2018年數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題2.3函數(shù)奇偶性和周期性練習(xí)（含解析）文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題2.3函數(shù)奇偶性和周期性真題回放1?！?017高考新課標(biāo)2文14】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x時，,則【答案】12【解析】【考點解讀】本題為函數(shù)求值問題，可運用奇函數(shù)的性質(zhì)即；來解決，為基礎(chǔ)題。2.【2017高考北京文5】已知函數(shù)，則為（）（A）是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)（B)是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)(C）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)(D)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)【答案】A【考點解讀】本題為考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，由函數(shù)，可借助函數(shù)奇偶性的定義及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來分析處理。3.【2017高考天津文6】已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)。若，則的大小關(guān)系為(）（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】由題意：，且:，據(jù)此：，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有:，即。本題選擇C選項.【考點解讀】本題為函數(shù)奇偶性與單調(diào)性結(jié)合問題，可由為奇函數(shù)及單調(diào)遞增性質(zhì)，化為比較自變量，再運用指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，來比較大小。對知識綜合運用要求較高。4?！?017高考江蘇文14】設(shè)f(x)是定義在R且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上，其中集合D=，則方程f（x)—lgx=0的解的個數(shù)是.【答案】8【解析】解法一；由于只需考慮1≤x<10的情況，在此范圍內(nèi),解法二；∵在區(qū)間[0,1）上,,第一段函數(shù)上的點的橫縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，又f（x）是定義在R上且周期為1的函數(shù),∴在區(qū)間［1，2）上，，此時f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；同理:區(qū)間［2，3）上,f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間[3，4)上，f(x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間[4，5）上，f（x)的圖象與y=lgx有且只有一個交點；……區(qū)間［8，9）上,f（x)的圖象與y=lgx有且只有一個交點；在區(qū)間［9，+∞）上，f（x）的圖象與y=lgx無交點；故f（x)的圖象與y=lgx有8個交點；即方程f(x）﹣lgx=0的解的個數(shù)是8,【考點解讀】本題綜合考查了函數(shù)的周期性及零點問題，函數(shù)的圖象和性質(zhì)及轉(zhuǎn)化思想.對知識綜合運用能力要求較高,有相當(dāng)難度.（需注意對題中條件集合D的解讀）考點分析考點了解A掌握B靈活運用C奇偶性B周期性A高考對函數(shù)奇偶性與周期性的考查要求為掌握，以小題的形式進(jìn)行考查。有一定的綜合性,常與函數(shù)的求值，零點、圖像、解不等式等問題結(jié)合?？v觀近幾年的高考試題，主要考查以下兩個方面：一是考查函數(shù)的奇偶性、周期性的理解和運用;如函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)求值等。二是以性質(zhì)為載體解決函數(shù)零點問題，解不等式。解決問題中要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用。融會貫通題型一函數(shù)奇偶性的判斷典例1.（1)（2015年山東高考)下列判斷正確的是(）A。函數(shù)是奇函數(shù)B。函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)是偶函數(shù)D。函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】C（2）（2017浙江省嘉興市模擬)已知函數(shù)，，則的圖象為（）【答案】C【解析】由為偶函數(shù)，排除，當(dāng)時,，排除B．解題技巧與方法總結(jié)判斷函數(shù)奇偶性的兩個方法1．定義法;2．圖象法；【變式訓(xùn)練】1．(2015福建高考)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（)A．y＝eq\r(x） B．y＝|sinx｜C．y＝cosx D．y＝ex－e－x【答案】D2。(2017云南省昆明模擬)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，且|f(x)|是偶函數(shù)，則下則結(jié)論中正確的是（）A.f(x)是偶函數(shù)B。f(x)是奇函數(shù)C.|f(x-1)|的圖像關(guān)于直線x=1對稱D.|f(x)+1|的圖像關(guān)于（0，1）對稱【答案】C【解析】由題意得,例如f(x)=x，則|f(x)|是偶函數(shù)，此時f(x)是奇函數(shù),所以A不正確;例如f(x)=x2，則|f(x)|是偶函數(shù)，此時f(x)是偶函數(shù)，所以B不正確；例如f(x)=x,則|f(x)+1|=|x+1|是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，所以D不正確；由函數(shù)的圖象變換可知，函數(shù)y=f(x)向右平移1個單位，可得函數(shù)y=f(x-1)的圖象,又函數(shù)|f(x)|是偶函數(shù)，圖象關(guān)于x=0對稱，所以函數(shù)|f(x-1)|的圖象關(guān)于3．