2018年數(shù)學黃金100題系列第14題二次函數(shù)理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE26學必求其心得，業(yè)必貴于專精第14題二次函數(shù)I．題源探究·黃金母題【例1】已知函數(shù)=,=（)．求，的單調(diào)區(qū)間;求，的最小值．【解析】(1）由題知，=，=，當＜1時，＜0，當＞1時，＞0，當時,＞0，∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞）；的單調(diào)增區(qū)間為[2,4]．(2)由(1）知，當時，==-1;當=2時，==0．精彩解讀【試題來源】人教版A版必修1第39頁B組第1題【母題評析】本題主要考查利用二次函數(shù)的圖象研究二次函數(shù)的單調(diào)性和最值．高考中的許多最值問題最值都可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題，故本題是一個典型的二次函數(shù)問題．【思路方法】二次函數(shù)問題，常常借助其圖象研究函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、在某個區(qū)間上的值域,借助圖象解對應的一元二次不等式和根的分布問題．II．考場精彩·真題回放【例1】【2017高考山東理10】已知當時,函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．【答案】B【解析】當時，,單調(diào)遞減,且，單調(diào)遞增，且,此時有且僅有一個交點；當時，，在上單調(diào)遞增，∴要有且僅有一個交點，需,故選B．【例2】【2017浙江卷】若函數(shù)f（x)=x2+ax+b在區(qū)間［0，1］上的最大值是M，最小值是m,則M–m（）A．與a有關，且與b有關 B．與a有關,但與b無關C．與a無關，且與b無關 D．與a無關，但與b有關【答案】B【解析】因為最值在中取，∴最值之差一定與無關，選B．【例3】【2016高考新課標II】已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x）=f（2—x），若函數(shù)y=｜x2-2x-3｜與y=f(x）圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm,ym)，則（）(A）0(B)m（C)2m（D）【答案】B【解析】都關于對稱,∴它們交點也關于對稱,當為偶數(shù)時，其和為，當為奇數(shù)時,其和為，故選B．【命題意圖】本類題通常主要考查以二次函數(shù)為載體考查函數(shù)圖象、對稱性、單調(diào)性及最值．．【考試方向】這類試題在考查題型上,通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，往往與函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、最值、方程解或函數(shù)零點的個數(shù)、解不等式性質(zhì)等數(shù)學知識結(jié)合，難度為容易題題、中檔題、也有有難題．【難點中心】若題目為關于某個函數(shù)的二次函數(shù)單調(diào)性、值域、最值或零點個數(shù)問題或可化為關某個函數(shù)的方程解得個數(shù)問題,通常用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)或一元二次方程在某個范圍上的問題，利用一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解,注意新變量的取值范圍，對含參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值問題，注意分類討論結(jié)合圖象處理．III．理論基礎·解題原理考點一二次函數(shù)的概念與表示1．概念：形如:函數(shù)叫二次函數(shù)；2．表達形式有：（1）一般式：．（2）頂點式：若為拋物線的頂點坐標．，（3）截距式：設為拋物線與軸交點的橫坐標,則．．考點二二次函數(shù)圖象與性質(zhì)解析式f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）f(x）＝ax2＋bx＋c（a<0）圖象定義域（－∞,＋∞)（－∞，＋∞)值域eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（4ac－b2,4a），＋∞）)eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(－∞，\f（4ac－b2，4a）)）單調(diào)性在x∈eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞,－\f(b,2a）))上單調(diào)遞減；在x∈eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（b,2a），＋∞））上單調(diào)遞增在x∈eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(b，2a），＋∞））上單調(diào)遞減;在x∈eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（－∞，－\f（b,2a））)上單調(diào)遞增對稱性函數(shù)的圖象關于x＝－eq\f(b，2a)對稱考點三二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的應用1．一元二次方程的實根分布,是一元二次方程=0的根，設=．根的分布充要條件充要條件1充要條件2，∈（，+∞）＞且＞，∈（—∞，）＜且＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜對一元二次方程根的分別問題,結(jié)合對應函數(shù)的圖象，考慮對稱軸、判別式、端點函數(shù)值．．IV．題型攻略·深度挖掘【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn),往往與分段函數(shù)、復合函、方程、不等式等數(shù)學知識結(jié)合考查函數(shù)的值域、零點個數(shù)或方程解得個數(shù)，難度為中檔或中檔以上．