2022屆浙江省高三數(shù)學(xué)試卷分項(xiàng)解析專(zhuān)題4 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【解析版】

2022屆浙江省高三優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)試卷分項(xiàng)解析

專(zhuān)履4一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、單選題

1.(2022浙江模擬預(yù)測(cè)）已知x-2y=2,則廳－4)·(1-/)的最大值是()

95

AB

4--2C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

l

將y=－X-1代入(x2-4)·(1-y2)整理，令f(x)＝-?x4+xJ+x2-4x,利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)單調(diào)性，由此

24

可得f(x)血lx=ma中(1-B),f伈句｝，將x=1－石和x=I+石代入原式即可求得最人值

【詳解】

I

·:x-2y=2,:.y=-:-X—I,

2

(x2-4)·(l-y2)=(x2-4){1-(?x-l『)=（x2-4)(-』入．2+寸＝－』x4+x3+x2-4x

I

令f(x)＝－—x4+x烏x2-4x,

4

:.f'(X)＝-入?+3x2+2x-4=－(入?-1)+(3x2+2x-5)=-(x-l)(x2+x+l)+(3x+S)(x-I)

=(x-1)(3x+5-x2-x-1)=-(x-l)(x2-2x-4):

令f'(x)=O,解得:x1=I，~=1-?5,~=1+?5,

當(dāng)XE(女，l忑）u(1,1．玉）時(shí)f'(x)>O:當(dāng)xE(l-?5,J)LJ(l飛，如）時(shí)，f＇(x)＜0,

f(x)在(-00,l一句（I,1玉）上單調(diào)遞增，在(1飛，1),(I＋占，如）上單調(diào)遞減

f(xt0,=max{f{l—匐f伈句｝：

當(dāng)x=I-＄時(shí)，y=-?亨，(x2-4)?(t-l)=4:

當(dāng)x=1+?5時(shí)，飛亭，廳－4）·(l-y2)＝4;

綜上所述(x2-4)·(1－廣）的砐大俏為4.

故選：C.

2.(2022浙江紹興模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=Inx,g(x)=x,若存在XpX2,..·,X,,E［長(zhǎng)］，使得

f化）＋f、(-?)+···+f(Xn-1)+g(Xn)=g(X1)+g(~)+··-+g(x,,_1)+f(x,.)，其中nEN詛n~2,則n的最

大值為（注e=2.71828···為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=lnx-x,利用導(dǎo)數(shù)研究由數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)值域，即可得嬌．

【詳解】

解析：設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=lnx-x,

易得h(x)在[l,1]卜遞增，在［店］卜遞減

所以h(x)葉2-e2,-IJ;

原題等價(jià)于存在x西···,X,,E[丿,e2]，使得h(x,,)=h億）＋h(凸）＋··?+h(x,,_,),

e

而h(xn)葉2-e2,-1],h(x,)+h（動(dòng)＋·＋h(xII-I)葉(n-1)(2-e2),-(n-l)],

所以2-e2::;-(n-1)，即n::;e2-1;

故選：C.

3.(2022浙江省臨安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2—2(a丑0)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)斗Xi'

則（）

A.當(dāng)a<O時(shí)，x,+x2<0,x1x2>0B.當(dāng)a<O時(shí)，斗+Xi>0'斗X2<0

C.當(dāng)a>O時(shí)，x1+Xi<0,x1x2>0D.當(dāng)a>O時(shí)，X1+X2>0,X1X2<0

【答案】B

【解析】

【分析】

令導(dǎo)函數(shù)f'(x)=0解得x=O或x＝一百2b，由f(0)=-2<0,函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則f(－飛）＝0,從

而得出a,b的關(guān)系，再分a>O和a<O分別討論即可得出答案

【詳解】

2b

由f'(x)=3ax2+2bx=O,解得x=O或x=－—

3a

若b=O,則f'(x)=3ax泛0,則f(x)在R上單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足題總

