人教版初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識史上歸納

七年級

第一章有理數(shù)

1、有理數(shù):整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。有理數(shù)包括有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。

整數(shù):正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)；分?jǐn)?shù):正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)。

2、數(shù)軸:⑴四要素:直線、原點、正方向、單位長度。⑵正數(shù)在原點的右邊，負(fù)數(shù)在原點的左邊，數(shù)軸上右

邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)。

3、相反數(shù):只有符號相同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。⑴如果a、b互為相反數(shù)，那么a+b=0。⑵互為相反

數(shù)的兩數(shù)位于數(shù)軸上原點的兩側(cè)，且到原點的距離相等。

4、絕對值:表示數(shù)a的點與原點的距離叫數(shù)a的絕對值。⑴正數(shù)的絕對值就是它本身;負(fù)數(shù)的絕對值就是

它的相反數(shù);0的絕對值就是0。(2)兩個負(fù)數(shù),絕對值大的反而小。

5、有理數(shù)的加法法則:①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互

為相反數(shù)的兩個數(shù)相加與為0o③一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)。

④運算律:交換律a+b=b+a。結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)。

6、有理數(shù)的減法法則:減去一個數(shù),等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

7、化簡規(guī)則:①同號結(jié)合;②同分母的結(jié)合;③互為相反數(shù)的結(jié)合;④湊整結(jié)合。

8、乘法法則:①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。

②任何數(shù)同0相乘，都得0o③乘積就是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

④幾個不為0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)就是偶數(shù)時，積就是正數(shù);負(fù)因數(shù)的個數(shù)就是奇數(shù)時,積就是負(fù)數(shù)。

⑤運算律:交換律ab=ba;結(jié)合律(ab)c=a(bc);分配律a(b+c)=ab+aco

9、除法法則：①除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。②兩數(shù)相除洞號得正，異號得負(fù)，并

把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。

10、有理數(shù)的乘方:屋中,a叫底數(shù),n叫指數(shù)，整個結(jié)果叫痔。

①負(fù)數(shù)的奇次塞就是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕就是正數(shù)。

②正數(shù)的任何次塞都就是正數(shù),0的任何正整數(shù)次幕都就是0、

11、運算順序：①先乘方,再乘除，最后加減。②同級運算，從左到右進(jìn)行。

③有括號，先算括號里的，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行。

12、科學(xué)計數(shù)法:axl0"」Wa<10,n就是整數(shù)。如果大于10再比整數(shù)位小一;如果就是小于1的小數(shù)，從左

數(shù)第一個不為零的數(shù)前面有幾個零,n就就是負(fù)幾次方。

13、有效數(shù)字:從一個數(shù)的左邊第一個不為零的數(shù)字起，到末尾數(shù)字止,所有的數(shù)字都就是這個數(shù)的有效數(shù)

字。

第二章整式加減

1、整式:⑴單項式:只含有數(shù)或字母的積的式子叫單項式。（單獨一個字母或數(shù)字也就是單項式）；系數(shù):

單項式中的數(shù)字因數(shù)；次數(shù):單項式中,所有字母的指數(shù)與。

⑵多項式:①項:每一個單項式（注意帶符號）。②次數(shù):多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)。

2、同類項:所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的項。

3、合并同類項:系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變。

第三章一元一次方程

1、等式的性質(zhì)一:等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子）,結(jié)果仍相等。

等式的性質(zhì)二:等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù),結(jié)果仍相等。

2、一元一次方程的解法:去分母T去括號T移項T合并同類項一系數(shù)化為一。

注意:①去分母:兩邊同乘分母的最小公倍時,每一項都不能漏乘。

②去括號：“去正不變,去負(fù)全變”。

③移項:就是從等號一端移到另一端，移項要變號。

④合并同類項:系數(shù)相加減做系數(shù)，字母與字母的指數(shù)不變。

⑤系數(shù)化為一

3、一元一次方程的解的討論:ax=b①當(dāng)ar0時，方程有唯一解為x=-

a

②當(dāng)a=0而b=0時，方程有無數(shù)個解。③當(dāng)a=0而brO時,方程沒有解。

第四章圖形的認(rèn)識

1、直線、射線、線段:

①兩點確定一條直線。②兩點之間線段最短。③線段的比較:度量法與疊合法。

④兩點間的距離:連接兩點間線段的長度。⑤線段中點:將線段平均分成兩部分

2、2、角:①有公共端點的兩條射線組成的圖形叫角。

②角的換算：1周角=360。；1平角=90°;1°=60';1'=60"。③角的比較:度量法與疊合法。

④角的運算:加減乘除;度與度相運算，分與分相運算，秒與秒相運算。

⑤余角與補角:A、B互余一A+B=90°;A、B互補-A+B=180°。等角的補角相等，等角的余角相等。

⑥角平分線:將角平均分成兩份,畫法:尺規(guī)作圖或量角器。

第五章相交線與平行線

1、三線八角:對頂角（相等）,鄰補角（互補），同位角,內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角。

2、垂直的性質(zhì):過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

3、垂線段最短。

4、點到直線的距離:直線外一點到這條直線的垂線段的長度。

5、平行公理:經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

推論:如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。

6、平行線的判定：

①同位角相等，兩直線平行。②內(nèi)錯角相等，兩直線平行。③同旁內(nèi)角互補,兩直線平行。

推論:垂直于同一直線的兩直線互相平行。

7、平行線的性質(zhì)：

①兩直線平行，同位角相等;②兩直線平行，內(nèi)錯角相等;③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

