二次函數(shù)的最值問題

二1頁)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company本頁僅作為文檔封面，使用請直接刪除

222222222222222222222222典型中考題（

有關(guān)二次函數(shù)的最值）屠園實驗周前猛一、選擇題1．已知二次函數(shù)y=a（x-1）2

+b有最小值–1，則a與b之間的大小關(guān)()A.a<bB.a=bCa>bD能確定答案：C2．當(dāng)－2≤x≤l時，二次函數(shù)（）

y=-）

有最大值4，則實m的值為A、-

74

B、3或3

C2

D2-

74答案：C∵當(dāng)－2≤x≤l時，二次函數(shù)

y=-）

有最大值4，∴二次函數(shù)在－2≤x≤l上可能的取值是x=或x=1或x=m.當(dāng)x=－2時，由

y=-）

解得

m=-

74

765yx此時416，它在－2≤x≤l的最大值是

6516

，與題意不符.當(dāng)x=1時，由

y=-）+m

解得m=2，此y=-（x-2）2

+5，它在－2≤x≤l的最大值是4，與題意相符.當(dāng)x=m，由

（x-m）+m+1

解得

3當(dāng)此時y）+4

.它在－2≤x≤l的最大值是4，與題意相符；當(dāng)

，y

=-）2

它在－2≤x≤l在x=1處取得，最大值小于4，與題意不符綜上所述，實數(shù)m的值2或-故選C．

.13．已知0≤x≤，那么函數(shù)2

2

+8x-6的最大值是（）AB.2C.-2.5D.答案：C解：∵

+8x-6=-2x-2

．∴該拋物線的對稱軸是x=2且在x上隨x的增大而增大．又0x≤3

最大最大11，∴當(dāng)x=?時，y取最大值，=-22212

-2+2=-2.5故選：C4已知關(guān)于的函數(shù)下列結(jié)論：①存在函數(shù)，其圖像經(jīng)過（1,0點；②函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸總有三個不同的交點；

.③當(dāng)

時，不是y隨x增大而增大就是y隨的增大而減小；④若函數(shù)有最大值，則最大值必為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值必為負(fù)數(shù)。真確的個數(shù)是（）A,1個

B2個

C3個

D、答案：B分析：①將（1）點代入函數(shù)，解出k值即可作出判斷；②首先考慮，函數(shù)為一次函數(shù)的情況，從而可判斷為假；③根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可作出判斷；④當(dāng)k=0，函數(shù)為一次函數(shù)，無最大之和最小值，當(dāng)≠0時，函數(shù)為拋物線，求出頂點的縱坐標(biāo)表達式，即可作出判斷.解真，將（）代入可得：2k-4k+1-k+1=0，解得：k=0．運用方程思想；②假，反例：k=0時，只有兩個交點．運用舉反例的方法；③假，如k=1，-

b5=，當(dāng)1時，先減后增；運用舉反例的方法；2a44

④真，當(dāng)k=0時，函數(shù)無最大、最小值；4ac-b24k2k≠0時，==-最4a8k

+1

，∴當(dāng)0時，有最小值，最小值為負(fù)；當(dāng)0時，有最大值，最大值為正．運用分類討論思想．二、填空題：1如圖，已知；邊長為4的方形截去一角成為五邊形ABCDE其中AF=2BF=l在AB的一點P使矩形有最大面積，則矩形PNDM的面積最大值是答案：122已知直角三角形兩直角邊的和等于8兩直角邊各為的面積最大，最大面積是：44，8

時，這個直角三角形5

2229.5482229.548解：（1）⑵設(shè)直角形得一邊為x，另一8-x；設(shè)其面S.∴S=x(8-x)(0<x<8).得?(x-8x)=-(x-4)2+8x=4時，最大=直角邊為4時，此角形最大面積8.3函y=2答案：

4x-x

0大值與最小值分別是解：最小值為，當(dāng)4x-x2

取最大值時最大，即x=2，

最大為，所以，當(dāng)x=0時，y最大為2當(dāng)時y取最小值為04已知二次函數(shù)y=x

（≤x1的最大值是，那么值為答案：0解：二次函數(shù)y=x稱軸為x=-1當(dāng)≤x1時y的增大而增大，當(dāng)x=1時最大值為，代入y=x

5如圖，在△ABC，BC=5AC=12AB=13在邊ABAC上分別取點D、E使線段DE將△ABC成面積相等的兩部分，則這樣線段的最小長度．三、解答題：1產(chǎn)品第一季度每件成本為元，第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率為

