2021北京初二（上）期末數(shù)學(xué)匯編：等腰三角形與直角三角形

第26頁/共26頁2021北京初二（上）期末數(shù)學(xué)匯編等腰三角形與直角三角形一、單選題1．（2021·北京東城·八年級期末）如圖所示，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝10，點M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM的長為（

）A．3B．4C．5D．62．（2021·北京昌平·八年級期末）如圖，是等邊三角形，D是線段上一點（不與點重合），連接，點分別在線段的延長線上，且，點D從B運(yùn)動到C的過程中，周長的變化規(guī)律是（

）A．不變 B．一直變小 C．先變大后變小 D．先變小后變大3．（2021·北京通州·八年級期末）如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，邊BC的垂直平分線EF交AB于點D，連接CD，如果CD＝6，那么AB的長為（）A．6 B．3 C．12 D．4．54．（2021·北京豐臺·八年級期末）等腰三角形的一邊長是5，另一邊長是10，則周長為（）A．15 B．20 C．20或25 D．255．（2021·北京大興·八年級期末）等腰三角形的一個角是，則它的底角是（

）A． B． C．或 D．或6．（2021·北京門頭溝·八年級期末）如圖，每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，點C也是圖中小方格的頂點，并且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題7．（2021·北京東城·八年級期末）如圖，已知∠MON=30點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA1=1，則△A2021B2021A2022的邊長為______．8．（2021·北京平谷·八年級期末）已知等腰三角形的一個角是70°，則它頂角的度數(shù)為_____．9．（2021·北京東城·八年級期末）如圖，在中，D是上一點，，則________°．10．（2021·北京延慶·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，∠BAD＝20°，且AE＝AD，則∠CDE的度數(shù)是______．11．（2021·北京豐臺·八年級期末）如圖，在中，，．于點．如果，那么_____12．（2021·北京西城·八年級期末）如圖，，點D在邊上，，則________°．13．（2021·北京順義·八年級期末）如圖，是等邊三角形，，與交于點F，則的度數(shù)是__________．14．（2021·北京房山·八年級期末）如圖，長方形ABCD中，AB=6,BC=2,直線l是長方形ABCD的一條對稱軸，且分別與AD,BC交于點E,F,若直線l上的動點P,使得△PAB和△PBC均為等腰三角形.則動點P的個數(shù)有_______個.15．（2021·北京朝陽·八年級期末）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角.這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA,OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點固定，OC=CD=DE,點D、E可在槽中滑動．若∠BDE=75°,則∠CDE的度數(shù)是__________16．（2021·北京延慶·八年級期末）如圖，在長方形的對稱軸上找點，使得，均為等腰三角形，則滿足條件的點有_________個.17．（2021·北京昌平·八年級期末）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則這個等腰三角形的頂角為______．18．（2021·北京順義·八年級期末）如圖,在中,于點,則的度數(shù)為__________．19．（2021·北京門頭溝·八年級期末）學(xué)習(xí)了等腰三角形的相關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學(xué)們交流這樣一個問題：“如果一個等腰三角形的兩邊長分別為2和5，求它的周長”．同學(xué)們經(jīng)過片刻的思考和交流后，小明同學(xué)舉手講“它的周長是9或12”，你認(rèn)為小明的回答是否正確：_____，你的理由是_____．三、解答題20．（2021·北京西城·八年級期末）如圖，AB∥CD，點E在CB的延長線上，∠A=∠E，AC=ED．(1)求證：BC=CD；(2)連接BD，求證：∠ABD=∠EBD．21．