等差數(shù)列與等比數(shù)列例題和知識點(diǎn)梳理

nn11nnnn1nnnn11nnnn11nnnn1nnnn11nn等差數(shù)列其前n項(xiàng)和

等比數(shù)列其前n和等差數(shù)列其前n項(xiàng)和1．等差數(shù)列的定義一般地如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)么個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表．2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)a的首項(xiàng)為a，差為，那么它的通項(xiàng)公式是a＝＋－d.3．等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列．這時(shí)叫與b的差中項(xiàng)．4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)通公式的推廣a＝＋n－)d(n，∈)．nm若a為等差數(shù)列，且＋＝＋，l，，∈N)，則a＋＝＋.nklmn若a是等差數(shù)列，公差為，則a}也等差數(shù)列，公差d.n2n若a，b是等差數(shù)列，則pa＋也是等差數(shù)列．nnnn若a是等差數(shù)列，公差為，則a，a，nkkmk2m

，…km∈N)公差為md的差數(shù)列．?dāng)?shù)S，－，－，構(gòu)成等差數(shù)列．m2mm3m2m1若a是等差數(shù)列，等數(shù)列，其首項(xiàng)a}首項(xiàng)相同，公差為.25．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式nan設(shè)等差數(shù)列a的公差為，其前項(xiàng)＝或S＝＋d226．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與數(shù)的關(guān)系ddS＝n2＋a－.n22數(shù)列a是等差數(shù)列＝2＋(，為數(shù)．1

nnn11n1nn1nn2nnn11n1nn1nn27．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列a中，>0，<0則S存最大值；若a，>0，存最小值．概念方法微思考a＋1．“，，是等差數(shù)列”是“＝”的什么條件？2提示充要條件．2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)是數(shù)的次函數(shù)嗎？n提示不一定．當(dāng)公差＝時(shí)S＝，不是關(guān)于n的次函數(shù)．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢比魝€(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)是等差數(shù)列．()等數(shù)列的單調(diào)性是由公差d決定的()n等數(shù)列的前n項(xiàng)公式是常數(shù)項(xiàng)為0的次函數(shù)．)數(shù)a為等差數(shù)列充要條件是對任意N，有a＝＋.()題組二教材改編2．設(shè)數(shù)列a是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)為S，＝且S＝，等于()nn658A．．C33．3．在等差數(shù)a中，若a＋＋＋＋＝，＋＝________.n3456728題組三易錯自糾14一等差數(shù)列的首項(xiàng)為從10項(xiàng)起開始比大則個(gè)等差數(shù)列的公差d的取值范25圍是)8A．7583C.<d7525

3B<2583D.<d≤75255．選設(shè)a是等差數(shù)列S是前項(xiàng)和，且<S，＝>S，下列結(jié)論正確的nn56678是)A．C．S95

Ba＝7D．與S均為的大值67n2

nn810nn121nn1nnnn810nn121nn1nn6．若等差數(shù)a滿足＋＋，a＋，當(dāng)n＝時(shí)a的項(xiàng)和最大．n789710n7體從1的高空降落第秒落4.90每秒比前一秒多降落9.80，那么經(jīng)過秒到地面．等差數(shù)列基本量的運(yùn)算1全Ⅰ記S為等差數(shù)列a的前項(xiàng)若S＝＋a＝則a等()nn32415A．－C．10

B－D．2．全Ⅰ記為差數(shù)列a的前項(xiàng)．已知＝，＝，則)nn45A．＝－5n

Ba＝－10nC．＝n2－8n

1D．＝n22

－n3蘇已數(shù)列an∈是等差數(shù)列是前n項(xiàng)a＋0＝，nn2589則的是．S4．全Ⅲ記為差數(shù)列a的前項(xiàng)．若a≠，＝a，＝S5等差數(shù)列的判定與證明例日照模擬已知數(shù)列a}}滿足1

n

12＝－＝中n∈.4a2－n3

nnnnnn1{a－n2annn637nn5101522nn1nnnnnn1{a－n2annn637nn5101522nn12nnnnnn6求證：數(shù)列b是等差數(shù)列，并求出數(shù){a的通項(xiàng)公式．跟蹤訓(xùn)練在列a}，＝，a是1與aa的差中項(xiàng)．1求：數(shù)差列，并求an1求列n項(xiàng)和.

