2021-2022學年江蘇省鎮(zhèn)江市高一下學期期末數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年江蘇省鎮(zhèn)江市高一下學期期末數(shù)學試題

一、單選題

1.正“3C的邊長為1,則方?就=（）

_1_V3g1

A.2B.2C.2D.2

D

【分析】根據(jù)數(shù)量積公式，展開求值，即可得答案.

ABAC=Us|-Uc|cosJ=Ixlxcos60°=—

【詳解】由題意得Illi2

故選：D

/（x）=2sin（x——7T）

2.下列區(qū)間中,函數(shù)6單調(diào)遞減的是（)

（3%/3兀仁、

A.嗎B.1㈤（兀，?。ㄡ?2兀）

C.2D.

C

【分析】先求出函數(shù)的遞減區(qū)間，然后逐個分析判斷即可

7C_.TC3冗_.._

--F2k7T<X--4---FZkjT、4￡Z

【詳解】由262，得

+2k兀<x<—+2k兀、”￡Z

334

4乃712454

當人二-1時、其遞減區(qū)間為13'工當左二°時，其遞減區(qū)間為I3'3一

8萬1\71

當左=1時，其遞減區(qū)間為I3'31，

/八兀\/九\/3兀個、/3兀、

、（0,—）（不冗）（—,2K）（冗，7"）

所以“X）在2,2,2上不遞減，在2上單調(diào)遞減，

故選：C

3.已知〃，6為異面直線，aua,bu。,aCl4=c,則直線c一定（）

A.同時和直線〃，6相交B.至少與直線a,b中的一條相交

C.至多與直線a,b中的一條相交D.與直線a,b中一條相交，一條平行

B

【分析】根據(jù)兩平交，交線不能同時與a力兩異面直線平行即可得解.

【詳解】因為。ua,bu[i,?n^=c,a,b為異面直線，

所以c不可以與a，鼠都平行，否則.力平行，與凡6為異面直線矛盾，

故c至少與直線a,6中的一條相交.

故選：B

4.已知加，“是空間中兩條不同的直線，?,夕是空間中兩個不同的平面，則下列說法

中，正確的個數(shù)是()

(1)若加Lz,tn邛,則a〃6；(2)若加/a,nila,則加〃〃；

(3)若/n_La,則，〃//"；(4)若機la,〃邛,a邛,則，？2〃〃.

A.1B.2C.3D.4

B

【分析】由面面平行的判定定理可判斷(1),根據(jù)線面平行及線線的位置關系判斷

(2),根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理判斷(3),利用反證法可判斷(4).

【詳解】對于(1)：若加la,,近夕，由垂直于同一直線的兩個平面平行知故正

確；

對于(2)：若〃〃/a,nila,則加與“相交、平行或異面，故錯誤；

對于(3)：若加nla,由垂直于同一平面的直線平行知加〃〃，故(3)正確；

對于(4)：若〃?la,nl[),a_L夕，則加//"不正確，若加〃"可得'夕由(1)

知a/啰，與aJ.4矛盾，故(4)錯誤；

故選：B

5.某人向東偏北60。方向走50步，記為向量環(huán)向北偏西60。方向走100步，記為向

量凡向正北方向走200步，記為向量以假設每步的步長都相等，則向量了可表示為

()

A.2>5a+bB.a+2>/3bc2a+^bDy/3a+2b

A

【分析】由題意建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算求解即可.

【詳解】如圖，由步為單位長度，建立平面直角坐標系，

則a=(50cos60°,50sin60°)=(25,255/3),c=(0,200),

ft=(100cos150°,100sin150°)=(-5073,50),

0=25x-50島

由c=xa+yb可得1200=25>/Jx+50y,解得x=2>/i,y=l,

所以c=2,3a+6,

故選：A

6.已知48兩地的距離為10km,B,C兩地的距離為20km,且測得點8對點力和

點C的張角為120。，則點8到NC的距離為()km.

20410萬20Vli10幣

A.7B.7C.7D.7

B

【分析】由余弦定理求出月C,再由面積等積法求解.

【詳解】由余弦定理可得：

AC-=AB'+BC2-2AB-BCcosl20°=102+202-2xl0x20x(-1)=700

即zc=ioJ7,

SA,"=-ABBCsmnO°=--AC-h

所以22,

h_-8?8。sin120°_100百_10歷

解得ACio47.