2b2b

所以b*0，則－—＃3a0，所以·-·-x=O或··x=－—3a，函數(shù)f(x)取得極值

義J(O)=-2<0,由f、（x)有向個(gè)不同的零點(diǎn)，所以f(—~)=o

2b、

所以xl=-—為f(x)的個(gè)零點(diǎn)．

3a

旬（－氣＝3aJa~（－蕁＋3aJb~（－叮－3aJ2=0，解得b3＝巴2，則b>O

若a>O,則X1=－竺<0且為f(x)的極大值點(diǎn)，當(dāng)X?+oo，．f(x)?如

3a

則f(x)的大致團(tuán)像如圖則X=X2為f、(x)的圖像與X軸的另一交點(diǎn)，顯然X2>0

2b

則—-＞0

3a

f勹）＝a(蕁＋b尸）2－2=20b:-2=20,x27a2-2=8>0

3a)l3a)l3a)27a~27a~2

2b

所以0<X2<—-，所以斗X2<0,X1+X2<0,故選項(xiàng)C,D不正確．

3a

y

X

2b

若a<O,則斗＝－—＞0且為f(x)的極大仙點(diǎn)，當(dāng)X今女，f(x)?+oo

3a

則f(x)的人致圖像如圖．則x=x2為f(x)的圖像與X軸的另一交點(diǎn)顯然X2<0

2b

則一－＜0

3a

f（氣＝a（氣＋b（蕁－2＝20b3-2=20X27a2-2=8>0

3a3a3a27a227a22

2b

所以一－＜X2<0,所以X1X2<0,斗+X2>0,故選項(xiàng)A個(gè)正確，選項(xiàng)B正確

3a

y

2b

2bX

3a

故選：B

1

4.(2022浙江臺(tái)州二模）已知nEN*,J(x)＝盂言葉忑歸,XE(0，號(hào)）．若f(x)在X=Xo處取到最小值，則

下列恒成立的是（)

冗冗

A.f(x)之飛）B.f(x)~J(?)c.X。<—D.X。>—

44

【答案】C

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在件定理解決即可

【詳解】

2sin"+2x-cos讓1+2X

/(x)n·

=sm'1+IX·COS2/1+ix'

令g(x)=2sin"+2x-cos切＋2x,

則g'(x)=2(n+2)sinn+ix?cosx+(2n+2)cos2n+ix?sinx>0

故g(x)在（0，工）卜單增，g(O)<0,g（王）＞0

22

冗冗

g(x)在(0，一）上存在唯一零點(diǎn)Xo'月在（0，心上，g(x)<O,在（x。,一）上，g(x)>0

22

冗

所以j(x)在(0,,i;。)上遞減，在(x。，一）上遞增，故j(x)在x=X。處取得蛟小值，

2

所以f(x)訂(x。)

又g（勹＝2sin"+2巴＿cos211+2芢＝2sin'r+2產(chǎn)＿sin2"+2%=sin11+2芢(2-sin'芒

4444444)>0

冗

所以X。E(0，一）

4

故選：C.

二、填空題

5.(2022浙江浙江二模）已知函數(shù)fk(x)=Ix—kaI(a>O,k=1,2,3)，函數(shù)g(x)=J;(x)兒(x)八(x)．若對(duì)任意

xe[0,3a],g(f;(x)＋八(x)）:e,;2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】0<a~?3

【解析】

【分析】

由題總g(x)=l(x-a)(x-2a)(x-3a)|，設(shè)h(x)=(x-a)(x-2a)(x-3a)，利用導(dǎo)數(shù)得出h(x)的單調(diào)性，作