}n

的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用命題點(diǎn)等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)例江西師范大學(xué)附屬中學(xué)模)知數(shù)列a}等差數(shù)列S為其前項(xiàng)2＋

5＝＋，S等于)A．B．C．D28命題點(diǎn)等差數(shù)列前項(xiàng)和的質(zhì)例3漳質(zhì)已等差數(shù){的前n項(xiàng)為S.若S＝，＝，則S等()A．．C49．SS已S是等差數(shù)a的前n項(xiàng)和a＝－，－＝S＝20192013Sn＋跟蹤訓(xùn)練2(1)已等差數(shù)列a、等差數(shù)列b}的前n項(xiàng)分別為，，若＝，Tn＋a則的是)b84

10107122010107122013131111A.B.C.D.16141615田質(zhì)檢設(shè)等差數(shù)列a的前項(xiàng)和為S，若S>0S<0則S取大值時(shí)nn1314n的值為)A．B．C．D．1．在等差數(shù)a中，＝，＝a，a等()n1533A．－B．0C．D．62晉模記等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S若＝＝的公差為)nn6nA．B．C．2．－33．在等差數(shù)a中，已知a＝，該數(shù)列前2021項(xiàng)的和S等()n12A．B．．040．0424．已知數(shù)列a是公差不為0的差數(shù)列，前n項(xiàng)為，足＋a＝，給出下列結(jié)nn138論：①＝；S最；③S＝；④S＝0.其中一定正確的結(jié)論()A．②．①③④C．①③D．②④5．程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來言．務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為996斤花，分別贈送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)開始，以后每人依次多17斤直到第八個(gè)孩子為止．分配時(shí)一定要等級分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)()5

10nnnnSn10nnnnn10n1110nnnnSn10nnnnn10n11A．．．D．a(chǎn)6．寧銀川一中月在差數(shù)列a中，若<－1，且它的前n項(xiàng)S有大值，a9則使成的正整數(shù)n的大值是)A．．C17．7．多)知數(shù)列a}公差不為的差數(shù)列，前項(xiàng)為S，滿足a＋a＝，列nn138選項(xiàng)正確的)A．＝10C．＝7

BS最小10D．＝208．多)S是數(shù)列a的前n項(xiàng)和，且＝1，＝S，()nn1n1nn1A．＝n

2

1n1n＝，B．1－，≥，∈n

*C數(shù)差數(shù)列n111D.＋＋…＋＝5050SS129．全Ⅲ記為差數(shù)列a的前項(xiàng)．若a＝，＝，則＝nn3710S3n－a10．差數(shù)列a，b}前和分別為，，且＝，則＝T2n＋．知數(shù)列a滿足(nn1

－a－＝a－nnn

1，＝，＝a－n證：數(shù)列b是等差數(shù)列；n求列a的通項(xiàng)公式．n6

132410nnn120nn1122n2na132410nnn120nn1122n2nan612．知等差數(shù)列a}的差d，設(shè){的前n和為S，＝，S＝nnn123求及S；n求，m，∈N的，使得a＋＋＋…＋＝mm1m2mk13大連模擬已等差數(shù){a的前項(xiàng)和為S＝nnn

且b＋＝＋＝，則等于)A．．．．12014．知數(shù)列a與等數(shù)n∈，且a＝，＝15．(2020·黑江省哈爾濱市第三中學(xué)模擬已知2＋2＝，在這個(gè)實(shí)數(shù)x，之插入三個(gè)實(shí)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和的最大值()13A．10B.10C.10D.1022da＋a＋＋a16m＝n