【技能方法】解決此類問題通過分類整合結(jié)合化為分段函數(shù),結(jié)合函數(shù)圖象與性質(zhì)解題，轉(zhuǎn)化化歸思想、分類整合思想、數(shù)形結(jié)合思想是解題的法寶．【易錯指導】（1）對二次項系數(shù)含參數(shù)的問題,要分二次項系數(shù)大于0小于0兩類，結(jié)合對應圖象處理；（2）對可化為含參數(shù)的二次函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題，要根據(jù)對稱軸在區(qū)間左、中、右分類結(jié)合圖象求解；(3）在用換元法化為二次函數(shù)或二次方程問題時,注意新變量的取值范圍．（4）對一元二次方程根的分別問題,結(jié)合對應函數(shù)的圖象，考慮對稱軸、判別式、端點函數(shù)值．V．舉一反三·觸類旁通考向1二次函數(shù)概念與表示【例1】【福建三明一中模擬】如圖（1)所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P、Q同時從點B出發(fā)，點P以1cm/秒的速度沿折線BE—ED-DC運動到點C時停止，點Q以2cm/秒的速度沿BC運動到點C時停止．設P、Q同時出發(fā)t秒時，△BPQ的面積為ycm2．已知y與t的函數(shù)關系圖象如圖(2)（其中曲線OG為拋物線的一部分，其余各部分均為線段)，則下列結(jié)論:①；②當時，;③；④當秒時，∽；⑤當?shù)拿娣e為時，時間的值是或；其中正確的結(jié)論是（）A．①⑤B．②⑤C．②③D．②④【答案】D【解析】根據(jù)圖(2）可得，當點P到達點E時點Q到達點C，∵AD∥BC，∴∠EBQ=∠AEB，∴，∴PF=PBsin∠EBQ=t,∴當0<t?5時，，故①正確，如圖3，當t=6秒時，點P在BE上,點Q靜止于點C處．在△ABE與△PQB中，AE=BP,∠EBQ=∠AEB，BE=BC，∴△ABE≌△PQB（SAS)．故②正確；如圖4,當時,點P在CD上，∴，，∴,∴,∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，故④正確．由②知，,當y=4時,，從而，故⑤錯誤．故選D．【例2】【2017江西上饒一?！恳阎叫蔚拿娣e為2,點在邊上,則的最小值為(）A．B．C．D．【答案】B【解析】由面積為2,可知邊長為，在正方形中建立坐標系，設，所以，其中，當時取得最小值為，選B．點睛：平面幾何中有關于向量的運算常用到的幾何法和坐標法兩種方法，幾何法在應用時主要是借助于向量的平行四邊形法則與三角形法則實現(xiàn)向量的轉(zhuǎn)化進而結(jié)合平面幾何圖形的性質(zhì)求解，坐標法的應用首先要建立合適的坐標系,確定相關點的坐標，進而將所求的向量轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題求解，如本題中的向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值問題．【跟蹤練習】1．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率與加工時間（單位：分鐘）滿足的函數(shù)關系(、、是常數(shù)），下圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為（)A．分鐘B．分鐘C．分鐘D．分鐘【答案】B2．【2018江蘇省南通模擬】已知二次函數(shù)為偶函數(shù)且圖象經(jīng)過原點，其導函數(shù)的圖象過點．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設函數(shù)，其中m為常數(shù)，求函數(shù)的最小值．【答案】（1)；（2）【解析】試題分析:（1）利用待定系數(shù)法依題意可設，根據(jù)該函數(shù)為偶函數(shù)可得，根據(jù)導函數(shù)的圖象過點，可得；（2）由（1）可得:根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分為，和三種情形判斷其單調(diào)性得其最值．（2）據(jù)題意,，即①若，即，當時，，故在上單調(diào)遞減；當時，,故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值為．②若，即，當時，，故在上單調(diào)遞減；當時，，故在上單調(diào)遞增,故的最小值為．③若，即,當時，，故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；當時,，故在上單調(diào)遞增，故的最小值為．綜上所述,當時,的最小值為;當時，的最小值為；當時，的最小值為．考向2二次函數(shù)圖象與性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、對稱性等)【例3】【2018山西45校第一次聯(lián)考】函數(shù)（且）與函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題．這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循．解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢,利用排除法，將不合題意選項一一排除．【例4】【2017河北武邑中學二模】已知函數(shù),其中．若函數(shù)的最大值記為,則的最小值為(）A．B．1C．D．【答案】D【解析】，設,即,對稱軸，所以函數(shù)的最大值是，，，解得，當時,當時，，所以當時函數(shù)取得最小值，所以最小值是，故選D．【例5】【2018江蘇如皋聯(lián)考】已知函數(shù)，，則函數(shù)的最大值是__________．【答案】【解析】由二次函數(shù)的對稱軸方程為且圖象開口向上知，當時函數(shù)有最大值,故填．【例6】【2017天津十二重點中學聯(lián)考】若函數(shù)是偶函數(shù),則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【跟蹤練習】1．【2017山東日照二?！亢瘮?shù)為偶函數(shù),且在單調(diào)遞增，則的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，則，故，因為在單調(diào)遞增，所以．