出具大致圖像，從而得出g(x)的大致圖像，得出g(x)的最大仙，當(dāng)XE[0,3a]時(shí)，得出八(x)+j扎(x)的范圍，

即山g(x)n嘔:e,;2即可得出答案．

【詳解】

f,(x)＋兒(x)=|X-a|+|x-2a|=[:a-2x0`<a2a

2x—3a2a'.￡x'.￡3a

當(dāng)o:s;x<a時(shí)，a<3a-2x:s;3a

當(dāng)a:s;x<2a時(shí)，J;(x)＋兒(x)=a

當(dāng)2a:s;x:s;3a時(shí)，a:s;2x-3a:s;3a

所以當(dāng)XE[0,3a]時(shí)，J;(x）＋兒(x壓[a,3a]

g(x)=J;(x)兒(x)八(x)=l(x-a)(x-2a)(x-3a)I，設(shè)h(x)=(x-a)(x-2a)(x-3a)

則h'(x)=(x-2a)(x-3a)+(x-a)(2x-5a)=3x2-12ax+lla2

$

令h'(x}=O,解得X12=（紅a

所以h(x)在(-oo2a一氣二十三巳2a＋卒］上單調(diào)遞減在（三］卜單調(diào)

遞增

目h(a)=h(2a)=h(3a)=0,當(dāng)x?一心時(shí)，h(x)今-00；當(dāng)x?＋心時(shí)，h(x)?-<X)

故函數(shù)h(x)的圖像如圖

y

。

則g(x)的圖像如圖．

y

。x

axi2a丐3a

｀a－平l=g[la十字［產(chǎn)

2?3·1

所以當(dāng)?shù)闧a,3a]時(shí)，g(x)<——a

9

2$

對(duì)任意xE[0,3a],g(J;(x)＋兒(x))立恒成立，即礦::;2，解得O<a:;;?3

9

故答案為：0＜a三＄

6.(2022浙江模擬預(yù)測(cè)）若不等式lx-c~-21nx以0恒成立，則a的取值范圍是.

【答案】（女，2-2ln2]

【解析】

【分析l

分析將參變分蹺可得丐xe(l,+oo）時(shí)，a::;x-2lnx或a~x+2lnx成立，構(gòu)造函數(shù)，利廳導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最

仙，即可求解

【詳解】

當(dāng)XE(O,l]時(shí)，lnx::;o,此時(shí)Ix—al~2lnx恒成立，

故xe(l,妞）時(shí)，Ix-al~2lnx恒成立，即x-a~2lnx或x-a:s;-2lnx

即a:s;x-2lnx或a~x+21nx

2x-2

設(shè)f(x)=X—2lnx,則f'(x)=1-－＝一—.

XX

當(dāng)XE(l,2)時(shí)，f'(x)<O,f(.x)單減；當(dāng)XE(2，七o）時(shí)，f'(x)>O,f(x)單增

故J;,,n(x)=f(2)=2-21n2,故a~2-21n2.

2

設(shè)g(x)=x+2lnx,則f'(x)=l+-=:>0,所以f(x)在xE(l，位））單增，不存在最大值

X

綜上可知，a的取值范圍是(-oo,2-2ln2]

故答案為：（勺:i,2—2ln2]

7.(2022浙江紹興模擬預(yù)測(cè)）已知a,beR,若xi'x2'X3是函數(shù)f(x)=~+ax2+b的零點(diǎn)，且X1<Xi<X3,

區(qū)1葉對(duì)＝叫，則6a+b的最小值是.

【答案】－16

【解析】

【分析】

由三次方程的韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，將6a+b表示為函數(shù)

【詳解l

f(x)=0即x3=-(ax2+b)，可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)

G)若X1,x2<0,烏>0，此時(shí)a>O,h<O,由對(duì)稱(chēng)性可知X1<-X3,IX1|>比胚合題意

＠若x1<O,x2,,烏＞0，此時(shí)a<0,b>O,由題意得－X1+X2=X3

對(duì)于方程(x-x)(x-x2)(x—x3)=0

x3-(x,+x2+x3)x2+(x凸＋X1X3+X2X沁－X1XiX3=0

故{::1+＋XX12x`2:3a=0解得{｀2x2

飛X凸＝b

故6a+b=x;-12x2,(x2>0)

令g(x)=x3-l2x,g'(x)=3(x+2)(x-2)

故g(x)在(0,2)卜單調(diào)遞減，在(2,+oo)七單調(diào)遞增

故6a+b的最小值為－16

故答案為：-l6

三、解答題

8.(2022浙江浙江二模）已知函數(shù)f(x)=x2+alnx(a<2).