{

}n

是等差數(shù)列m為列a}的“等差均值”；nn若{

}n

是等比數(shù)列，則稱m為數(shù)列a的“等均值”．已知數(shù){a的－等均nnn值”為2列b的“n1

等比均值”為記＝＋logb列{3nn

c}n

的前n項(xiàng)為S，n若對任意的正整數(shù)n都S≤，實(shí)數(shù)k的值圍．7

n1＝nabnnnnnnn1＝nabnnnnnn等比數(shù)列其前n項(xiàng)和1．等比數(shù)列的有關(guān)概念定：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一不為零，么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列這常叫做等比數(shù)列的公比常用字母q表定的表達(dá)式a為＝(∈，為非零常數(shù)．a(chǎn)n等中項(xiàng)：如果aGb成等比數(shù)列，那么做a與b的等比中項(xiàng)．即G是a與b的等比中項(xiàng)?，，成等比數(shù)?22．等比數(shù)列的有關(guān)公式通公式a＝q1.n1前和公式：Sn＝a1－nq1q1－3．等比數(shù)列的常用性質(zhì)

＝.通公式的推廣a＝·nm

nm

n，∈)．若＋＝＋＝k(m，，p，，∈*)，則aa＝a＝2.mnpqk(3)若列a，b項(xiàng)相同是等比數(shù)列，則λa}，2}，b}，n是等比數(shù)列．

(λ0)仍在比數(shù)列a中等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列aaannnkn

a2kn

…3為等比數(shù)列，公比為q

k

.4．在等比數(shù)a中，若S為前n項(xiàng)，則，S－，S也成等比數(shù)列n為偶nnn2nn3n2n數(shù)且＝－除外．概念方法微思考1．將一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)取倒，所得的數(shù)列還是一個(gè)等比數(shù)列嗎？若是，這兩個(gè)等比數(shù)列的公比有何關(guān)系？提示仍然是一個(gè)等比數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的公比互為倒數(shù)．8

n1nnnnnn25a12121235nn25n1nnnnnn25a12121235nn252．任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)？提示不是．只有同號的兩個(gè)非實(shí)數(shù)才有等比中項(xiàng)．3．“2＝”“，，”等比數(shù)列的什么條件？提示必要不充分條件．因?yàn)椋綍r(shí)一定有abc成比數(shù)列，比如＝＝c＝但，，成比數(shù)列一定b2

＝.題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢睗Ma＝qa(∈，為常數(shù)的列a為等比數(shù)列．()如數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)na是等差數(shù)列．)nna數(shù)a的通項(xiàng)公式a＝n，則其前項(xiàng)為＝)1－數(shù)a為等比數(shù)列則S，－，S－成比數(shù)列．()n488題組二教材改編12．已知a是等比數(shù)列a＝，＝，則比q______.43．公比不為1的比數(shù)列a滿足aa＋a＝，a＝，則m值為)n56471mA．．．D．題組三易錯自糾4．選已知數(shù)列a}等比數(shù)列，那么下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的()nA.nC．a(chǎn)＋}nn1

Blog22nD．a(chǎn)＋＋}nn1n2a－5．若，，，成差數(shù)列1bb，4成等比數(shù)列，則的為．b2S6．設(shè)為比數(shù)列a}前和，a＋＝，則＝________.S27．一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)毒開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存1MB，后每秒身復(fù)制一次，復(fù)9

nn134nn134制后所占內(nèi)存是原來的2倍那開秒該病毒占據(jù)內(nèi)存8GB.(1GB＝2

10MB)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算1．晉模設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列a的前n項(xiàng)為S，S＝，＝，公比q于nn24()A．B．C．D．2．全Ⅲ已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列a的4項(xiàng)為，a＝a＋a，則n531a等()3A．．C4D．33．全Ⅰ記為比數(shù)列a的前項(xiàng)，若a＝，＝，則＝________.44．全Ⅲ等比數(shù){中，＝，＝a.n153求a的通項(xiàng)公式；n記為a}的前n項(xiàng)，若＝，求nnm等比數(shù)列的判定與證明

nnnna－2nnnn1n1nn22222nnnna－2nnnn1n1nn222222n1n13nn6例1(2019·四省名校聯(lián)盟模擬)知數(shù)列a}的前n項(xiàng)和為S，且滿足2S＝＋n(n∈)．1求：數(shù)比列；求列a－的和T.nn跟蹤訓(xùn)練設(shè)列a}前和為S，知a＝，＝a＋設(shè)＝－a，證明：數(shù)是等比數(shù)列；nn1nn求列a的通項(xiàng)公式．n等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例黑江省大慶第一中學(xué)模)在項(xiàng)不為的等差數(shù)a中，a