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知,不等式的解集為，故選D2．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點的集合為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為是定義在上的奇函數(shù),當時，，∴，∴，由解得或;由解得,∴函數(shù)的零點的集合為，故選D．3．已知函數(shù)，若對于任意的都有，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】4．【2016高考浙江卷】已知函數(shù)f(x）=x2+bx,則“b〈0”是“f（f（x)）的最小值與f（x）的最小值相等"的(）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意知,最小值為．令，則,當時，的最小值為，∴“”能推出“的最小值與的最小值相等”；當時，的最小值為0，的最小值也為0,∴“的最小值與的最小值相等”不能推出“"．故選A．5．【2016高考山東卷】已知函數(shù)其中，若存在實數(shù)b，使得關于x的方程f(x）=b有三個不同的根，則m的取值范圍是________________．【答案】【解析】畫出函數(shù)圖象如下圖所示：由圖所示,要有三個不同的根，需要紅色部分圖象在深藍色圖象的下方,即，解得考向3與二次函數(shù)有關的零點及方程個數(shù)問題【例7】【2017安徽合肥一模】已知函數(shù),．方程有六個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【例8】【2017重慶巴蜀中學模擬】若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【例9】【2016高考天津卷】已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且關于x的方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是_________．【解析】由函數(shù)在R上單調(diào)遞減得,解得，又方程恰有兩個不相等的實數(shù)解,∴，因此的取值范圍是【跟蹤練習】1．【2017南京、鹽城二?！咳艉瘮?shù)f（x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零點，則滿足條件的實數(shù)m組成的集合為_______．【答案】{2}2．【2015高考天津卷】已知函數(shù)函數(shù),其中，若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是(）（A）(B）(C)（D）【答案】D【解析】由得,∴，即，∴恰有4個零點等價于方程有4個不同的解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個公共點，由圖象可知．3．已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則實數(shù)的取值范圍為_______【答案】【解析】oxyoxy4．已知函數(shù),．若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】．【解析】方法一：在同一坐標系中畫和的圖象（如圖），問題轉(zhuǎn)化為與圖象恰有四個交點．當與（或與）相切時，與圖象恰有三個交點．把代入，得，即,由，得，解得或．又當時，與僅兩個交點，或．考向4二次函數(shù)零點(一元二次方程根）的分布問題【例10】【2017河北衡水中學模擬】已知二次函數(shù)的兩個零點分別在區(qū)間和內(nèi)，則的取值范圍是（)A．B．C．D．【答案】A，而,所以直線過C取最大值,過B點取最小值，的取值范圍是，選A．點睛:線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想．需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應的直線時,要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，【例11】【2018浙江“七彩陽光"聯(lián)盟上學期期初聯(lián)考】設關于的方程和得實根分別為和,若，則的取值范圍是__________．【答案】．【解析】由得，由得．在同一個坐標系中畫出和的圖象．由，化簡得，此方程顯然有根，所以，解得或或,當，或時，;當時，，由題意可知,．目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得．【跟蹤練習】1．若一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0的兩根都是負數(shù),則k的取值范圍為________．【答案】(－∞，－eq\f（12，5）]∪(3,＋∞）2．一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0有一個正根和一個負根，則k的取值范圍為________．【答案】(0，3)【解析】依題意有eq\f(k－3，k）<0?0〈k〈3．3．已知方程x2－11x＋m－2＝0的兩實根都大于1，則m的取值范圍為________．【答案】12<m≤eq\f(129,4）【解析】由題意得應滿足eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,\f(11，2)>1,,f（1）>0））即eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(112－4（m－2)≥0，，m－12〉0))解得12<m≤eq\f(129，4)．4．已知方程x2＋2mx＋2m2－3＝0有一根大于2，另一根比2小，則m的取值范圍為________【答案】－1－eq\f(\r（2）,2）〈m<－1＋eq\f(\r(2)，2)【解析】由題意得,應滿足f（2）<0，即2m2＋4m＋1〈0，解得：－1－eq\f（\r(2）,2)<m<－1＋eq\f(\r(2),2）．5．若方程x2＋(k＋2)x－k＝0的兩實根均在區(qū)間(－1,1)內(nèi)，則k的取值范圍為________．