8、平移:①平移前后的兩個圖形形狀大小不變，位置改變。②對應(yīng)點的線段平行且相等。

9、命題分為題設(shè)與結(jié)論兩部分;題設(shè)就是如果后面的，結(jié)論就是那么后面的。

命題分為真命題與假命題兩種;定理就是經(jīng)過推理證實的真命題。

第六章平面直角坐標(biāo)系

1、對應(yīng)關(guān)系:平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)。

2、平面內(nèi)兩條互相垂直、原點重合組成的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。

水平的數(shù)軸稱為X軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向;

豎直的數(shù)軸為y軸或縱軸，取向上為正方向;

兩個坐標(biāo)軸的交點為平面直角坐標(biāo)系的原點。

3、各象限點的坐標(biāo)符號：(注意:坐標(biāo)軸上的點不屬于任何一個象限)

Q4、特征坐標(biāo)：

:x軸上一縱坐標(biāo)為0;y軸上一橫坐標(biāo)為0;

第二象限，一第二象限，〉一三象限夾角平分線上一橫縱坐標(biāo)相等;

0?X

(一,+)(+,+).二四象限夾角平分線上一橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

-5、對稱規(guī)律：

關(guān)于x軸對稱一橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù);

第三象限第四象限關(guān)于y軸對稱一橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變;

(+—)關(guān)于原點對稱一橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。

6、平移規(guī)律:左右平移一縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)左減右加;上下平移一橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加下減。

第七章三角形

1、三邊關(guān)系:兩邊之與大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

2、三條重要的線段：

高:過頂點作對應(yīng)邊的垂線段

中線:連接頂點與對應(yīng)底邊中點的線段

角平分線:角的平分線與對應(yīng)邊相交所得的線段

3、三角形的內(nèi)角與等于180°,外角與等于360°、

4、三角形的外角:三角形的一個外角等于與她不相鄰的兩個內(nèi)角的與。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。

5、多邊形的內(nèi)角與等于5-2)x180。,多邊形的外角與就是360°。

n(n-3)

6、多邊形的對角線:過一個頂點可作(n—3)條，共有——條。

7、平面鑲嵌:在一個頂點處的各角與為360度。

單獨可鑲:正三角形,正方形，正六邊形。

兩種組合鑲嵌:邊數(shù)成倍數(shù)關(guān)系

第八章二元一次方程組

1、二元一次方程:兩個未知數(shù)，所含未知數(shù)的項的次數(shù)都就是1

2、二元一次方程組:兩個未知數(shù)相同的二元一次方程組合在一起

3、二元一次方程組的解法：

①代入消元法:由二元一次方程組中一個方程，將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代

入另一個方程，實現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個二元一次方程組的解。

②加減消元法:兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相

減，就能消去這個未知數(shù)得到一個一元一次方程，再求解。

③消常數(shù)法:當(dāng)兩個方程的常數(shù)項相同或相反時，把這兩個方程相減或相加，消去常數(shù)彳導(dǎo)出兩個未知數(shù)間

的關(guān)系，再代入其中一個方程求解。

4、二元一次方程組的解:同時滿足這兩個方程的一組未知數(shù)的值。

5、實際應(yīng)用:審題一設(shè)未知數(shù)T列方程組一解方程組T檢驗T作答。

第九章不等式與不等式組

1、不等式:含有">"、“<”、“2"、“W”、“的式子

2、一元一次不等式:一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)就是1的不等式

3、不等式的性質(zhì)：

①不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子）,不等號的方向改變。

②不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù),不等號的方向不變。

③不等式兩邊乘（或除以）同一負(fù)數(shù),不等號的方向改變。

4、不等式的解法:同一元一次方程一樣，注意符號與不等號方向。

5、不等式組的解：“大大取大”，“小小取小”，“大小小大取中間”，“大大小小就是無解”。

第十章數(shù)據(jù)的收集、整理與描述

1、數(shù)據(jù)處理一般包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)與分析數(shù)據(jù)等過程。

⑴通過調(diào)查收集數(shù)據(jù)的一般步驟：

①明確調(diào)查問題②確定調(diào)查對象③選擇調(diào)查方法④展開調(diào)查⑤記錄結(jié)果⑥得出結(jié)論

⑵收集數(shù)據(jù)常用的方法:①民意調(diào)查:如投票選舉②實地調(diào)查:如現(xiàn)場進(jìn)行觀察、收集、統(tǒng)計數(shù)據(jù)③媒

體調(diào)查:報紙、電視、電話、網(wǎng)絡(luò)等調(diào)查都就是媒體調(diào)查。

2、數(shù)據(jù)的表示方法：

⑴統(tǒng)計表:直觀地反映數(shù)據(jù)的分布規(guī)律(2)折線圖:反映數(shù)據(jù)的變化趨勢

(3)條形圖:反映每個項目的具體數(shù)據(jù)(4)扇形圖:反映各部分在總體中所占的百分比

(5)頻數(shù)分布直方圖:直觀形象地反映頻數(shù)分布情況6)頻數(shù)分布折線圖:在頻數(shù)分布直方圖的基礎(chǔ)上，取

每一個長方形上邊的中點,與左右頻數(shù)為零與直方圖相距半個組距的兩個點

3、調(diào)查方式:⑴全面調(diào)查，優(yōu)點就是可靠,、真實;⑵抽樣調(diào)查，優(yōu)點就是省時、省力,減少破壞性;隨機抽樣調(diào)