故選：B

2百sin700-百sin10°_

7.計算：cos100()

A.1B.2C.3D.4

c

【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式化簡求解即可.

【詳解】

也]

2百sin70?！?sin]0。2百sin（60。+10°）-百sin]0。器%cos]0。+萬sm[0。）-括sm10。

cos10°cos10°cos10°

_3cos10°_3

cos10°,

故選：C

8.斜三棱柱蜴G中，側面88/GC的面積為S,側棱/小到側面88/GC的距

離為。，則該斜三棱柱的體積為（）

—Sa—Sa—

A.6B.3C.2D.Sa

C

【分析】斜三棱柱補形為平行六面體，求平行六面體的體積即可得解.

【詳解】在斜三棱柱"sc-44G的一側補上一個三棱柱"co-4G",使之成為一

個平行六面體如圖,

一y——Q、

顯然，它的體積為”=aS,所以斜三棱柱"8C-48c的體積為22、.

故選：C

二、多選題

9.高空走鋼絲是雜技的一種，淵源于古代百戲的走索，演員手拿一根平衡桿，在一根

兩頭拴住的鋼絲上來回走動，并表演各種動作.在表演時，假定演員手中的平衡桿是

筆直的，水平地面內(nèi)一定存在直線與演員手中的平衡桿所在直線（）

A.垂直B.相交C.異面D.平行

AC

【分析】對直線/與平面的任何位置關系，平面內(nèi)均存在直線與直線/垂直；平衡桿所

在直線與水平地面的位置關系：平行或相交，根據(jù)線面關系可知：若直線與平面平行，

則該直線與平面內(nèi)的直線的位置關系：平行或異面若直線與平交，則該直線與平面內(nèi)

的直線的位置關系：相交或異面；理解判斷.

【詳解】根據(jù)題意可得：

對直線/與平面的任何位置關系，平面內(nèi)均存在直線與直線/垂直，A正確；

平衡桿所在直線與水平地面的位置關系：平行或相交

根據(jù)線面關系可知：若直線與平面平行，則該直線與平面內(nèi)的直線的位置關系：平行

或異面

若直線與平交，則該直線與平面內(nèi)的直線的位置關系：相交或異面

C正確；B、D錯誤；

故選：AC.

10.在下列對A/BC的描述中，能判定A/BC是直角三角形的是()

---------------------2

A.sin2/=sin28B.ACAB^AC

C.A(1,1),B(3,-2),C(4,3)D.△/BC為正方體的某個截面

BC

【分析】對于A：sin2Z=sin28可得2N=28或2/+28=兀，分析得4/BC是等腰三角

形或直角三角形；對于B：整理可得'。十一"°)=°,利用向量減法得就?至=°,

即刀,而；對于c：利用兩點間距離公式求三邊長度為：

\AB\=^3,\AC\=^3,\BC\=426再根據(jù)勾股定理說明；對于D：正方體的截面有：

三角形、四邊形、五邊形和六邊形，其中三角形有：等邊三角形、等腰三角形和銳角

三角形，沒有直角三角形.

【詳解】sin2J=sin2^,則24=28或2/+28=兀

A+B=-

即4=8或2,則A/BC是等腰三角形或直角三角形，A錯誤；

AC.AB=AC2,則萬.西-司

.-.ACCB=0,即就"!?瓦，則2U8C是直角三角形，B正確；

A(1,1),B(3,-2),C(4,3),則網(wǎng)=歷|/=屈,忸牛商

.』Z8『+"?！?忸?！?，則△/BC是直角三角形，C正確；

正方體的截面有：三角形、四邊形、五邊形和六邊形，其中三角形有：等邊三角形、

等腰三角形和銳角三角形，沒有直角三角形，D錯誤；

故選：BC.

11.tan75°=()

，l+cosl50。sin150°

A.2+GB.v1-cos150°c.1+cos150°D

tan25°tan35°tan85°

ACD

【分析】根據(jù)兩角和的正切公式及特殊角的三角函數(shù)值判斷A,由正切半角公式判斷

由tan(60°-a)tan(600+a)tana=tan3a,令a=5°即可判斷出

BC,2D.