（2021·北京昌平·八年級期末）如圖，在ABC中，AB＝AC，BC＝2，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE和CE．（1）補(bǔ)全圖形；（2）若點F是AC的中點，請在BC上找一點P使AP+FP的值最小，并求出最小值．22．（2021·北京大興·八年級期末）如圖，點C在線段AB上，CF平分∠DCE，AD∥EB，∠ADC=∠BCE，AD=BC，求證：DF=FE．23．（2021·北京石景山·八年級期末）如圖，ABC是等邊三角形，D，E分別是BA，CB延長線上的點，且AD=BE．求證：AE=CD．24．（2021·北京房山·八年級期末）如圖，在ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分線交AC于點D，交AB于點E，連接BD．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求∠DBC的度數(shù)．25．（2021·北京東城·八年級期末）已知是等邊三角形，點D是的中點，點P在射線上，點Q在線段上，．（1）如圖1，若點Q與點B重合，求證：；（2）如圖2，若點P在線段上，，求的值．26．（2021·北京大興·八年級期末）已知：如圖，在△中，∠，△是等邊三角形．是線段上任意一點（不與點重合）,，且．連接DQ，CQ，PQ．（1）求∠ADQ的度數(shù)；（2）若∠CQD=90°，判斷線段CQ與AD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明．27．（2021·北京朝陽·八年級期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，過點D作DE∥AC交AB于點E．求證：E為AB的中點．28．（2021·北京朝陽·八年級期末）在學(xué)習(xí)了“等邊對等角”定理后，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)繼續(xù)探究了同一個三角形中邊與角的數(shù)量關(guān)系，得到了一個正確的結(jié)論：“在同一個三角形中，較長的邊所對的角較大”，簡稱：“在同一個三角形中，大邊對大角”．即，如圖：當(dāng)AB＞AC時，∠C＞∠B．該興趣小組的同學(xué)在此基礎(chǔ)上對等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的一般情況，繼續(xù)進(jìn)行了深入的探究，請你補(bǔ)充完整：（1）在△ABC中，AD是BC邊上的高線．①如圖1，若AB=AC，則∠BAD=∠CAD；②如圖2，若AB≠AC，當(dāng)AB＞AC時，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）證明：∵AD是BC邊上的高線，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴（在同一個三角形中，大邊對大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC邊上的中線．①如圖1，若AB=AC，則∠BAD=∠CAD；②如圖3，若AB≠AC，當(dāng)AB＞AC時，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）證明：29．（2021·北京延慶·八年級期末）如圖，已知等邊三角形ABC，延長BA至點D，延長AC至點E，使AD=CE，連接CD，BE．求證：△ACD≌△CBE．30．（2021·北京西城·八年級期末）課堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，平分交于點D，且．求證：．小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來證明結(jié)論．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過延長線段構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使_________，連接．請補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；（2）小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點D在的內(nèi)部，，，分別平分，，，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個問題；（3）小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：如果在中，，點D在邊上，，那么平分．小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進(jìn)行證明．