判斷下列函數(shù)的奇偶性．（1)f（x)＝eq\r(1－x2）＋eq\r（x2－1）;(2)f（x)＝eq\f(\r(4－x2）,｜x＋3|－3）；（3)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－x2＋x，x〉0，，x2＋x，x〈0.)）【答案】見解析知識鏈接：知識點1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x）＝f(x）,那么函數(shù)f(x）是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（－x）＝－f(x），那么函數(shù)f(x）是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱必會結(jié)論：函數(shù)奇偶性常用的結(jié)論①如果一個奇函數(shù)f(x）在原點處有定義，即f(x)有意義，那么一定有f（0)＝0；②如果函數(shù)f（x）是偶函數(shù),那么f(x）＝f(｜x|）；③在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶,奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇;④奇函數(shù)在兩個對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性．偶函數(shù)在兩個對稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．題型二函數(shù)周期性及應(yīng)用典例2。（1）（2017山東省威海模擬）周期為4的奇函數(shù)在上的解析式為；,則（）(A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因為函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，所以，則（2）（2017蘭州模擬）已知f（x)是定義在R上的偶函數(shù),并且f(x＋2)＝－eq\f（1，fx），當(dāng)2≤x≤3時，f（x）＝x，則f(105.5）＝________.【答案】2.5（3）(2016蘭州模擬)已知函數(shù)f（x）是(－∞，＋∞）上的奇函數(shù),且f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱,當(dāng)x∈［0，1]時，f（x）＝2x－1。①求證：f(x)是周期函數(shù);②當(dāng)x∈[1,2]時，求f（x)的解析式；③計算f（0)＋f（1)＋f(2)＋…＋f（2017）的值．【答案】見解析【解析】①證明：函數(shù)f（x)為奇函數(shù)，則f（－x)＝－f（x)，函數(shù)f（x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，則f(2＋x)＝f（－x）＝－f（x），所以f（4＋x）＝f［（2＋x)＋2］＝－f（2＋x）＝f（x），所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．②當(dāng)x∈[1，2]時，2－x∈［0，1]，又f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，則f(x)＝f（2－x)＝22－x－1，x∈[1，2]．③∵f（0）＝0,f（1）＝1,f（2)＝0，f(3)＝f(－1）＝－f(1)＝－1，又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．∴f(0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2017)＝f(2016）＋f（2017)＝f（0)＋f（1)＝1.解題技巧與方法總結(jié)函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用1．判定:判斷函數(shù)的周期性只需證明f（x＋T）＝f(x)（T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T.2．應(yīng)用：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì),在解決具體問題時,要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．【變式訓(xùn)練】1.（2017成都市第七中三診）．設(shè)是定義在上周期為2的奇函數(shù),當(dāng)時，，則（）A.B.C.D?！敬鸢浮緾【解析】由題意可知:.選C。2．（2017河北省巨鹿月考)已知對于任意的，都有，且，則（）A。B。C.D?！敬鸢浮緾3．（2017銀川模擬）設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f（x＋2）＝－f（x)．當(dāng)x∈［0,2]時，f(x)＝2x－x2.（1)求證:f(x）是周期函數(shù)；（2）當(dāng)x∈[2,4］時，求f（x）的解析式；(3)計算f（0）＋f(1)＋f（2）＋…＋f(2017）．【答案】見解析【解析】(1）證明:∵f（x＋2)＝－f（x）,∴f(x＋4）＝－f(x＋2)＝f（x)．∴f（x)是周期為4的周期函數(shù)．f(2015)＝0?！鄁（0)＋f(1）＋f(2）＋…＋f(2017）＝f(2016)＋f(2017)＝f(0)＋f（1）＝0＋1＝1。知識鏈接:知識點2函數(shù)的周期性1．周期函數(shù)；T為函數(shù)f（x）的一個周期，則需滿足的條件：(1)T≠0；（2）f(x＋T)＝f(x)對定義域內(nèi)的任意x都成立．2．最小正周期；如果在周期函數(shù)f（x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小的正數(shù)就叫做它的最小正周期．3．周期不唯一；若T是函數(shù)y＝f(x）的一個周期，則nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期，即f(x＋nT）＝f（x）．