查具有廣泛性與代表性。。

4、總體與樣本:⑴總體:要考察的所有對象⑵個體:組成總體的每一個考察對象

(3)樣本:從總體中抽出的所有實際被調(diào)查的對象組成一個樣本。

⑷樣本容量:樣本中給個體的數(shù)目

5、組距:每個小組兩個端點之間的距離

6、畫直方圖的一般步驟：

⑴計算最大值與最小值的差；

⑵決定組距與組數(shù)，先根據(jù)數(shù)據(jù)個數(shù)確定組距，再計算組數(shù)，

注意無論整除與否，組數(shù)總就是比商的整數(shù)位數(shù)多1；

(3)確定分點，并分組；

⑷列頻數(shù)分布表；⑸繪制頻數(shù)分布直方圖

八年級

第十一章全等三角形

1.全等三角形的性質(zhì):全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。

2.全等三角形的判定:三邊相等(SSS)、兩邊與它們的夾角相等(SAS)、兩角與它們的夾邊(ASA)、兩角與其

中一角的對邊對應(yīng)相等(AAS)、斜邊與直角邊相等的兩直角三角形(HL)。

3.角平分線的性質(zhì):角平分線平分這個角，角平分線上的點到角兩邊的距離相等

4.角平分線推論:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在叫的平分線上。

5.證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟:①、確定已知條件(包括隱含條件,

如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系)，②、回顧三角

形判定，搞清我們還需要什么，③、正確地書寫證明格式(順序與對應(yīng)關(guān)系從已知推導(dǎo)出要證明的問題)、

第十二章軸對稱

1.如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫做軸對稱圖形;這條直

線叫做對稱軸。

2.軸對稱圖形的對稱軸，就是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。

3.角平分線上的點到角兩邊距離相等。

4.線段垂直平分線上的任意一點到線段兩個端點的距離相等。

5.與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

6.軸對稱圖形上對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。

7.畫一圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形的步驟:找到關(guān)鍵點,畫出關(guān)鍵點的對應(yīng)點，按照原圖順序依次連接

各點。

8?點(x,y)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(x,-y)

點(x,y)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為(-x,y)

點(x,y)關(guān)于原點軸對稱的點的坐標(biāo)為(-x,-y)

9.等腰三角形的性質(zhì):等腰三角形的兩個底角相等,(等邊對等角)

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合,簡稱為“三線合一工

10.等腰三角形的判定:等角對等邊。

1L等邊三角形的三個內(nèi)角相等，等于60°,

12等.邊三角形的判定：三個角都相等的三角形就是等腰三角形。

有一個角就是60°的等腰三角形就是等邊三角形

有兩個角就是60°的三角形就是等邊三角形。

13.直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

14.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

第十三章實數(shù)

※算術(shù)平方根:一般地,如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a，那么正數(shù)x叫做a的算術(shù)乎方根，記作，?。0

的算術(shù)平方根為0;從定義可知,只有當(dāng)a>0時,a才有算術(shù)平方根。

※平方根:一般地，如果一個數(shù)x的平方根等于a,即x2=a,那么數(shù)x就叫做a的平方根。

※正數(shù)有兩個平方根（一正一負(fù)）它們互為相反數(shù);0只有一個平方根，就就是它本身;負(fù)數(shù)沒有平方根。

※正數(shù)的立方根就是正數(shù);0的立方根就是0；負(fù)數(shù)的立方根就是負(fù)數(shù)。

整數(shù)J鬻°L2,3…)

［負(fù)整數(shù)(一1,—2,一3…)

數(shù)有理數(shù)正分?jǐn)?shù)（L2…）（整數(shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)）a的相反數(shù)就是-a,一個

分?jǐn)?shù)（小數(shù)>23

實數(shù)■負(fù)分?jǐn)?shù)（_；,正實數(shù)的絕對值就是它本身，一個負(fù)數(shù)的絕對值就是它的

相反數(shù),0的絕對值就是0

正有理數(shù)

無理數(shù)（無限不循環(huán)小麴

負(fù)有理數(shù)

=4ab（a>Q,b>6）^(a>0,b>Q)

第十四章一次函數(shù)

1.畫函數(shù)圖象的一般步驟:一、列表（一次函數(shù)只用列出兩個點即可，其她函數(shù)一般需要列出5個以上的點,

所列點就是自變量與其對應(yīng)的函數(shù)值），二、描點（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)函數(shù)的值為

縱坐標(biāo)，描出表格中的個點，一般畫一次函數(shù)只用兩點），三、連線（依次用平滑曲線連接各點）。

2.根據(jù)題意寫出函數(shù)解析式:關(guān)鍵找到函數(shù)與自變量之間的等量關(guān)系，列出等式，既函數(shù)解析式。

3.若兩個變量x,y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（kr0）的形式，則稱y就是x的一次函數(shù)（x為自變量,y為因