(1)若a=—2，求面數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)；

(2)當(dāng)XE(0,2]時(shí)，討論函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=(a+2)x-2a-2的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

【答案】(I)詳見(jiàn)解析：

(2)詳見(jiàn)解析；

【解析】

【分析】

2

(I)由a=-2,得到f(x)=x2—21nx,然店求導(dǎo)f'(x)=2x-－求解；

(2x-a)(x-1)

(2)令g(x)=x2+alnx-(a+2)x+2a+2,求導(dǎo)g'(x)=，分a:SO,0<—"<l討論求解

X2

(1)

解：當(dāng)a=-2時(shí)，f(x)=x2-21nx,

2

所以f'(x)=2x－一，令f'(x)=0,得x=l,

X

當(dāng)O<x<l時(shí)，f'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，．f'(x)>0,

所以x=l是函數(shù)f(x)的極小俏點(diǎn)；

(2)

當(dāng)XE(0,2]時(shí)，令g(x)=x2+alnx-(a+2)x+2a+2,

a2x2—(a+2)x+a_(2x-a)(x—1)

則g'(x)=2x+—-(a+2)==,

XXX

當(dāng)咚0時(shí)，O<x<l時(shí)，g心）<o,l<x::;2時(shí)，g心）>0,

所以當(dāng)x=l時(shí)，g(x)取得極小仙，且x今O,g(x)?＋00'

當(dāng)?。絘+l>O，即－l<a::s;O,函數(shù)j(x)的圖象與函數(shù)）1=(a+2)x-2a-2的圖象無(wú)公共點(diǎn)；

當(dāng)g(l)=a+l=O,即a=-1時(shí)，由數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=(a+2)x-2a-2的圖象有1個(gè)公共點(diǎn)；

{g(l)=a+l<02

當(dāng)，即—紅<—l時(shí)，俅1數(shù)j(x)的圖象與函數(shù)y=(a+2)x-2a-2的圖象有2個(gè)公

g(2)=2+aIn2:?.0'~,-ln2

共點(diǎn)；

{g(l)=a+1<02

當(dāng)，即a<－一－，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=(a+2)x-2a-2的圖象有1個(gè)公共點(diǎn)；

g(2)=2+aln2<0ln2

aa

當(dāng)0＜了:1'即0<a<2時(shí)，O<x<；或x>l時(shí)，g心）＞0,千x<l時(shí)，g心）<0,

所以當(dāng)x=;時(shí)，g(x)取得極大仙，當(dāng)x=I時(shí)，g(x)取得極小伯，且x分O,g(x)?-00，

2

因?yàn)間(l)=a+l>O恒成歡，

所以函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=(a+2)x-2a-2的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)；

綜卜：當(dāng)—l<a:s;O時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=(a+2)x—2a—2的圖象無(wú)公共點(diǎn)；

2

當(dāng)a=-1或a<－—－或0<a<2時(shí)，f(x)的圖象與函數(shù)y=(a+2)x-2a-2的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)；

ln2

2

當(dāng)－—－:s;a<－]時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=(a+2)x-2a-2的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)

ln2

1

9.(2022浙江模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)f(x)=x-.::..-alnx(aER).