參考答案1．B【分析】過P作PQ垂直于MN，利用三線合一得到Q為MN中點，求出MQ的長，在中，利用所對的直角邊等于斜邊的一半求出OQ的長，由OQ-MQ求出OM的長即可．【詳解】解：過P作，∵，∴為等腰三角形，∵，∴，在中，，，∴，∴，則，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及含直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含直角三角形的性質(zhì)，是解本題的關(guān)鍵．2．D【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，從而可得周長為，最后根據(jù)點到直線的距離即可得出答案．【詳解】是等邊三角形，，，，，又，，，，，在和中，，，，則周長為，在點D從B運(yùn)動到C的過程中，BC長不變，AD長先變小后變大，其中當(dāng)點D運(yùn)動到BC的中點位置時，AD最小，在點D從B運(yùn)動到C的過程中，周長的變化規(guī)律是先變小后變大，故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，正確找出兩個全等三角形是解題關(guān)鍵．3．C【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DC=DB=6，則∠DCB=∠B，由∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，得∠A+∠B=90°，從而∠A=∠ACD，DA=DC=6，則AB=AD+DB便可求出．【詳解】∵EF是線段BC的垂直平分線，DC=6，∴DC=DB=6，∴∠DCB=∠B，又∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ACD，∴DA=DC=6，∴AB=AD+DB=6+6=12．故選：12．【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】由于沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)腰為5時，5+5=10，所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰為10時，5+10＞10，所以能構(gòu)成三角形，周長是：10+10+5=25．故選D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答．5．D【分析】分類討論這個的角是等腰三角形的頂角還是底角．【詳解】解：若的角是頂角，則底角是，若的角是底角，則底角是．故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．6．C【分析】分AB為腰和為底兩種情況考慮，畫出圖形，即可找出點C的個數(shù)．【詳解】解：如下圖：當(dāng)AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作圓，可找出格點C的個數(shù)有2個；當(dāng)AB為底時，作AB的垂直平分線，可找出格點C的個數(shù)有1個，所以點C的個數(shù)為：2+1=3．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，能分以AB為底和以AB為腰兩種情況，并畫出圖形是解題關(guān)鍵.7．【分析】根據(jù)△A1B1A2為等邊三角形，可知∠A1B1A2=60°，A1B1=A1A2，根據(jù)∠MON=30°，進(jìn)而可得∠A1B1O=30°，由此可知△OA1B1為等腰三角形，同理可證△OA2B2為等腰三角形，OA2=A2B2=A2A3=2，依次類推可知△OA3B3為等腰三角形，則OA3=A3B3=A3A4=，同理可知△OA4B4為等腰三角形，則OA4=A4B4=A4A5=，由此可找到邊長的變化規(guī)律推導(dǎo)出邊長即可．【詳解】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，∴∠A1B1A2=60°，A1B1=A1A2，∵∠MON=30°，∴∠A1B1O=30°，∴△OA1B1為等腰三角形，∴A1B1=OA1，∴A1B1=A1A2=OA1，∵OA1=1，同理可知△OA2B2為等腰三角形，∴OA2=A2B2=A2A3=2，同理可知△OA3B3為等腰三角形，∴OA3=A3B3=A3A4=，同理可知△OA4B4為等腰三角形，∴OA4=A4B4=A4A5=，依次類推：OAn=AnBn=AnAn+1=,∴△A2021B2021A2022的邊長為：=，故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，歸納，總結(jié)，驗證，應(yīng)用的能力，能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．8．40°或70°##70°或40°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，討論這個70度的角是頂角還是底角，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)這個70度的角為頂角時，答案即為70°；當(dāng)這個70度的角為底角時，頂角=，故答案為：40°或70°．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的底角相等，內(nèi)角和等于180°，是解題的關(guān)鍵．9．25【分析】設(shè)∠ADC＝α，然后根據(jù)AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADC的度數(shù)，進(jìn)而求得∠B的度數(shù)即可．【詳解】解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，設(shè)∠ADC＝α，∴∠B＝∠BAD＝，∵∠BAC＝105°，∴∠DAC＝105°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，∴2α+105°﹣＝180°，解得：α＝50°，∴∠B＝∠BAD＝＝25°，故答案為：25．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個底角相等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．