變量）。特別地，當(dāng)b=0時，稱y就是x的正比例函數(shù)。

^（2）p->0（1）

k>3）k<0,6=0（2）

4正唯盲象就是經(jīng)過原點。（1）幡。條置或。

5.正比列函數(shù)y=kx（kr0）的圖象就是一條經(jīng)過原點的直線，當(dāng)k>0時直線y=kx經(jīng)過第一、三象限,y隨x

的增大而增大，當(dāng)k<0時，直線y=kx經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減小，在一次函數(shù)y=kx+b中：當(dāng)

k>0時,y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時,y隨x的增大而減小。

6.已知兩點坐標(biāo)求函數(shù)解析式（待定系數(shù)法求函數(shù)解析式）：

把兩點帶入函數(shù)一般式列出方程組

求出待定系數(shù)

把待定系數(shù)值再帶入函數(shù)一般式猾到函數(shù)解析式

7.會從函數(shù)圖象上找到一元一次方程的解（既與x軸的交點坐標(biāo)橫坐標(biāo)值），一元一次不等式的解集,二元一

次方程組的解（既兩函數(shù)直線交點坐標(biāo)值）

第十五章整式的乘除與因式分解

1.同底數(shù)得的乘法

※同底數(shù)哥的乘法法則：都就是正數(shù)）就是基的運算中最基本的法則,在應(yīng)用法則運算時,

要注意以下幾點：

①法則使用的前提條件就是:募的底數(shù)相同而且就是相乘時，底數(shù)a可以就是一個具體的數(shù)字式字母，也可

以就是一個單項或多項式；

②指數(shù)就是1時，不要誤以為沒有指數(shù)；

③不要將同底數(shù)哥的乘法與整式的加法相混淆,對乘法，只要底數(shù)相同指數(shù)就可以相加;而對于加法,不僅底

數(shù)相同，還要求指數(shù)相同才能相加；

④當(dāng)三個或三個以上同底數(shù)募相乘時,法則可推廣為優(yōu),（其中m、n、p均為正數(shù)）；

⑤公式還可以逆用:優(yōu)"+"=a?a"（m、n均為正整數(shù)）

2.塞的乘方與積的乘方

※入幕的乘方法則：3'"）"="""（m,n都就是正數(shù)）就是幕的乘法法則為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的，但兩者不能混淆、

2=3"）"'="""（加，〃都為正數(shù)）、

派3、底數(shù)有負(fù)號時，運算時要注意，底數(shù)就是a與（㈤時不就是同底，但可以利用乘方法則化成同底，

如將Gap化成-a3

優(yōu)（當(dāng)"為偶數(shù)時），

一般地,(—a)"=<

-a"（當(dāng)〃為奇數(shù)時）.

派4.底數(shù)有時形式不同，但可以化成相同。

派5.要注意區(qū)別（ab1與（a+b）■'意義就是不同的，不要誤以為（a+b）”=an+b"（a、b均不為零）。

派6.積的乘方法則:積的乘方，等于把積每一個因式分別乘方，再把所得的福相乘，即（"）"="*"（n為正整

數(shù)）。

※彳.騫的乘方與積乘方法則均可逆向運用。

3、整式的乘法

※⑴、單項式乘法法則:單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字

母,連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點：

①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號，再計算絕對值。這時容易出現(xiàn)的錯誤的就是，將系數(shù)相乘與指

數(shù)相加混淆；

②相同字母相乘，運用同底數(shù)的乘法法則；

③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個因式；

④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；

⑤單項式乘以單項式，結(jié)果仍就是一個單項式。

※⑵.單項式與多項式相乘

單項式乘以多項式，就是通過乘法對加法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘,

就就是用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的積相加。

單項式與多項式相乘時要注意以下幾點：

①單項式與多項式相乘，積就是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同；

②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；

③在混合運算時，要注意運算順序。

※⑶.多項式與多項式相乘

多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項,再把所得的積相加。

多項式與多項式相乘時要注意以下幾點：

①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法就是:在沒有合并同類項之前,積的項數(shù)應(yīng)等于原兩個多項

式項數(shù)的積；

②多項式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項；

③對含有同一個字母的一次項系數(shù)就是1的兩個一次二項式相乘（》+編出+加=/+（。+勿》+外,其二次

項系數(shù)為1,一次項系數(shù)等于兩個因式中常數(shù)項的與，常數(shù)項就是兩個因式中常數(shù)項的積。對于一次項系數(shù)

不為1的兩個一次二項式（mx+a）與（nx+b）相乘可以得（如+減心+份=32+。泌+/m）x+"

4.平方差公式

.平方差公式:兩數(shù)與與這兩數(shù)差的積,等于它們的平方差，

gp（a+h^a-b）=cr-b'。

。其結(jié)構(gòu)特征就是：

①公式左邊就是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數(shù)；

②公式右邊就是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。

5.完全平方公式

01.完全平方公式:兩數(shù)與（或差）的平方，等于它們的平方與，加上（或減去）它們的積的2倍,

Qgp（a±Z?）2=a~±2ab+b2.