X

(l)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)xp凸心（斗＜凸＜X:i)

(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

a伈＋x,+2)

(ii)證明：X3-X1<

嘉·

【答案】(I)答案見(jiàn)解析

(2)Ci)a>2:(ii)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(I)對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，然后，對(duì)0．進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而得到f(x)的單調(diào)性

(2)（i)根據(jù)題意，可知，當(dāng)a~2時(shí)，不符題意，故只盂證明a>2時(shí)，f(m)>0,f(n)<0即可得到(1的

范圍；

(ii)通過(guò)化簡(jiǎn)，得到f（勹＝~-x-aln~=丿-x+alnx=-f(x)，所以，利用等扯代換，得到

XIXXX

尼）＝0?衛(wèi)）＝寸（動(dòng)＝0三二，進(jìn)而通過(guò)轉(zhuǎn)化，

xl

得到x,-x,<~歸＋2）氣－X1<a［二1＋2)，進(jìn)而證明求解即可

(l)

,

Ix"＿釭＋1

f(x)=x-~-alnx,f'(x)=~

XX

＠當(dāng)a::;2時(shí)，x2-ax+l~x2-2x+l以0，所以f'(x)~o，所以f(x)在{0,+oo)I:遞增

a－嘉三a＋嘉

＠當(dāng)a>2時(shí)，記x2-ax+l=O的兩根）-:Im=E(0,l),n=~E(1,+oo)

22

則當(dāng)O<x<m時(shí)，f'(x)>0;當(dāng)m<x<n時(shí)，f'(x)<0;當(dāng)x>n時(shí)，J'(x)>0

綜十可知，當(dāng)a::;2時(shí)，f(x)在(0,+oo)七遞增

當(dāng)a>2時(shí)，f(x)在(0,m)卜遞增，在(m,n)上遞減，在(n,+oo)卜遞增

(2)

Ci)由（I)討論可知，當(dāng)a::;2時(shí)，j(x)=0在（0，伈3)上至多一根，不符合條件，所以a>2

因?yàn)閒(l)=0,又x今0時(shí)，f(x)?女，x今＋00時(shí)，f(x)?知，

故只需證明：f(m)>0,f(n)<0

因?yàn)閒(m)=m-~-a1.lnm=m-~-(m1＋上）lnm>O~而-~-lnm>O,證明如下，設(shè)

mmmm2十l

t2-l—(t2—l)2

g(t)=~-lnt,(0<t<1)，則g'(t)=~<0'

t+lt(f+1)

所以g(t)>g(l)=0,即f(m)>O;

n2-1

同理f(n)<0<:::>~-lnn<0,此時(shí)n>l?g(t)<g(l)=0，即f(n)<0

n2+l

綜上可知，當(dāng)a>2時(shí)，J(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)

(ii)·;f(l)=0,且m<1<n,:.x,<m<x2=1<n<x3,

·.．飛）=~-x-aln~=~-x+alnx=寸（x),

1

=—

:.山J億）＝0?f（開(kāi)－xif(x,)=0?兒，3x1

:.x,-x,<~沁＋2）三－x,<＂（二＋2）

2

叫心言＋a）寸＋2ctx1+a—耘勹＞O~x1>（扣口－a)

<:::>f(（~-ar)<i、(x,)=0

·:f（掃－a)＝（掃－a)-12-a1n(~嘉言i-a)a

（掃－a)

＝（蘆－a『－（盧＋a『－2aln（~-a)=-2a[2蘆十In（言－a)]

I

·:lnx<>:1-..:...,

X

:.-2a[2掃五十In（~-a)］~-2a[2蘆＋l－三－;]=-2a（.[cF;"i+1-a)<o

a(x1+x1+2)

:.X3—X1<

嘉

(ii)另解：

ll2

因?yàn)镮nx<x-1?Inx<x?In—-＜—－?－lnx<—-

石五五＇

l2ax+2a五－l

所以當(dāng)?shù)?0,1)時(shí)，f(x)<1-－＋一－＝.

x石x

1

因?yàn)槲逖訲-a=<l,

嘉＋a

2（掃－af+2a（掃－a)-1

所以由f(（五了－af)<=0得到：x,>（品了－af.

（言－a『

ll

+alnx1

又f（勹＝x±-x,=-f(x,)=0，且—＞x,I,所以一X,＝X3

x1:,（了－a『［（三＞言－a

所以[x3＝丿＜（言＋a)2,所以（盧－a）x3:+a

所以（嘉三］一中－（嘉:+a)x,<2a?心工(x3-x,)<a(x1飛＋2)

a(x1+x3+2)

?凸—X1<

嘉＇

五

10.(2022浙江慈溪中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=e勹－ax2-—-x(aER).