函數(shù)周期性常用結(jié)論;對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：①若f(x＋a）＝－f(x），則T＝2a（a〉0)；②若f（x＋a）＝eq\f(1，f(x）），則T＝2a（a〉0）；③若f（x＋a)＝－eq\f（1,f（x））,則T＝2a(a〉0)．對稱性的三個常用結(jié)論①若函數(shù)y＝f（x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a對稱;②若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f（x）或f(－x)＝f（2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝③若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f（x＋b）＝0,則函數(shù)y＝f（x)關(guān)于點（b，0)中心對稱．題型三函數(shù)奇偶性的應(yīng)用命題點1已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值典例3.（1)（2017重慶市巴蜀中學(xué)三模)定義在上的奇函數(shù)滿足,且當(dāng)時，，則（）A.-2B.2C。D.【答案】D【解析】由得函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且為奇函數(shù),故。（2）(2016杭州模擬）奇函數(shù)f（x)的定義域為R，若f（x＋2）為偶函數(shù)，且f（1）＝1，則f(8）＋f（9)＝()A．－2B．－1C．0 D．1【答案】D【解析】因為f(x＋2）為偶函數(shù)，f（x)是奇函數(shù)，所以f(x＋2）＝f（－x＋2)＝－f(x－2）,由f(x＋2)＝－f(x－2),得f（x＋4)＝－f(x)，所以f（x＋8)＝f（x)，所以f（8）＝f（0），f（9）＝f（1)＝1，所以f（8）＋f(9)＝0＋1＝1.命題點2與函數(shù)奇、偶性相關(guān)的不等式問題(3）（2017哈爾濱模擬）已知偶函數(shù)f(x）在區(qū)間[0,＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f（2x－1)<feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，3）)）的x的取值范圍是(）A。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，3）,\f(2，3）））B。eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,3），\f（2，3)))C。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2），\f(2，3)）)D.eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)，\f(2，3)））【答案】A【解析】因為f(x)是偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，又f（x）在［0，＋∞）上單調(diào)遞增，f（2x－1)〈feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，3））),所以|2x－1|〈eq\f（1,3)，所以eq\f（1，3）〈x<eq\f（2，3).（4)（2017蘭州高臺縣聯(lián)考）已知是上的偶函數(shù)，且在是減函數(shù)，若，則不等式的解集是（）A。B.C。D.【答案】C所以解得x〈?3或0<x<3,即不等式的解集為(?∞，?3）∪(0,3)。命題點3已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)（5)(2015全國卷Ⅰ)若函數(shù)f（x)＝xln（x＋eq\r（a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝________.【答案】1【解析】∵f（x)為偶函數(shù)，∴f(－x）－f(x）＝0恒成立，∴－xln(－x＋eq\r（a＋x2））－xln（x＋eq\r（a＋x2）)＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立,∴l(xiāng)na＝0，即a＝1.（6)（2017山東省鄄城縣月考）已知是奇函數(shù)，則的值為（）A。B.C。D.不能確定【答案】A【變式訓(xùn)練】（1）(2017河北省衡水中學(xué)三模）已知是上的奇函數(shù)，則的值為(）A.B。C.D.【答案】A【解析】因為是上的奇函數(shù),所以，得,。.故選A.（2）（2017四川三診）已知函數(shù)，不等式（其中）的解集是（）A.B。C。D.【答案】A(3）（2017四川宜賓二診)已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則有()A。B。C。D.【答案】B【解析】由題意得,因為，則，所以函數(shù)表示以為周期的周期函數(shù),又因為為奇函數(shù)，所以，所以，，，所以。知識鏈接：1。單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間，求單調(diào)區(qū)間定義域優(yōu)先．2.對?x1，x2∈D(x1≠x2)，eq\f（f（x1）－f（x2),x1－x2)〉0?f(x）在D上是增函數(shù),eq\f（f(x1)－f（x2)，x1－x2)〈0?f(x）在D上是減函數(shù)．3。函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，兩個（或兩個以上)同一類單調(diào)區(qū)間之間用“，”隔開，不能用“∪”連結(jié)．4。在區(qū)間D上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù)．5。函數(shù)f（g（x）)的單調(diào)性與函數(shù)y＝f（u)和u＝g(x）單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”．6。對勾函數(shù)y＝x＋eq\f（a，x)(a>0)的增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(－∞,－\r(a)))和eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r(a)，＋∞)），減區(qū)間為[－eq\r(a)，0）和eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\r（a)))。