0口決:首平方，尾平方,2倍乘積在中央;

Q2.結(jié)構(gòu)特征:

①公式左邊就是二項式的完全平方;

②公式右邊共有三項，就是二項式中二項的平方與,再加上或減去這兩項乘積的2倍。

。3.在運用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號,以及避免出現(xiàn)這樣的錯誤。

添括號法則:添正不變號,添負(fù)各項變號，去括號法則同樣

6、同底數(shù)騫的除法

※人同底數(shù)得的除法法則:同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即廢；=優(yōu)"一"（aWO,m、n都就是正數(shù),

且m>n）、

派2、在應(yīng)用時需要注意以下幾點:

①法則使用的前提條件就是“同底數(shù)幕相除”而且0不能做除數(shù)，所以法則中a*0、

②任何不等于0的數(shù)的0次鬲等于1,即“。=1（"①加10°=1,（-2、5。=1）,則0。無意義、

ap=—

③任何不等于0的數(shù)的一p次鬲（p就是正整數(shù)），等于這個數(shù)的p的次痔的倒數(shù)，即ap（aW0,p就是正整

數(shù)），而0」O,都就是無意義的;當(dāng)a>0時,武的值一定就是正的；當(dāng)a<0時,爐的值可能就是正也可能就是負(fù)的,

,1,1

（-2尸=了（—2）-3

如4,8

④運算要注意運算順序、

7.整式的除法

Q1.單項式除法單項式

單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)福分別相除,作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作

為商的一個因式；

。2.多項式除以單項式

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，其特點就是把多項式除以單

項式轉(zhuǎn)化成單項式除以單項式，所得商的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同，另外還要特別注意符號。

8、分解因式

※又把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解國式、

派2、因式分解與整式乘法就是互逆關(guān)系、

因式分解與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系：

⑴整式乘法就是把幾個整式相乘，化為一個多項式；

⑵因式分解就是把一個多項式化為幾個因式相乘、

分解因式的一般方法：

1、提公共因式法

※人如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式

乘積的形式、這種分解因式的方法叫做提公國式法、

如：ab+ac-a(b+c)

派2、概念內(nèi)涵：

⑴因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)就是“積”；

⑵公因式可能就是單項式,也可能就是多項式；

(3)提公因式法的理論依據(jù)就是乘法對加法的分配律，即：ma+mb-mc=m(a+b-c)

派3、易錯點點評：

⑴注意項的符號與籍指數(shù)就是否搞錯；

⑵公因式就是否提“干凈”；

(3)多項式中某一項恰為公因式，提出后，括號中這一項為+1,不漏掉、

2、運用公式法

XI、如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式、這種分解因式的方法叫做運用公式法、

派2、主要公式：

(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)

⑵完全平方公式：?2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

?3、易錯點點評：

因式分解要分解到底、如--V=(/+y2MV_y2)就沒有分解到底、

XT運用公式法：

⑴平方差公式：

①應(yīng)就是二項式或視作二項式的多項式；

②二項式的每項(不含符號)都就是一個單項式(或多項式)的平方；

③二項就是異號、

⑵完全平方公式：

①應(yīng)就是三項式；

②其中兩項同號，且各為一整式的平方；

③還有一項可正負(fù)，且它就是前兩項籍的底數(shù)乘積的2倍、

3、因式分解的思路與解題步驟：

⑴先瞧各項有沒有公因式，若有，則先提取公因式；

⑵再瞧能否使用公式法；

(3)用分組分解法，即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達(dá)到分解的目的;

(4)因式分解的最后結(jié)果必須就是幾個整式的乘積，否則不就是因式分解；

⑸因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止、

4.分組分解法：

※八分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法、

如:am+an+bm+hn-a(m+/?)+b(m+〃)=(〃+Z?)(m+n)

派2、概念內(nèi)涵：

分組分解法的關(guān)鍵就是如何分組，要嘗試通過分組后就是否有公因式可提，并且可繼續(xù)分解,分組后就是否

可利用公式法繼續(xù)分解因式、

冰3、注意：分組時要注意符號的變化、

5、十字相乘法：

※人對于二次三項式+將a與c分別分解成兩個因數(shù)的乘積,a=且滿足

。=〃臼+生6,往往寫成電的形式，將二次三項式進(jìn)行分解、

1

如：ax+bx+c=(atx+ct)(a2x+c2)

派2、二次三項式f+px+4的分解：

p-a+hq—ah1\/ax~+px+q-(x+?)(x+A>)

1人b

派3、規(guī)律內(nèi)涵：

⑴理解:把f+px+q分解因式時，如果常數(shù)項q就是正數(shù)，那么把它分解成兩個同號因數(shù)，它們的符號與一

次項系數(shù)P的符號相同、

⑵如果常數(shù)項q就是負(fù)數(shù)，那么把它分解成兩個異號因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)p的符號

相同,對于分解的兩個因數(shù)，還要瞧它們的與就是不就是等于一次項系數(shù)P、

※爾易錯點點評：

⑴十字相乘法在對系數(shù)分解時易出錯；

⑵分解的結(jié)果與原式不等，這時通常采用多項式乘法還原后檢驗分解的就是否正確、

AAC

第十六章分式B=FC

A

1.分式的定義:如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子?叫做分式。

B

AA—C

分式有意義的條件就是分母不為零，分式值為零的條件分子為零且分母不為零弓=片

BB+C

2、分式的基本性質(zhì):分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式，分式的值不變。

ac_acac_ad_ad

(CwO)bdbdbdbehe

3、分式的通分與約分:關(guān)鍵先就是分解因式

4、分式的運算：

分式乘法法則:分式乘分式用分子的積作為積的分子,分母的積作為分母。

分式除法法則:分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

分式乘方法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方。旦±2=55±5=普±*=竺宇

cccbabababa

分式的加減法則:同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜?/p>

分式，然后再加減

混合運算:運算順序與以前一樣。能用運算率簡算的可用運算率簡算。

5、任何一個不等于零的數(shù)的零次哥等于1,即a。=l(aNO);當(dāng)n為正整數(shù)時,"-"=口(。#0)

a

6、正整數(shù)指數(shù)羯運算性質(zhì)也可以推廣到整數(shù)指數(shù)哥.(m,n就是整數(shù))