。一+3

tan75°=tan(450+30°)=⑶必+tan3()=——%=2+73

1-tan45°tan30°〔6

【詳解】3，故A正確;

…/l-cosl50°

tan75°=J---------

由正切的半角公式知Vl+cosl500,故B錯誤;

__sin75°2sin75°cos75°sin150°

tan750o=------=-------；------=----------

cos75°2cos"75°l+cosl50°,故C正確；

,tan(60°-a)tan(60°+a)tana=tan3a,令&=25°,得tan75°=tan25°tan35otan850,

可得D正確.

故選：ACD.

12.棱長都相等的正四棱錐的側面與底面所成的二面角大小為a,兩相鄰側面所成的

二面角大小為小不相鄰兩側面所成的二面角大小為y,則（）

A.p=2aB.y=2aC.p+y=7t

D.cos2a+cos^=0

ACD

【分析】在正四棱錐中分別找到或作出生/，？，求出三角函數(shù)值，利用三角函數(shù)值判

斷它們的關系即可.

【詳解】設正四棱錐的棱長為2,連接相交于°,取/民PRBC,/。的中點分

別為E,F,M,N,連接PE,E。,MN,AF,CF,FO,如圖

p

由棱長都相等正四棱錐可知，尸°，平面”8C。，PELAB,EO1ABt

AFLPD,CFLPD,所以NPEO=a,々FC=。

CF=AF=PE=2x—=y/3,PO=^/2,OC=s/2

又2,OE=1,

歷「00cy/241/r8

tana=—=V21211不=奇=1=方彳=&a=P_

故i,2"JPO-PFV2-1，所以2,即

夕=2a,故A正確：

由對稱性知，不相鄰的側面所成角為側面48與面PMN所成角的2倍，

YOPV1

cos==2

故72PE~~G7^3,所以co,s/=2cos-2-1=-3,t.any=2Cj/2T,

tan2a=女3=-2&

而1-tan%,故7=2",故B錯誤；

因為tan/?=tan2a=-2&,tany=2應，所以？+/=%故C正確；

cos2a=-cos2a+cosB=cos2a+cos2a=3cos2a-\=3x--l=0

因為3,所以3,故D正

確.

故選：ACD

三、填空題

.乃71

sin-"cos—=

13.求值：88.

V2

4

【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式逆用，計算即可得答案.

.乃71I\.71V2

sm--cos—=—sin2x—=—sm—=——

【詳解】由題意得882I8)244.

也

故4

14.請寫出一個定義域為R,周期為兀的偶函數(shù).

/(x)=cos2x(不唯一)

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

7=如=兀

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)〃x)=cos2x周期為R,周期為2，符合

要求.

故f(x)=cos2x(不唯一)

15.一個正四面體的四個頂點都在一個表面積為24%的球面上，則該四面體的體積為

\6母3夜

33

【分析】設正四面體的棱長為“，外接球半徑為R,畫出正四面體的圖形，則在

RtZXOBM中，由0.2+8^2=082,可求出0,從而可求出該四面體的體積

【詳解】設正四面體的棱長為。，外接球半徑為尺,

如圖正四面體Z8CO中，E為8的中點，M為△8CO的中心，連接則

平面8CO,。為正四面體48co外接球的球心，連接°6,

2??2V3V3

則3323,

AM=JAB?—BM?=.la2——a2=-^-a

所以193,

因為正面體外接球的表面積為24乃，所以4乃2=24?，得氏=逐,

所以20=08=A/6,

0M=AM-OA=

所以

在RtZXOBM中，0M2+BM2=0B2,

則I3JI3J,解得。=4或。=0(舍去),

2

-5BCD-4M=-x^-x4x^-x4=-V2

所以該四面體的體積為33433

1672

故3

四、雙空題

16.已知腰長為2拒的等腰直角△月BC,現(xiàn)沿斜邊8c上的高力。翻折，使得二面角

B-AD-C的大小為60。，則點B到AC的距離為.；異面直線Z8與C￡）所成角

的余弦值為

里雨臉五

【分析】根據(jù)折前折后不變的數(shù)量關系，二面角的平面角，利用等面積法求高，根據(jù)

向量法求異面直線所成角的余弦即可.

【詳解】如圖，

圖②

圖①中，由題意，4B=AC=2插，NBAC=90°,所以8C=280=CD=4

因為8cAD,CD1AD,所以為二面角B~AD~C的平面角,

即N8Z)C=60。，所以圖②中8c=2,設點8到4c的距離為我

I~\~BC,,2x77714

BC-.AB2-(—)2=AC-hh=-3=-=—

由三角形面積可知V2，即2V22.