課本典例解析與變式例1。【必修1復(fù)習(xí)參考題P83B組第3題】對于函數(shù)，是否存在實數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)？【答案】存在，【解題反思】本題為存在性問題,可先假設(shè)存在。然后運用奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，建立方程求出的值。變式1。（2016浙江金華模擬)若函數(shù)為奇函數(shù),則實數(shù)的值為（)A. B.C。 D．1【解析】方法一：因為f(x)是奇函數(shù)，所以f（－x）＝－f（x）．因為f（x)＝eq\f(x，(2x＋1）（x－a）)＝eq\f（x,2x2＋（1－2a)x－a），所以eq\f（－x,2x2－（1－2a)x－a)＝eq\f（－x,2x2＋（1－2a）x－a）.所以－（1－2a）＝1－2a，所以1－2a＝0，所以a＝eq\f（1，2)。方法二:根據(jù)奇函數(shù)取特殊值求解；由已知f(x）為奇函數(shù)，得f（－1)＝－f（1)，即eq\f（－1,（－2＋1）（－1－a）)＝eq\f（－1,（2＋1）（1－a）），所以a＋1＝3(1－a)，解得a＝eq\f(1，2）.方法三:由解析式結(jié)構(gòu)分析;因為分子為奇函數(shù),則要使為奇函數(shù),則它的分母必是偶函數(shù),所以所以1－2a＝0，所以a＝eq\f(1,2）。變式2。(2017蘭州模擬)已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，的值為．【答案】【解析】,,，．變式3。（2017北京模擬)若函數(shù)是奇函數(shù)，則使成立的的取值范圍為（）（A)（）（B）（)（C)(D）【答案】C變式4.（2017上海市徐匯區(qū)二模）已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求實數(shù)的值;（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?)（2)【解析】試題分析：（1）因為函數(shù)是偶函數(shù),所以有，即求出的值；(2）分離參數(shù)，因為，所以不等式等價于，使得不等式恒成立，只要即可求出的范圍。【課本回眸反思】1。在復(fù)習(xí)解題訓(xùn)練中因注重對數(shù)學(xué)基本概念和性質(zhì)的理解；2．解題中應(yīng)該注重一題多解，一題多變，達(dá)到加深理解，靈活運用的目的,并提高復(fù)習(xí)效率。練習(xí)檢測1．(2017廣州模擬）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(）A．y＝x＋sin2xB．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f(1，2x）D．y＝x2＋sinx【答案】D【解析】令f(x)＝x2＋sinx，則f(1）＝1＋sin1,f(－1）＝1－sin1即f（－1)≠f（1）,f（－1）≠－f(1），所以y＝x2＋sinx，既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)，而A、B、C依次為奇函數(shù),偶函數(shù)，偶函數(shù)，故選D.考點；基本初等函數(shù)函數(shù)性質(zhì)的判斷2．(2017北京市西城區(qū)一模）函數(shù)定義在上,則曲線“過原點”是“為奇函數(shù)"的（）A。充分而不必要條件B。必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】函數(shù)定義在上，若為奇函數(shù)，則“曲線過原點”，反之不成立，例如，所以“曲線過原點"是“為奇函數(shù)”的必要而不充分條件，故選B?？键c；奇函數(shù)的定義及充要條件的判斷3.（2017銀川模擬）若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足,則有（)A．B．C．D．【答案】D考點;函數(shù)奇偶性與單調(diào)性及方程思想4.(2016湖北襄陽模擬）x為實數(shù)，［x]表示不超過x的最大整數(shù)，例;［—1。2]=—2，［0。9]=0，［1。8]=1則函數(shù)f(x)＝x－[x］在R上為（）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．增函數(shù) D．周期函數(shù)【答案】D【解析】作出函數(shù)f（x）的圖象,由圖象可知選D?？键c；函數(shù)奇偶性定義及數(shù)形結(jié)合思想.5．（2017河北省巨鹿中學(xué)月考）已知定義在上的奇函數(shù)滿足且,則方程在在區(qū)間內(nèi)整數(shù)根有()A。個B.個C.個D.個【答案】D【解析】由題可知函數(shù)的周期為4，由函數(shù)時R上奇函數(shù)故，所以，又故，又函數(shù)為奇函數(shù)所以，故方程在在區(qū)間內(nèi)整數(shù)根有1，3，4，5，7，8，9七個根.考點;函數(shù)奇偶性與周期性及函數(shù)的零點。6。(2017蘭州模擬）已知定義在R上的函數(shù)滿足條件；①對任意的，都有;②對任意的；③函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.則下列結(jié)論正確的是()A。B。C.D?！敬鸢浮緿考點;函數(shù)的奇偶性與周期性及單調(diào)性的綜合運用7．(2017銀川模擬）若函數(shù)f（x)＝eq\f（k－2x,1＋k·2x）在定義域上為奇函數(shù),則實數(shù)k＝________?！敬鸢浮俊窘馕觥恳族e分析：解題中忽視函數(shù)f（x）的定義域，直接通過計算f（0）＝0得k＝1。正解：∵，∴，由可得,∴．考點；函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)8．（2017山東省日照市二模）函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則的解集為__________．【答案】考點；函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)及二次不等式的解法9．（2017陜西省西藏民族學(xué)院附中）若定義在上