⑴同底數(shù)的鬲的乘法:

(2)募的乘方：(/)"=4;

(3)積的乘方：(4)"=anbn-

⑷同底數(shù)的鬲的除法:優(yōu)"十優(yōu)=a"'-"(aW0);

(5)商的乘方：G)"=20；(brO)

bb

7、分式方程:含分式,并且分母中含未知數(shù)的方程一一分式方程。

解分式方程的過程，實質(zhì)上就是將方程兩邊同乘以一個整式(最簡公分母)，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。

解分式方程時，方程兩邊同乘以最簡公分母時,最簡公分母有可能為0，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一

定要驗根。

解分式方程的步驟：

⑴能化簡的先化簡⑵方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程;(3)解整式方程;(4)驗根.

增根應(yīng)滿足兩個條件:一就是其值應(yīng)使最簡公分母為0,二就是其值應(yīng)就是去分母后所的整式方程的根。

分式方程檢驗方法:將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解就是原

分式方程的解;否則，這個解不就是原分式方程的解。

列方程應(yīng)用題的步驟就是什么？⑴審;(2)設(shè);(3)列;(4)解;(5)答.

應(yīng)用題有幾種類型;基本公式就是什么？基本上有五種:⑴行程問題:基本公式:路程=速度X時間而行程問

題中又分相遇問題、追及問題.(2)數(shù)字問題在數(shù)字問題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法.(3)工程問題基本公

式:工作量=工時X工效.(4)順?biāo)嫠畣栴}v順?biāo)?v靜水+v水.V逆水二V靜水水.

8、科學(xué)記數(shù)法:把一個數(shù)表示成axlO"的形式(其中l(wèi)<a<10,n就是整數(shù))的記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法.

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于10的n位整數(shù)時，其中10的指數(shù)就是〃-1

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的正小數(shù)時，其中10的指數(shù)就是第一個非0數(shù)字前面0的彳、數(shù)(包括勺數(shù)

點前面的一個0)在冷

第十七章反比例函數(shù)1J。

k1

1、定義形如y=￡(k為常數(shù),kro)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其她形式xy=ky=kx'y^k-

XX

2、圖像:反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線。反比例函數(shù)的圖象既就是軸對稱圖形又就是中心對稱圖形。有

兩條對稱軸:直線y=x與y=-x。對稱中心就是:原點

3、性質(zhì):當(dāng)k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限在每個象限內(nèi)y值隨x值的增2M示；

當(dāng)kVO時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大贏落二

4、|k|的幾何意義:表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。

5、反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個點，正k落在一三限,x增大y在減，圖象上面任意點，矩形面積都不變,

對稱軸就是角分線x、y的順序可交換。

1、反比例函數(shù)的概念

k

一般地，函數(shù)y=￡(k就是常數(shù),kw0)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成y=kx'的形式。

X

自變量X的取值范圍就是XH0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也就是一切非零實數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像就是雙曲線，它有兩個分支,這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)

于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量XRO,函數(shù)y00,所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線

的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例卜

,=_（心0）

函數(shù)x

k的符

k>0k<0

①x的取值范圍就是xXO,①x的取值范圍就是xHO,

y的取值范圍就是yHO;y的取值范圍就是y#0;

性質(zhì)②當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別②當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別

在第一、三象限。在每個象限內(nèi),y在第二、四象限。在每個象限內(nèi),y

隨X的增大而減小。隨x的增大而增大。

4、反比例函數(shù)解析式的確定

確定及談就是的方法仍就是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y--中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對

X

對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值,從而確定其解析式。

5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

如下圖，過反比例函數(shù)y=人伙w0）圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM,PN廁所得的矩形PMON的面

X

積S=PM?PN=N?N=Ml。

y=xy=k,S=\k\Q

第十七章反比例函數(shù)

kI

1、定義:形如y=—（k為常數(shù),krO）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其她形式xy=ky=kx'y=k-

xx

2、圖像:反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線。反比例函數(shù)的圖象既就是軸對稱圖形又就是中心對稱圖形。有

兩條對稱軸:直線y=x與y=-x。對稱中心就是:原點

3、性質(zhì):當(dāng)k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小;

當(dāng)kVO時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大。

4、|k|的幾何意義:表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。

二次根式知識點歸納

定義：一般的，式子?（a注0）叫做二次根式。其中“V”叫做一次根號，

二次根號卜.的a叫做被開方數(shù).

性質(zhì)：1、|《（a.0）是一個羋負(fù)數(shù).即G蜜

2、|G~=|a|即］aNO,等于a;a<0.等于-a

3'（G=a（a>0）?

