百sinBsinC=sin(B+C)-sinBcosC=cos3sinC,

又sinCW0,

所以2—6sinB=cosB，即2=>/3sinB+cosB=2sin^B+—J,

又8?0,兀)，所以8+看€(2年)，

所以8+'=四，所以8=1；

623

【小問2詳解】

解：己知「為AABC內切圓半徑，

*.*B=-b=2,

39

b2=4="+c2—ac=(。+-3ac,

<.、23i

,<*cic-...I，，4N(a+c)2—(a+c)~=—(a+c)一,

I2)44

，a+cW4,

q-acsinB=—ac

^ABC24

又因為SA4BC=g(a+〃+c)r=；(a+c+2)r,

.v3ac13ac

??r=—----------——產--------

2a+c+22J3a+c+2

2

1(fl+c)-4=1(a+c_2)^>

2v3a+c+22\/33

當且僅當。=。，即AABC為等邊三角形時，r取得最大值為正

3

19.如圖所示，多面體ABCOE尸中，AD//EF//BC,平面平面BCE/7,ADLEC,且

7T

AD=CD^2,CB=EF=L/BCD=—.

3

(1)證明：BF上DE：

⑵若FB=?,求直線0c與平面AB"所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵亞

10

【解析】

【分析】(1)由題意可得四邊形￡必。為平行四邊形，利用3月〃EC,由〃斯，AD±EC,可得

BFA.EF，平面AZ)ER_L平面8CE廠，得3E，平面AOER,即可證明F3_LDE.

(2)由題意可證明故ED，F(xiàn)E，F(xiàn)B兩兩垂直，建立坐標系，利用空間向量求解即可.

【小