【答案】－4＋2eq\r（3）≤k<－eq\f（1，2)【解析】由題意得，應滿足eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－1<－\f(k＋2，2）〈1,,f（－1）〉0,，f（1）>0。)）解得：－4＋2eq\r(3）≤k〈－eq\f（1，2）．6．若方程x2＋(k－2）x＋2k－1＝0的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，則k的取值范圍為________．【答案】eq\f(1，2）〈k<eq\f（2,3）7．【2017浙江名校協(xié)作體】已知．(1）當時，若恰好存在兩個實數(shù)使得，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，函數(shù)在上不單調(diào)，且它的圖象與軸相切，記,求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1)；（2)【解析】試題分析:(1)有兩個解，由圖象可知有兩個不等的根且無根，所以總判別式，解不等式可解．（2）由題意可得，，對稱軸在內(nèi)，解得，由，得，令可求得范圍．試題解析：可得方程有兩個不等的根且無根，所以可得（2)由，函數(shù)在上不單調(diào)，且它的圖象與軸相切，可得即，由得，令，且考向5含參數(shù)的二次函數(shù)問題【例12】【2018江西九江模擬】若,函數(shù)與的值至少有一個為正數(shù),則實數(shù)的取值范圍為（）A．（0，4]B．（0，8）C．（2，5）D．【答案】B點睛：抓住最高次項的系數(shù)m，m＜0時,在y軸右側(cè)恒小于零，m＞0時，在y軸右側(cè)恒大于零，從而把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值在y軸一側(cè)恒大于零或恒小于零的問題,充分借助二次函數(shù)的圖象特征，問題將迎刃而解．【例13】【2018浙江名校協(xié)作體】的值域為，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由值域為，可知取遍上的所有實數(shù),當時,能取遍上的所有實數(shù)，只需定義域滿足，當時，要保證能取遍上的所有實數(shù)，只需，解得，所以，選D．【點睛】本題要注意定義域是R,與值域是為的兩個題型的區(qū)別,值域為，可知取遍上的所有實數(shù)，定義域是R，是恒成立．【例14】【2018甘肅蘭州西北師范大學附屬中學高三調(diào)研】已知函數(shù)（1)求在區(qū)間的最小值的表達式；（2)設，任意，存在，使,求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）的取值范圍是試題解析：（1）當時，當時,當時，(2）函數(shù)的定義域為，令,則令，則或，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，所以對任意的，有，由條件知存在，使，所以，即存在，使得分離參數(shù)即得到在時有解,由于（)為減函數(shù)，故其最小值為,從而，所以實數(shù)的取值范圍是．【例15】【2017湖北沙市中學、恩施高中、鄖陽中學高一下學期階段性聯(lián)考】若不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【跟蹤練習】1．【2017浙江臺州高三4月調(diào)研】已知，若對任意的，不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，恒成立，在恒成立，只需滿足，故選A．【點睛】本題考查了在給定區(qū)間二次函數(shù)恒成立的問題,結(jié)合二次函數(shù)的圖象，列不等式組，得到結(jié)果，一般包含判別式大于0，對稱軸的位置，以及端點值的范圍這幾個不等式,但可以根據(jù)實際情況,刪減不等式．2．【2018河南洛陽模擬】已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍為．【答案】或．3．【2015高考湖北卷】a為實數(shù),函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為．當_________時，的值最?。敬鸢浮浚窘馕觥恳驗楹瘮?shù)，∴分以下幾種情況對其進行討論：①當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,∴；②當時，此時，，而,∴；③當時，在區(qū)間上遞增,在上遞減．當時，取得最大值；④當時，在區(qū)間上遞增，當時,取得最大值,則在上遞減，上遞增，即當時，的值最?。蕬睿?．【2018貴州思南中學模擬】已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在上的最小值;(2)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍．【答案】（1）;（2）．【解析】試題分析：（1)，對稱軸為，所以當時,取得最小值；（2）函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),等價于對稱軸在區(qū)間兩側(cè)，即或，解得或．試題解析：(1）由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可知，當時，取得最小值．（2）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間內(nèi)．即或或,故的取值范圍為．考向6與二次函數(shù)有關的復合函數(shù)問題【例16】函數(shù)的最小值為_________．【答案】【例17】【2018浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考】已知函數(shù)，若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___．【答案】【解析】當時，f（x）=2x+1，f［f(x)]=4x+3不滿足大于等于0恒成立，不符．當時，，令所以一定有負值，不滿足大于等于0恒成立不符．當時,，令所以對稱軸為，所以f（t）在單調(diào)遞增，即即可，解得，