10°【分析】設(shè)∠B＝∠C＝x，∠CDE＝y(tǒng)，分別表示出∠DAE，構(gòu)建方程解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)∠B＝∠C＝x，∠EDC＝y(tǒng)，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x＋y，∵∠DAE＝180°?2（x＋y）＝180°?20°?2x，∴2y＝20°，∴y＝10°，∴∠CDE＝10°．故答案為：10°【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，還涉及三角形內(nèi)角和等知識點，需要熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)．11．【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)，可得到∠BCD=30°，從而得到BC=2BD，進(jìn)而由∠A=30°，得到AB=2BC，即可求出結(jié)果．【詳解】∵，，∴，則在中，，∴在中，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查含角的直角三角形中三邊關(guān)系，熟記基本定理是解題關(guān)鍵．12．【分析】先由，得到，繼而解得，由等邊對等角解得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和180°解題即可．【詳解】故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．13．60°【分析】先證明△ABD≌△CAE，可得∠BAD=∠ACE，然后由三角形外角的性質(zhì)，∠DFC=∠ACE+∠DAC，等量代換即可求解．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AB=CA，∠B=∠CAB=60°，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴∠BAD=∠ACE，∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，∴∠ACE+∠DAC=60°，∵∠DFC=∠ACE+∠DAC，∴∠DFC=60°．【點睛】考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找出∠ACE=∠BAD和利用全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系．14．5【分析】利用分類討論的思想，此題共可找到5個符合條件的點：一是作AB或DC的垂直平分線交l于P；二是在長方形內(nèi)部，在l上作點P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作點P2，使P2A=AB，P2D=DC；三是如圖，如圖，在長方形外l上作點P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在長方形外l上作點P4，使BP4=AB，CP4=DC．【詳解】分三種情況討論：①如圖，作AB或DC的垂直平分線交l于P，②如圖，在l上作點P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作點P2，使P2A=AB，P2D=DC，③如圖，在長方形外l上作點P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在長方形外l上作點P4，使BP4=AB，CP4=DC，故答案為：5．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；解題中利用等腰三角形的判定來解決特殊的實際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，結(jié)合圖形，再利用數(shù)學(xué)知識來求解．15．80°【分析】根據(jù)OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出∠ODC數(shù)，進(jìn)而求出∠CDE的度數(shù)．【詳解】∵，∴，，設(shè)，∴，∴，∵，∴，即，解得：，.【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，理清各個角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．16．5【分析】利用分類討論的思想，此題共可找到5個符合條件的點：一是作AB或DC的垂直平分線交l于P；二是在長方形內(nèi)部在l上作點P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作點P，使PC=DC，AB=PB；三是如圖，在長方形外l上作點P，使AB=BP，DC=PC，同理，在長方形外l上作點P，使AP=AB，PD=DC．【詳解】如圖，作AB或DC的垂直平分線交l于P，如圖，在l上作點P，使PA=AB，同理，在l上作點P，使PC=DC，如圖，在長方形外l上作點P，使AB=BP，同理，在長方形外l上作點P，使PD=DC，故答案為:5.【點睛】考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想在解題中的應(yīng)用.17．40°或100°【分析】首先知有兩種情況（頂角是40°和底角是40°時），由等邊對等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內(nèi)角和定理即可求出頂角的度數(shù)．【詳解】解：在△ABC中，AB=AC．有兩種情況：（1）頂角∠A=40°，（2）當(dāng)?shù)捉鞘?0°時，∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°，∴這個等腰三角形的頂角為40°和100°．故答案為：40°或100°．【點睛】考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．18．25°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知可求得兩底角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可求得∠的度數(shù)．【詳解】∵，∠°，∴∠∠°，∵，∴∠°°°．故答案為：25°．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行答題．19．

