利用導(dǎo)函數(shù)畫函數(shù)圖像

本文格式為Word版，下載可任意編輯——利用導(dǎo)函數(shù)畫函數(shù)圖像本文介紹用查看函數(shù)圖像的方法來理解其在不成導(dǎo)點(diǎn)的極值狀況.函數(shù)；查看圖像；不成導(dǎo)點(diǎn)；極值在高等數(shù)學(xué)一元微積分的內(nèi)容里，函數(shù)在某x點(diǎn)的連續(xù)性、可導(dǎo)性和函數(shù)在該點(diǎn)是否存在極值這三者有如下結(jié)論，即函數(shù)在某x點(diǎn)不連續(xù)那么其在該點(diǎn)必不成導(dǎo)也無極值，因此本文僅就連續(xù)函數(shù)在不成導(dǎo)點(diǎn)的各種情形的極值狀況舉行探討解讀.

在高等數(shù)學(xué)教材中判斷函數(shù)在某x0點(diǎn)的極值狀況時(shí)，主要是根據(jù)函數(shù)在x0點(diǎn)兩側(cè)鄰近區(qū)域內(nèi)其導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)狀態(tài)來判斷函數(shù)在該x0點(diǎn)是否取得極值.又由于函數(shù)在某x點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值即為其曲線在該x點(diǎn)切線的斜率值，而某區(qū)間上函數(shù)在x點(diǎn)的極大（?。┲导礊楹瘮?shù)在該x點(diǎn)鄰域內(nèi)的最大（小）值，因此，根據(jù)導(dǎo)數(shù)理論和函數(shù)的極值概念，我們可以由函數(shù)曲線在不成導(dǎo)點(diǎn)x0兩側(cè)的切線與x軸的夾角處境，直觀地判斷出函數(shù)在x0點(diǎn)的極值狀況.下面用圖像舉行解讀.

一、x0點(diǎn)處左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)都存在但不相等的情形

根據(jù)導(dǎo)數(shù)理論，下面將由不成導(dǎo)點(diǎn)x0鄰域內(nèi)的、x0點(diǎn)左右鄰近切線斜率的狀況，直接在各圖中給出函數(shù)極值的解讀結(jié)果.

圖1中，函數(shù)在x0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在但不相等，即x0點(diǎn)是不成導(dǎo)點(diǎn)（f′（x0）不存在）.而由于在x0點(diǎn)鄰近的兩側(cè)，切線斜率的正負(fù)值呈現(xiàn)出“左正右負(fù)”狀態(tài)，故f（x0）為極大值.

圖2中，函數(shù)在x0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)也都存在但不相等，即x0點(diǎn)也是不成導(dǎo)點(diǎn).而由于在x0點(diǎn)鄰近的兩側(cè)，切線斜率的正負(fù)值呈現(xiàn)出“左負(fù)右正”狀態(tài)，故f（x0）為微小值.

圖3中，函數(shù)曲線在x0點(diǎn)的右側(cè)呈現(xiàn)直線外形，且函數(shù)在x0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)也都存在但不相等，即x0點(diǎn)是不成導(dǎo)點(diǎn).而由于在x0點(diǎn)鄰近的兩側(cè)，切線斜率的正負(fù)值呈現(xiàn)出“左正右負(fù)”狀態(tài)，故f（x0）是極大值.

圖4中，函數(shù)在x0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)亦都存在但不相等，即f′（x0）不存在.而由于在x0點(diǎn)鄰近的兩側(cè)，切線斜率的正負(fù)值呈現(xiàn)出“左負(fù)右也負(fù)”，即“同負(fù)值”狀態(tài)，故f（x0）不是極值.

下面各圖中，用圖1至圖四的分析方法，讀者可以自己得出圖中文字標(biāo)示的極值結(jié)論.

二、x0點(diǎn)處左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)中有一個(gè)不存在的情形

三、x0點(diǎn)處左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)都不存在的情形

在上面圖11、圖12中的x0點(diǎn)，函數(shù)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)均為無窮大（f′（x0-0）=∞、f′（x0+0）=∞），即該點(diǎn)是不成導(dǎo)點(diǎn)（f′（x0）=∞）.函數(shù)曲線的切線與x軸垂直，但在圖11的函數(shù)曲線上呈現(xiàn)出：x0點(diǎn)左側(cè)鄰近的切線斜率大于0，x0點(diǎn)右側(cè)鄰近的切線斜率小于0；故根據(jù)導(dǎo)數(shù)理論，f（x0）為函數(shù)的極大值；而在圖12中呈現(xiàn)出：x0點(diǎn)左側(cè)鄰近的切線斜率小于0，x0點(diǎn)右側(cè)鄰近的切線斜率大于0；故f（x0）為函數(shù)的微小值.

四、實(shí)例解讀

下面再舉兩個(gè)實(shí)例來說明不成導(dǎo)點(diǎn)處切線斜率與函數(shù)極值的關(guān)系.

例1求函數(shù)y2=x=-xx0xx≥0的極值.

由上面知，左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)均不存在，x=0是不成導(dǎo)點(diǎn).而由于在x=0點(diǎn)鄰近的兩側(cè)，切線斜率的正負(fù)值呈現(xiàn)出“左負(fù)右正”狀態(tài)，故f（0）=0=0為微小值.

例2、求函數(shù)y=sinxx≤π23π-2x2πx>π2的極值.

由上面知，左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)不相等，x=π2是不成導(dǎo)點(diǎn).而由于在x=π2點(diǎn)鄰近的兩側(cè)，切線斜率的正負(fù)值呈現(xiàn)出“左正右負(fù)”狀態(tài)，故fπ2=sinπ2=1為極大值.

在上面例一的求解中得到一個(gè)結(jié)論，即還可以直接利用不成導(dǎo)點(diǎn)處左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)正負(fù)符號(hào)是否一致，來判斷不成導(dǎo)點(diǎn)的極值狀況.如例一中，在不成導(dǎo)點(diǎn)處函數(shù)的左導(dǎo)數(shù)為負(fù)值而右導(dǎo)數(shù)為正值，故可以判斷例一中不成導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值為微小值.但假設(shè)在不成導(dǎo)點(diǎn)處，左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)中有一個(gè)值為0，那么不能根據(jù)不成導(dǎo)點(diǎn)處左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)正負(fù)符號(hào)的異同來判斷不成導(dǎo)點(diǎn)的極值狀況，這時(shí)需根據(jù)函數(shù)在x0點(diǎn)兩側(cè)鄰近區(qū)域內(nèi)其導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)狀態(tài)，來判斷該x0點(diǎn)是函數(shù)的什么極值點(diǎn).如例二的解答即說明這一點(diǎn).

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