2019

－22＋a＝，列b}是比數(shù)列，且＝，logbb)值為()A．．．D．春質(zhì)檢各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)a的前n項(xiàng)為S已S＝＝則nn69S＝________.31跟蹤訓(xùn)練2(1)(2019·徽省江淮十校月考已知等比數(shù)a}公比＝－，該列前2項(xiàng)的乘積為1，則a等()A．B．C．D．Sa已等比數(shù)a的前n項(xiàng)為，且＝則＝n≥，且n∈．S－nn1

n1n1nn1nn1n1nn1nnnpn1n1nn1nn1n1nn1nnnpnnn1n1nnn對于數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，除了我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的方法以外，根據(jù)所給遞推公式的特點(diǎn)，還有以下幾種構(gòu)造方式．構(gòu)造法形如a＝＋c≠，其中a＝)型若＝，列為等差數(shù)列；n若＝，數(shù)a為比數(shù)列；n若c≠且≠a為線性遞推數(shù)列項(xiàng)通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．n例在列a中，若a＝，＝a＋，通項(xiàng)a＝構(gòu)造法形如a＝＋·n1(≠0,1，≠型a＝＋·nn1n

1p0,1q≠的求解方法是兩端同時(shí)除以p

n

a1即得－＝則列pn1p差列．例已知正項(xiàng)數(shù)列a滿足＝，＝a＋n1

，則a等于)A．·2n

1

B(＋nC．·2n

1

D．n－1)·2漢市二中月考已知正項(xiàng)數(shù)列a}中，＝，＝a＋×nn1n1n項(xiàng)等()

，則數(shù)列a的通A．－×

n

1

B×n

1C．

n＋×n

1

D．

n

－×

n

1

n1nn112n11n2n1n112n33n1nn112n11n2n1n112n33n1nn1nn1n構(gòu)造法相鄰項(xiàng)的差為特殊數(shù)形如a＝＋，其＝，＝型可化為－a＝(a－a)，其中xx是程x2

－－＝的根．21例數(shù)a}，＝，＝，＝a＋a，求數(shù)列a}的通項(xiàng)公式．12n2n1nnpa構(gòu)造法倒數(shù)為特殊數(shù)列形如a＝型ra＋n1例已數(shù)列a中，＝，

2a＝，數(shù)列的項(xiàng)公式．a(chǎn)＋n1．韶模擬若比數(shù)列a的各項(xiàng)均為正數(shù)a＝a2＝a，a等()n2317533A.B.．D．482．等比數(shù)列a的前項(xiàng)為＝2n1nn

＋，r的為)111A.B－C.D．33993天津市河西區(qū)月設(shè)a}公比為q等比數(shù)列q>1”是“{}為遞增數(shù)列”nn的)A．分必要條件C充要條件

B必要不充分條件D．不分也不必要條件

6a6a4．已知遞增的等比數(shù){中a6，＋，＋，成差數(shù)列則該數(shù)列的前項(xiàng)n2123和等()189A．．C.D378165．永模擬設(shè)比數(shù)列a的公比為q，則下列結(jié)論正確的()nA．列aa是公比為q的比數(shù)列nn1B數(shù)a＋}是公比為q的比數(shù)列nn1C數(shù)a－}是公比為q的比數(shù)列nn1D．列比為的等比數(shù)列q6．若正項(xiàng)等比數(shù){滿足＝2nnnn1

(∈*)，a－的是)65A.C．

B－2D．27．多)等比數(shù)列中，＝，＝，則可為)n576A．C8

B12D．128(多選在等比數(shù)列a}公比為其項(xiàng)為T并滿足a1a·a－＞，nn199100a－99a－100

＜，列選項(xiàng)中，結(jié)論正確的()A．＜＜B．·a－＜99C．的值是T中最大的100nD．T＞成立的最大自然數(shù)n等198n9．已知等比數(shù)列a的前n