設異面直線AB與CD所成角為°,

?:AB=AD+DB,ADVDB,ADVDC

—>—>—>—>—>—>—>

???AB,CD=(AD+DB)?CD=DB-CD=2x2xcosl20。=-2

廊.西20

cos0=__■1.=-f=—=—

|JS||CZ)|2V2x24

714V2

故2；4.

五、解答題

17.已知平面直角坐標系中，向量,=(1，-2)1=(-3,4).

(1)若行"("，),且同=2,求向量，的坐標;

(2)若值與G+4否的夾角為,求實數(shù)2的取值范圍.

請在①銳角；②鈍角兩個序號中選擇一個填寫在空白處，將問題補充完成，并解答.

⑴(。，2)或(0，-2)

(—co,0)uf0,—|

(2)若選①銳角，2的取值范圍為II1人若選②鈍角，2的取值范圍為

【分析】(1)設c=(xj),先求得才+書坐標，根據(jù)向量平行的坐標關系，可得x值,

根據(jù)求模公式，可得y值，即可得答案.

(2)先求得1+花坐標，求得"與"共線時的2值，若選①銳角，則

啖+泥)>0,即可得人范圍；若選②鈍角，則啖+4)<°,即可得彳范圍.

【詳解】⑴設)=(2),由題意得3￡+[=(0,-2),

E“c//(ia+b'\

因為、人

所以-2-x=0j,解得x=0,

又同=2,

所以&+/=|小2,解得了=±2,

所以向量[的坐標為32)或(0,-2)

(2)a+'b=(1—34,—2+4/1)

當。與2+與共線時,lx(-2+42)=(1-32)x(-2),解得/=(),

若選①銳角，則"+0)力(心)+(-2)?2+43。

Z<—

解得“，

(一8,0)D(o3

所以若五與5+萬的夾角為銳角時，力的取值范圍為

若選擇②鈍角，貝10叫W)+(-2)x(_2+M<。

A>—

解得“，

A

所以若a與a+把的夾角為鈍角時，7的取值范圍為

sina+cosaIT

3ae(0,-)

18.已知sina-cosa

(1)求cos2a的值；

sin(a-/3)=^^-

作(0百

7

(2)若10.且2,求角人

_3

(1)5；

71

(2)4.

【分析】(1)根據(jù)條件由同角三角函數(shù)的基本關系求出tana,再由二倍角的余弦公式

轉化為正切化簡求值:

(2)利用角的變換#=&-9-夕)及兩角差的正弦公式求解即可.

sina+cosa.

--------------=3

【詳解】(1)由sina—cosa可得sina+cosa=3sina—3cosa,gptana=2

_cos2a-sin2a1-tan2a1-43

/.cosla=——；-------------=-------------=------=——

cos*'a+sina1+tana1+45

?.“(0百匹(0,9

⑵2.2,

-y<?-/?<yvsin(a-^)=-^y-cos(a一夕)=

n2275175

???ae(0,—)-sma--f==——,cosa=-f==—

由⑴知tana=2,2,<55V55

?.sin[}=sin[a一(a-〃)]=sinacos(a一2)一cosasin(a-0)

2753A/10V5V1072

=---------X-------------------------X----------=--------

5105102,

加(09

19.如圖，在三棱柱力8cg中,側面如CGB/是菱形,AC1BC,.

(1)求證：BCJ4B]；

(2)若側面4CG小為矩形，AC=6,BC=2.

①求證：平面ZCG41平面BCCB；

②求直線AC,與平面BCCR所成角的正切值.

(1)證明見解析；

⑵①證明見解析②2.

【分析】(1)根據(jù)已知及菱形對角線垂直可證出線面垂直，由線面垂直可得線線垂直;

(2)根據(jù)線面垂直及面面垂直的判定定理求證①，再由線面角的定義及三角函數(shù)求

解②即可

【詳解】(1)；側面BCG8/是菱形，???BC'BG,

又ACLBCi，BCc"=C,BC、1平面ACB,,

???AB】u平面ACB,,8G±AB}

⑵①???側面/CG4為矩形，-'-Acicci,

■■■AC1BC,,CB\(ICG=C,AC1平面BCC8,

AC

'-u平面ACC,A/,平面NCCM/1平面BCCtBi

②vAC1平面BCC/B1,AC'在平面BCCB上的射影為CG,

???直線AC,與平面BCCIBI所成角為/,

tanZJC.C=

1CC[2

7T7T

——<(O<—

20.用“五點法”作函數(shù)/(x)=/sin(5+9)CA>0,<o>0,22)的圖像.