2

=

(1)若函數(shù)g(x)J(x)＋［五2＿1)x在[O，鉤）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的最小值；

(2)若函數(shù)f(x)在(0,1)上有兩個(gè)極值點(diǎn)xl,x2(x1＜凸）

(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

句）求證[X1-i+l)［三千

1

【答案】(I)--:-

2

心－2e森

(2)(i)<a<——;（ii)證明見(jiàn)解析

42

【解析】

【分析】

(I)因?yàn)間(x)在［0，如）上單調(diào)遞增，所以g'(x)習(xí)0對(duì)任XE[O,+oo)恒成寸，令r(x)=e"+2ax-l(x習(xí)O)，考

1

慮到則r(O)=0,則r'(O）習(xí)0,則a．之一一，只需證明a=－－時(shí)，g'(x)以0對(duì)任意的心三[0,+oo)恒成立即可求

22

出實(shí)數(shù)u的砓小值

五e(cuò)·'五

(2)(i)f(x)在(0,1)上有兩個(gè)極仙點(diǎn)，求得f'(x)=e勹·+2釭——-＝0轉(zhuǎn)化為y=-2a與一了的圖

h(x)=

2x

象有兩個(gè)交點(diǎn)

五五tt

(ii)由題目條件可入女t,=-2ax，十—,t2=-2ax2+—-，先證得一;-:<1<－七，

I22-2a-2”

2(x-l)42(x-l)4

再結(jié)合不等式Inx<=2-~(0<x<l),lnx>~=2-~(x>I)，可得出

x+lx+J··x+lx+l

?e,1_t,,1..?e,1~12

X,-—+l=~+l,X2-—+1=—+1'即可證得

4a-2a?4a-2a

[.x1:+``)>4

(I)

五

由千g(x)=f(x)＋廠－－l）x=e,＇＋ax2-x在[0，動(dòng)）上單調(diào)遞增，

則g'(x)=e勹'+2ax-l~O對(duì)任XE[0,-t<O）恒成立令r(x)=e勹2ax-I(x~O)，考慮到則r(O)=0,則

1

r'(O)=e0+2a=1+2a~0,則立－－

2

J

下面證明a=－－時(shí)，g'(x)=e'-x-1~0對(duì)任意的XE[0,+oo）恒成立事實(shí)上，g"(x)=ex-1~0.則

2

g'(x)=ex-.x－l在[O，鉤）上單調(diào)遞增，從而g'(.x)~g'(O)=O綜合上述，實(shí)數(shù)a的最小值為－－．

2

(2)

五五

e"——e"-—

(i)由于，甚2，了入2

f'(x)=ex+2ax-—=0之－2a=h(x)=(0<x<l)-

2X..X

則，xex-e·'＋車(chē)，設(shè)r(x)=xe(x)=xe"-e+ex—五，（）,r'(x)=e·'＇｀+xex-ex=xex>0,故r(x)在(0,1)上單調(diào)遞增．

h'(x)=X22

又r（勹＝0從而當(dāng)O<x<』時(shí)，r(x)<O,h'(x)<O:

22

1

當(dāng)－＜x<l時(shí)，r(x)>O,h'(x)>0由此h(x)在(o,?)上單調(diào)遞減．在尸）上單調(diào)遞增，又由于

2

五

li~h(x)＝如,h(?)一＝=h(l)=2)在(0,1)上有兩個(gè)不同的實(shí)根屯知

心十2?e,e-—，故要使得方程－2a=h(x

五甚甚＿

甚-le

則（<2從而<<<

a<eeeXIL-Iao

2lax,4一2

,V五

+__o

12＿

由其貝

..1)于r斗氣<,

甚,,-

+g__o

22＿

』

(五\)