⑴請用含的代數(shù)式表示第二季度每件產(chǎn)品的成本；⑵

如果第三季度該產(chǎn)品每件成本比第一季度少元，試求的值⑶該產(chǎn)品第二季度每件的銷售價為元，第三季度每件的銷售價比第二季度有所下降，若下降的百分率與第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件產(chǎn)品的銷售價不低于元，設(shè)第三季度每件產(chǎn)品獲得的利潤為元，試求與的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)圖象與性質(zhì)求的最大值（注：利潤銷售價成本）50509.5解得x（3）0.2而0∴而

y5

＝

240x＝

∵當(dāng)

0.4

時，利用二次函數(shù)的增減性，隨的增大而增大，而0

，∴當(dāng)

0.2

時，最大值＝18（元）說明：當(dāng)自變量取值范圍為體體實數(shù)時，二次函數(shù)在拋物線頂點取得最值，而當(dāng)自變量取值范圍為某一區(qū)間時，二次函數(shù)的最值應(yīng)注意下列兩種情形：若拋物線頂點在該區(qū)間內(nèi)，頂點的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值。6

22若拋物線的頂點不在該區(qū)間內(nèi)，則區(qū)間兩端點所對應(yīng)的二次函數(shù)的值為該函數(shù)的最值。72如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D(09

3

)，且頂點橫坐標(biāo)為，該圖象在x軸上截得的線段AB的長為⑴求二次函數(shù)的解析式；⑵在該拋物線的對稱軸上找一點P，PA+PD最，求出點P的坐標(biāo)；⑶在拋物線上是否存在點，使△QAB△ABC相似？如果存在，求出點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．解：（1設(shè)二次函數(shù)的解析式為：（x﹣）

2

+k∵頂點C橫坐標(biāo)為，且過點（0

）∴y=ax）

2

+k

①又∵對稱軸為直線，圖象在x上截得的線段長為∴A1），B，0∴由①②解得

，k=∴二次函數(shù)的解析式為：y=

（x﹣）﹣（2∵點AB關(guān)于直線稱∴PA=PB∴≥DB∴當(dāng)點P在線段DB上時PA+PD取得最小值∴DB與稱軸的交點即為所求點P設(shè)直線x=4與x軸交于點M6

∵PMOD∴∠BPM=，又∠PBM=DBO∴△BPM△∴∴∴點P的坐標(biāo)為（）（3由（）知點C4），又∵，∴在Rt，cot

，7

PMPM△△∴∠ACM=60，∵AC=BC∴∠①當(dāng)點Q軸上方時，過QNx軸于如果AB=BQ由△ABC∽△ABQ有BQ=6∠ABQ=120，則∠°∴QN=3

，，ON=10，此時點Q10

），如果，由對稱性知Q﹣，

）②當(dāng)點Q軸下方時，QAB就是△ACB，此時點Q坐標(biāo)是（，

），經(jīng)檢驗，點（10

）與（﹣2

）都在拋物線上綜上所述，存在這樣的點，使△QAB△ABC點坐標(biāo)為（10）或（﹣2）或（，）．3如圖，拋物線經(jīng)過

A

三點．（1求出拋物線的解析式；（2P是拋物線上一動點，過P作軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，M為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3在直線AC方的拋物線上有一點，使得的面積最大，求出點的坐標(biāo)．解：（）該物線過點（，）可設(shè)該拋物線的解析式為，將（，）B（，7

0代入，得，解，∴此物線的解析式為；（）在，如，設(shè)點橫標(biāo)為，則P點的縱坐標(biāo)為8

12121212，當(dāng)1＜＜時，

，∵∠COA=∠°，∴①當(dāng)

時eq\o\ac(△,，)∽ACO，

4-m=2

，

解m=2，m=4（舍），∴P（2，）；②當(dāng)

時，△∽△，即，得=4，=5均不合題意，舍去），∴＜＜時P（，）類似地可求出當(dāng)時P（），m<1時P（-3，）綜上所述，符合條件的點P為2，）或（，）或，）（）圖，設(shè)點橫坐標(biāo)為t（＜4）則D點的縱坐標(biāo)

，過作y軸的平行線交于E，題意求得的解析式為∴∴當(dāng)t=2時△的積最大，∴D（，）。

，∴點的坐標(biāo)