(1)列出下表，根據(jù)表中信息.

71

a)x+(p0na27r

2

X13b79

f(x)020c0

①請求出43,夕的值；

②請寫出表格中a,b,c對應的值；

③用表格數(shù)據(jù)作為“五點”坐標，作出函數(shù)y=/(x)一個周期內(nèi)的圖像；

71

CD=—

⑵當4時，設“五點法”中的“五點”從左到右依次為8,C,D,E,F,其中C,E

點分別是圖象上的最高點與最低點，當ABCE為直角三角形,求力的值.

兀兀3兀

(1)①2,4,-4;@2,5,-2；③圖象見解析：

⑵4=2或"=2四

【分析】(1)根據(jù)表格代入，利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)點的坐標，寫出向量，利用向量求解即可.

【詳解】(1)①由表格可知，/=2,

G+e=o

;?兀71兀

由12,解得4,4,

,兀.兀

a)?b+(p=—b——二式

②44,.-.b=5,

r兀兀3兀

a=7x——c=2sin—=-2

當x=7時,442,2

③作出一個周期的圖象，如圖，

(2)'4,4,則8。0,0)(1+2,4),￡(%+6,-4),

當ABCE為直角三角形時，8cd=(2,/)-(4,-2/)=8-21=0,解得［=2.

—>—>

BCBE=(2,A)(6,-A)=12-A2=O解得Z=2行，

—>—>

C￡8E=(6,-N>(4,-24)=24+21HO

綜上，/=2或4=26.

21.某景區(qū)的平面示意圖為如圖的五邊形N8CDE,其中8￡),8E為景區(qū)內(nèi)的乘車觀光

游覽路線，ED,DC,CB,BA,NE是步行觀光旅游路線(所有路線均不考慮寬度)，

經(jīng)測量得：488=135°,乙B4E=120°,"80=30°,CD=3近,DE=8,且

3

cosNDBE=—

5

(1)求3E的長度；

(2)景區(qū)擬規(guī)劃△/BE區(qū)域種植花卉，應該如何設計，才能使種植區(qū)域△Z8E面積最大,

并求此最大值.

(1)10

_1073

(2)當步行觀光旅游路線一一3時，種植區(qū)域△N8E面積最大，且最大值為

25立

3

【分析】(1)在△80中，根據(jù)正弦定理，可得8。的長，在中，根據(jù)余弦定

理，即可得答案.

ABxAE<—

(2)在△/8E中，由余弦定理及基本不等式，可得3,代入面積公式，

即可得答案.

CDBD

【詳解】(1)在△8。中，由正弦定理得sinNCS。sin/BCD

fCDsin/BCD/

DD=-----------------------=6

所以sinZ.CBD

…廠BD2+BE2-DE23

cosZ.DBE=---------------------=—

在ABOE中，由余弦定理得2xBDxBE5,

336+8爐-6414

_—___________R卜,—

所以52x6xBE,解得8E=10或5（舍）

AB2+AE2-BE21

cos/.BAE=--------------------=

(2)在△/BE中，由余弦定理得IxABxAE2,

+AE2=W0-ABxAE>2ABxAE,

ABxAE<—

所以3

,D_“JO百

AD=AE=------

當且僅當3時等號成立，

1../DAT?25^3

Sc=—xABDxAErxsm/BAE=------

此時△ABE面積最大值23

g_1073

所以當步行觀光旅游路線一一3時，種植區(qū)域△Z8E面積最大，且最大值為

25后

3

22.如圖，在四棱錐尸一45CD中，PB=PD,PAA.PC,M,N分別為P/,8c的中點

底面四邊形49CL)是邊長為2的菱形，且ZD48=6O。，NC交8。于點0.

A

⑴求證：MMI平面PC。；

C=1

COSU---

(2)二面角B-PC-D的平面角為仇若7.

①求尸工與底面所成角的大??；

②求點N到平面CDP的距離.

(1)證明見解析；

叵

⑵①60。②〒.

【分析】(1