,V五

12r

入x__nJ5ao++

ee．==zax++l2

--12

?\

甚r\甚＿\(yùn))

x

'2

』』易__n烏

2＿2

、

/＼）＼丿

1五＿

t+____nt

(\、一--1It2

］五加2

t+故\

易__氣

切一22,f\,

釭＝－2釭．1+孚，t2=-2ax2十至，則x|＝缸孚），1五＿

丿122+n

一加2

X.,fe,,,l.}

具中t,<t2由于函數(shù)p(x)=lnx+———-，p'(x)＝－＋－-，故p(x)的極大值點(diǎn)為x=-2a,因此t,<-2a<t2,

2a4ax2a

2(x—l)42(x—l)4

從而<1<—上，再結(jié)合不等式lnx<=2-(O<x<l),lnx>~=2-(x>l),

—2a—2a......···x+l—x+i··x+l—x+l

t,.?e./~\.t4

—_J_+—-Ln(—2a)=ln~<2-

2a4a—2a—t_l__+l

-2a

則，從而兩式相減得：

t甚t4

—上＋——In(—2a)=ln~>2—

2a4a''-2at

2+1

-2a

t?

4

上上＞4-4=（二）tt2

-2a-2a士＋1士＋1：）（t0>0，即（盂＋1)（三＞4,從而

?e,I..fl,I..?e,1_f2甚嘉

x二三＋l,X2一石＋1＝忑＋l，故[x1一石＋1）[x2一石＋1)>4

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：

（I)自接構(gòu)造際，數(shù)法：證明不等式f(x)>g(x)（或f(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)-g(x)>0（或

f(x)-g(x)<0)，進(jìn)而構(gòu)迅輔助函數(shù)h(x)=f(x)-g(x);

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：寸是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮：二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造”形似函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．

ax+4

11.(2022浙江省富陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝——-（x>1

lnx)

(I)當(dāng)a=O時(shí)，求函數(shù)J(x)的圖象在(e,f(e)）處的切線方程；

(2)若對(duì)任意xE(l,+oo），不等式f(x)習(xí)nx+4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

8-

4a>

【答案】(I)y=-_..:.x+8;(2)-2e

e

【解析】

【分析】

(I)利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式求切線方程；

2h1X+42lnx+4

(2)設(shè)g(x)()=ax+4-ln2x-4lnx(xE(1,+ao）），求導(dǎo)g'(x)=a-，由h(x)=~E{0,4)，討

(XX

1

論當(dāng)a~4時(shí)與當(dāng)玉a<4時(shí)，分析g(x)單調(diào)件求取最小值即可得結(jié)果

e

【詳解】

4

(I)當(dāng)a=O時(shí)，f(x)＝—－所以f(e)=4

lnx

-4

此時(shí)f'(x)=

x·ln氣＇

4

故f'(e)＝－一，

e

4

所以所求切線方程為

y-4=-~(xe·-e)·，即y=-~xe+8:

(2)山題意得a.x+4-ln2x-4lnx習(xí)0對(duì)對(duì)任意xe(l,+oo)恒成立

1

令x=e，得a?::—,

e

設(shè)g(x)=ax+4-ln2x-4lnx(xE(l沖動(dòng)），

2lnx+4

g'(x)=a—

X

2lnx+4-2(l+lnx)

設(shè)h(x)=，則h'(x)=~<0,

xx2

所以h(x)在xE(l,+oo）遞減，故0<h(x)<4

CD當(dāng)心4時(shí)，g'(x)20，所以g(x)在(l,+oo)單調(diào)遞增，g(x)>g(l)=a+4>0

所以a24滿(mǎn)足題意

12lnx。+4

＠當(dāng)—:$a<4時(shí)，存在x。>l使得a=,

eX。

即ax。=21nx。+4月g(x)在(l,x。)單調(diào)遞減，在（凸沖心）單調(diào)遞增，

g(x).,,in=g（勸＝吽＋4-ln飛－4ln-'iJ以0

所以2lnx。+4+4-ln飛－41nx。兇0,即ln五ri+2lnx0-8:$0,解得－4三lnx。:$2

2lnx+4

即l<X。釭？，山h(x)＝在xE(l，心）遞減，

X

8

可知~~a<4.