4>|&?-IL=?/HE.b》0)|

反過來：|〃(a》O,b》0)|

5、%=聆<a>0,b>0)

第十八章勾股定理

1、勾股定理:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2o

2、勾股定理逆定理:如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2。，那么這個三角形就是直角三角形。

3、經(jīng)過證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理。

我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的

逆命題。（例:勾股定理與勾股定理逆定理）同------------7?AB皿皿，BC

1\/AB=CD;AD=BC

4、直角三角形的性質(zhì)J、\"含F(xiàn)公"

⑴、直角三角形的兩個銳角互余?？杀硎救缦?NC=90°=>ZA+ZB=90o

（2）、在直角三角形中,30,角所對的直角邊等于斜邊的一半。

NA=30°

可表示如下：=>BC=-AB

2

ZC=90°

（3）、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

ZACB=90°]

可表示如下：J=CD=；AB=BD=AD

D為AB的中點

5、攝影定理

在直角三角形中,斜邊上的高線就是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊就是它們在斜邊上

的攝影與斜邊的比例中項

ZACB=90"]「CD2=AD*BD

AY

NAC2=AD?ABJ1

CD1ABBC2=BD?AB

6、常用關(guān)系式

由三角形面積公式可得:AB?CD=AC?BC

7、直角三角形的判定

1、有一個角就是直角的三角形就是直角三角形。

2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形就是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系標(biāo)+從=02,那么這個三角形就是直角三角

形。

8、命題、定理、證明

1、命題的概念

判斷一件事情的語句，叫做命題。

理解:命題的定義包括兩層含義：

⑴命題必須就是個完整的句子；

⑵這個句子必須對某件事情做出判斷。

2、命題的分類（按正確、錯誤與否分）

真命題（正確的命題）

命題

假命題(錯誤的命題)

所謂正確的命題就就是:如果題設(shè)成立,那么結(jié)論一定成立的命題。

所謂錯誤的命題就就是:如果題設(shè)成立,不能證明結(jié)論總就是成立的命題。

3、公理

人們在長期實踐中總結(jié)出來的得到人們公認(rèn)的真命題，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。

5、證明

判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。

6、證明的一般步驟

⑴根據(jù)題意，畫出圖形。

⑵根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出已知、求證。

(3)經(jīng)過分析,找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。

9、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

⑴三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。

⑵要會區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關(guān)系:可以證明兩條直線平行。

數(shù)量關(guān)系:可以證明線段的倍分關(guān)系。

常用結(jié)論:任一個三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結(jié)論2:三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

結(jié)論3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結(jié)論4:三角形一條中線與與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

10數(shù)學(xué)口訣、

平方差公式:平方差公式有兩項，符號相反切記牢，首加尾乘首減尾，莫與完全公式相混淆。

完全平方公式:完全平方有三項，首尾符號就是同鄉(xiāng)，首平方、尾平方，首尾二倍放中央;首土尾括號帶平方,

尾項符號隨中央。

第十九章四邊形

平行四邊形定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

平行四邊形的性質(zhì):平行四邊形的對邊相等;平行四邊形的對角相等。平行四邊形的對角線互相平分。

平行四邊形的判定1、兩組對邊分別相等的四邊形就是平行四邊形

2、對角線互相平分的四邊形就是平行四邊形；A

3、兩組對角分別相等的四邊形就是平行四邊形；

4、一組對邊平行且相等的四邊形就是平行四邊形。B/7c

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

矩形的定義:有一個角就是直角的平行四邊形。

矩形的性質(zhì)：矩形的四個角都就是直角;矩形的對角線平分且相等。AC=BDA/T-

矩形判定定理：1、有一個角就是直角的平行四邊形叫做矩形。2、對角線相等的平行四邊形就是阿步乙依/

3、有三個角就是直角的四邊形就是矩形。

菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形。

菱形的性質(zhì):菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

菱形的判定定理：1、一組鄰邊相等的平行四邊形就是菱形。2、對角線互相垂直的平行四邊形就是存脛一-,D

3、四條邊相等的四邊形就是菱形。S菱形=l/2Xab（a、b為兩條對角線）\/

正方形定義:一個角就是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。J/\lc

正方形的性質(zhì):四條邊都相等,四個角都就是直角。正方形既就是矩形,又就是菱形。

正方形判定定理：1、鄰邊相等的矩形就是正方形。2、有一個角就是直角的菱形就辭正方形。

梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯胱—

直角梯形的定義:有一個角就是直角的梯形

等腰梯形的定義:兩腰相等的梯形。

等腰梯形的性質(zhì):等腰梯形同一底邊上的兩個角相等;等腰梯形的兩條對角線相等。

等腰梯形判定定理:同一底上兩個角相等的梯形就是等腰梯形。

解梯形問題常用的輔助線:如圖

線段的重心就就是線段的中點。平行四邊形的重心就是它的兩條對角線的交點。三角形的三條中線交于疑點，這一點

就就是三角形的重心。寬與長的比就是七一(約為0、618)的矩形叫做黃金矩形。

第二十章數(shù)據(jù)的分析

1、加權(quán)平均數(shù):加權(quán)平均數(shù)的計算公式。權(quán)的理解:反映了某個數(shù)據(jù)在整個數(shù)據(jù)中的重要程度。

學(xué)會權(quán)沒有直接給出數(shù)量，而就是以比的或百分比的形式出現(xiàn)及頻數(shù)分布表求加權(quán)平均數(shù)的方法。

2、中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)就是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就就是這組

數(shù)據(jù)的中位數(shù)(median);如果數(shù)據(jù)的個數(shù)就是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

3、眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(mode)。

4、極差:一組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差(range)。

5、方差:方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大;方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，就越穩(wěn)定。