，∴4圖，矩形ABCD中，AB=3，線段EF在角線上，EG，⊥，垂足分別是GH且EG+FH=EF（1求線段EF長；（2設(shè)EG=xAGE與CFH的面積和為，寫出S關(guān)于x函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出S的最小值．5如圖，點線段AB上的任意一點(點與AB重合，分別以AC為邊在直線AB的側(cè)作等邊三角形ACD等邊三角形，AECD相交于點MBD交于點N．(1)證：MNAB；(2)AB的長為l0cm當(dāng)點線段AB上移動時，是否存在這樣的一點，使線段MN長度最長?存在，請確定C的位置并求出長；若不存在，請說明理由．8

（1由題中條件可得ACE△DCB進而得出≌△DCN即CM=CNMCN等邊三角形，即可得出結(jié)論；（2可先假設(shè)其存在，設(shè)AC=x，進而由平行線分線段成比例即可得出結(jié)論．解答（1證明：∵△ACDBCE是邊三角形，∴AC=CD，∴∠ACE=BCDACE與中，∵∠∠CE=BC∴△ACE△DCBSAS，9

DBCExDBCEx5x10xy∴∠CAE=BDC與，∵∠CAE=BDCAC=CD∠ACM=DCN∴△≌△DCN∴CM=CN又∵∠，∴△MCN等邊三角形，∴∠MNC=即MNAB（2解：假設(shè)符合條件的點C存在，設(shè)AC=x，6、如圖，在中，∠A90°，BC,ABC的面積為25點

D為AB邊上的任意一點(不與A、重)，過點∥，交于點E

．設(shè)DE以DE為折線將△ADE翻折，所得的

與梯形重疊部分的面積記為（1）．用表示的面積;（2）．求出﹤≤時與的函數(shù)關(guān)系式；（3）．求出﹤﹤時與的函數(shù)關(guān)系式；（4）．當(dāng)取何值時，的值最大最大值是多少解:(1)

∵DEBC

∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C9

∴△∽△ABC

∴

SADE)SABC

即

SxADE

(2)∵BC=10

∴邊所對的三角形的中位線長為∴當(dāng)﹤時

y

ADE

x

（3）﹤10時，點A'落在三角形的外部,其重疊部分為梯形∵S=S=△A'DE△ADE

10

時最大為：時，y最大為：222時最大為：時，y最大為：222∴DE邊上的高由已知求得∴A'F=AA'-AF=x-5由△A'MN∽△A'DE知

x∴

yx2x

25（4）在函數(shù)

y

中∵0﹤x≤5∴當(dāng)時最大為：

在函數(shù)

y

中當(dāng)

x3∵﹤∴當(dāng)

x

37、如圖，拋物線

x

bxx交于AB兩點，與軸交于點，且A（－1，0）。（1）求拋物線的解析式及頂點Ｄ的坐標(biāo)（2）判斷△Ａ形狀，證明你的結(jié)論。（3）點Ｍ（m，0）是Ｘ軸上的一個動點，當(dāng)ＭＣ+ＭＤ的值最小時，求的值

Y解：（1）將A（－1，0）代入x

bx

MA

BXb，所以拋物線的解析式y(tǒng)3配方得：y(x)，所以頂點,28（2）求出5，BC=，而∴BCAB，故△ＡＢＣ為△（3）作點關(guān)于X軸的對稱點（2，0），連接交軸于點，通過兩點式可求得直線的

C

D解析式：y

，當(dāng)時，解得x=

∴Ｍ（

，0）即10

2222158．如圖，直線與拋物線+bx+6（a≠0）相交于（，）和22B（4，m），點P是線段上異于、B的動點，過點作⊥x軸于點，交拋物線于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的點，使線段的長有最大值，若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求△PAC為直角三角形時點P的坐標(biāo)．分析：）已知）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的B兩點坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．）要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差．可設(shè)出

P點橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出C的縱坐標(biāo)，進而得到關(guān)于PC與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出

PC的最大值．）為直角三角形時，根據(jù)直角頂點的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解．解：（）∵）在直線線y=x+2上，m=4+2=6，），15（，）、）在拋物線y=ax+bx+6上，22511∴（2a+b+6222解得a=2b=-8

6=16a+4b+6∴拋物線的解析式為y=2x

2

-8x+6．）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（n+2），則C點的坐標(biāo)為（2n2-8n+6），11

22PC=n+2-2n=-2n2+9n-4，

2

-8n+6），=-2n-

949）+48

，PC，∴當(dāng)n=

949時，線段PC最大且為48）∵△為直角三角形，i）若點P為直角頂點，則∠APC=90°．由題意易知，