e

8

綜上所述可得a2---;-.

e-

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值（取值范圍）問(wèn)題常用的方法：

(1)函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或蛟值問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．

e

12.(2022浙江龍港中學(xué)高三階段練習(xí)）已知f(x)＝—-2x有兩個(gè)零點(diǎn)x,,x2(x,<x2)，其極值點(diǎn)為＼

a

(1)求a的取值范圍；

e22a+1

(2)求證：當(dāng)a>—時(shí)，有2x2>X。+X1·

22a-l-X。

e

【答案】(1)a>一；

2

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)，結(jié)合題設(shè)可得a>O,進(jìn)而可得x0=ln2a并判斷f(x)單調(diào)件，再由零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定極值的

符號(hào)，即可求a的范圍；

e"-e111eq-enr瀘－lex'-1

(2)因?yàn)?<x1<.x;。<x2<2x0,利們割線進(jìn)行放縮：任意p>q>m均有>可得>

p-mq-mx。Xi

e2\)-e`)e'2-e均

和>對(duì)這兩個(gè)不等式進(jìn)行處埋．

入'.oXi-Xo

(l)

ex

山J'(x)=~-2:當(dāng)a<O,則f'(x)<0,故f(x)單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．

a

e`

所以a>O,又J'(xo)＝—-—2=0,故eX。=2a,即x。＝ln2a,

a

當(dāng)XE（女，ln2a)時(shí)f'(x)<0，當(dāng)XE(ln2a，女）時(shí)f'(x)>0:

J(x)在（一為，ln2a)上遞減，在(ln2a習(xí)心）上遞增

所以極小值為/(In2a)=2-2ln2a

?;f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，故2—2ln2a<O,

e

所以a>一．

2

(2)

先證：對(duì)meR,F(x)＝氣三：在(m,砬）上遞增

(x-m-l)ex+e111

F'(x)=(x>m)

(x-m)2

構(gòu)建g(x)=(x-m-l)ex+e'”則g'(x)=(x-m)ex>0當(dāng)xE(m,+oo）時(shí)恒成立

:.g(x)在(m,+ao）上遞增，則當(dāng)XE(m,+oo）時(shí)，g(x)>g(m)=0

e'-e“e'P＿礦eq-em

:.F(x)=在(m，如）上遞增，即對(duì)任意p>q>m均有>..@

X-mp-mq—m

由(I)可知：X。＝In2a,e"'=2a斗，ex'=2ax2

e2l

當(dāng)a>一時(shí)，.f(x)在XE(-oo,O)上遞減且f(0)=.:...>0

2a

e壞

f(2x。)＝—-4x。=4(a-ln2a)

a

x-1

y=x-ln2x則y'=——-＞0當(dāng)x>l時(shí)恒成立

X

f(2動(dòng)＝4(a-ln2a)>4甘－2)>0

:.0<X1<X0＜易<2x。

ex°—le`-l

對(duì)千＠令m=O,q=X1,p=x0,則可得：>

X。斗

2a-l_2ax1-1

即>，整押得：In2a>[2a(ln2a—l)＋l]斗

ln2aXl

e2

又？a>—即ln2a>2則Ln2a-l>l

2

:.Ln2a>[2a(ln2a-l)+l]x1>(2a+l)斗

x-l

·:y=x-lnx-1則y'=－－＞0節(jié)x>l時(shí)恒成立

X

y=x-lnx-1在(1,+oo)上遞增，則y=x-lnx-l>0丐x>1時(shí)恒成立

:.2a—l—ln2a>O

e2-'<>＿瀘ex2-e彴

對(duì)于0令m=X。,q=x2,p=2x0,則可得：>

X。凸－X。

4a2—2a_2ax2-2a2(a-l)ln2a

即>，整理得：>

In2ax2-ln2a乒2a-l-ln2a