6、平均數(shù):平均數(shù)受極端值的影響眾數(shù)不受極端值的影響，這就是一個優(yōu)勢，中位數(shù)的計算很少不受極端值的影響。

7、數(shù)據(jù)的收集與整理的步驟：1、收集數(shù)據(jù)2、整理數(shù)據(jù)3、描述數(shù)據(jù)4、分析數(shù)據(jù)5、撰寫調(diào)查報告6、交流

九年級

第二十一章二次根式

1.二次根式:式子店(a>0)叫做二次根式。

2、最簡二次根式:滿足下列兩個條件的二次根式,叫做最簡二次根式；

⑴被開方數(shù)的因數(shù)就是整數(shù)，因式就是整式；

⑵被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。如癡不就是最簡二次根式，因被開方數(shù)中含有4就是可開

g___I--------走

得盡方的因數(shù)，又如心，愿，J2(x+y)...........都不就是最簡二次根式，而伍,5a，V

都就是最簡二次根式。

3、同類二次根式:幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二

次根式。如癡，凡炳就就是同類二次根式，因為癡=272,曬=3日它們與世的被開方數(shù)均

為2。

4、有理化因式:兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說這兩個代數(shù)式互為有

理化因式。如癡與癡,a+而與a-而，癡-而與出+而，互為有理化因式。

二次根式的性質(zhì)：

1、癡(a>0)就是一個非負(fù)數(shù),即店>0;

2、非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個數(shù)，即：(&)2=a(a>0);

Ja(a>0)

3、某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對值，即存=伊尸l-a(a<0)

4、非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即如=圖?布(a>0,b>0)

{a6

5、非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即Vb=而Q>0,b>0)。

21、2二次根式的乘除

1、二次根式的乘法

兩個二次根式相乘,把被開方數(shù)相乘根指數(shù)不變，即歷口=斑9>O,b>0)o

說明:⑴法則中“、力可以就是單項式，也可以就是多項式，要注意它們的取值范圍,a、&都就是非負(fù)數(shù)；

(2)石?柩=40b(a>O,i>0)可以推廣為幽Gn-4b=mnjab(a>0,b>0);石-/?點=Jabcd(a

>Q,b>0,c>0,d>0)o

⑶等式血而=疑(。)0,5>0)也可以倒過來使用，即而=指?必(a>0,8>0)。也稱“積的算術(shù)平方

根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對一些二次根式進(jìn)行化簡。

2、二次根式的除法

y/a_(a

兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即萬一(a>0,b>0)o

說明:⑴法則中a、8可以就是單項式，也可以就是多項式，要注意它們的取值范圍,。>0,8在分母中，因此5

>0;

⑵柩也(a>0,5>0)可以推廣為萬柩?(a>0,b>0,n^0);

■yJa_lala_'Ja

(3)等式右一(a>0力>0)也可以倒過來使用，即N彳一為(a>0,b>0)o也稱"商的算術(shù)平方根”。它

與二根式的除法結(jié)合，可以對一些二次根式進(jìn)行化簡。

3、最簡二次根式

⑴被開方數(shù)中不含能開方開得盡的因數(shù)或因式；

⑵被開方數(shù)中不含分母。

21、3二次根式的加減

1、同類二次根式

注:判斷幾個二次根式就是否為同類二次根式,關(guān)鍵就是先把二次根式準(zhǔn)確地化成最簡二次根式，再觀

察它們的被開方數(shù)就是否相同。

(2)合并同類二次根式:合并同類二次根式的方法與合并同類項的方法類似，系數(shù)相加減，二次根號及被

開方數(shù)不變。

2、二次根式的加減

⑴二次根式的加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式分別合并。

(2)二次根式的加減法與多項式的加減法類似，首先就是化簡,在化簡的基礎(chǔ)上去括號再合并同類二次根

式，同類二次根式相當(dāng)于同類項。

一般地，二次根式的加減法可分以下三個步驟進(jìn)行：

i)將每一個二次根式都化簡成最簡二次根式

ii)判斷哪些二次根式就是同類二次根式,把同類二次根式結(jié)合成一組

畝)合并同類二次根式

3、二次根式的混合運算

二次根式的混合運算可以說就是二次根式乘法、除法、力口、減法則的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混

合運算時應(yīng)注意以下幾點:

⑴觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運算順序二次根式的混合運算與實數(shù)的運算順序一樣冼乘方，后乘除，

最后加減，有括號先算括號內(nèi)的。

(2)在運算過程中，每個根式可以瞧作就是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的與可以瞧作就是“多

項式”。

⑶觀察式中二次根式的特點，合理使用運算律與運算性質(zhì)，在實數(shù)與整式中的運算律與運算性質(zhì)，在二

次根式的運算中都可以應(yīng)用。

4、分母有理化

⑴我們在前面的學(xué)習(xí)中研究了分母形如。指形式的分式的分母有理化

綜合起來，常見的有理化因式有:①而的有理化因式為而，②a而的有理化因式為存，③a土存的

有理化因式為a干的，④G士振的有理化因式為而干照，⑤士方方的有理化因式為。五千九夕

⑵分母有理化就就是通過分子與分母同乘以分母的有理化因式川各分母中的根號去掉的過程，混合運算

中進(jìn)行二次根式的除法運算，一般都就是通過分母有理化而進(jìn)行的。

第二十二章一