不正確

2+2＜5，2，2，5不構(gòu)成三角形．【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】解：當(dāng)腰為5時，周長=5+5+2=12；當(dāng)腰長為2時，因為2+2＜5，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況不成立；根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：等腰三角形的腰長只能為5，這個三角形的周長是12．故答案為不正確，2+2＜5，2，2，5不構(gòu)成三角形．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識，解題時根據(jù)是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．20．(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）由“AAS”可證，可得；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)和平角的性質(zhì)可得結(jié)論．（1）證明：，，在和中，，（AAS），；（2）證明：如圖，連接，，，，，又，．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（1）補(bǔ)全圖見解析；（2）AP+FP的值最小值為【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可．（2）連接EF交BC于點P，此時AP+FP的值最小，求出EF的值即可．【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如下：（2）連接EF交BC于點P，∵AB＝AC，BC＝2，AD⊥BC于點D，∠BAC＝120°，∴，∵DE=AD，AD⊥BC，∴BC為AE的垂直平分線，∴CA=CE，AP=EP，∴AP+FP=EP+PF，最小為EF，△ACE為等邊三角形，∵點F是AC的中點，∴EF⊥AC，∴，AP+FP的值最小值為．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，三線合一，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定等，解題的關(guān)鍵是在（1）中能根據(jù)題意正確畫出圖形是解題關(guān)鍵；（2）中能結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)得出最小值為EF和理解等邊三角形三高相等．22．見解析．【分析】首先可根據(jù)條件判斷出△ACD≌△BEC，從而得到DC=CE，判斷出△DCE為等腰三角形，結(jié)合“三線合一”即可得出結(jié)論．【詳解】∵AD∥BE，∴∠DAC=∠CBE，在△ACD和△BEC中∴△ACD≌△BEC（ASA），∴DC=CE，∴△DCE是等腰三角形.∵CF平分∠DCE，∴DF=FE．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定以及“三線合一”的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23．證明見解析【分析】通過證明≌即可得證．【詳解】解：∵ABC是等邊三角形，D，E分別是BA，CB延長線上的點，∴，，在和中，，∴≌，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．24．（1）見解析；（2）30°【分析】（1）依題意作出線段AB的垂直平分線即可；（2）由三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求得∠

ABC=70°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出DA=DB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠ABD=∠A=40°，進(jìn)而可求得∠DBC的度數(shù)．【詳解】(1)如圖，直線DE為線段AB的垂直平分線；(2)∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=70°，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB.∴∠DBA=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=70°-40°=30°．【點睛】本題考查基本作圖-線段垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟知線段垂直平分線上的點到線段端點的距離相等是解答的關(guān)鍵．25．（1）證明見解析；（2）4．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明再利用三角形的內(nèi)角和定理求解從而可得結(jié)論；（2）過點D作交于點E，先證明為等邊三角形，再證明，可得從而可得答案．【詳解】證明：（1）∵為等邊三角形，∴∵D為的中點，∴平分，∴．∵，∴，∴，∴．（2）過點D作交于點E．∵為等邊三角形，，點D是的中點，∴．∵，∴．，∴為等邊三角形，，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．26．（1）；（2）線段CQ與AD的數(shù)量關(guān)系是：，位置關(guān)系是：∥，證明見解析．【分析】（1）證明△≌△，即可得到=；（2）根據(jù)，，證得∥，由△ACD是等邊三角形，求出，推出，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵∠，AP=AQ，∴△APQ是等邊三角形，

又∵△是等邊三角形，

∴，，∴，在△和△中，

∴△≌△，∴，

∵，∴；（2）線段CQ與AD的數(shù)量關(guān)系是：，位置關(guān)系是：∥，∵，，∴，∴∥，∵△ACD是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴．【點睛】此題考查等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，平行線的判定定理，熟記全等三角形的判定定理證得△≌△是解題的關(guān)鍵．27．見解析【分析】證明AE=DE，EB=DE即可解決問題【詳解】證明：∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∴DE=AE，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BDE=∠ABD，∴BE=DE，∴AE=BE，∴E是AB的中點．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．28．（1）①見解析，②∠B<∠C，>；（2）①見解析；②＜【分析】（1）①由HL證明Rt△ABD≌Rt△ACD可得結(jié)論；②由AB＞AC得∠C＞∠B即可得出結(jié)論；（2）①由SSS證明△ABD≌△ACD可得結(jié)論；②作輔助線證明△，得，∠，證得∠，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①證明：∵AD是BC邊上的高線∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB和Rt△ADC中∴Rt△ABD≌Rt△ACD∴∠BAD=∠CAD；②證明：∵AD是BC邊上的高線，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴∠B<∠C（在同一個三角形中，大邊對大角）．∴∠BAD>∠CAD．故答案為：∠B<∠C，>；（2）①證明：∵AD是BC邊上的中線∴BD=CD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如圖，延長AD至點E，使AD=ED，連接BE，∵AD是△