高斯定理在電磁學(xué)中的應(yīng)用 畢業(yè)論文

intint第頁，共頁intint目

錄1高斯理的表述1.1數(shù)學(xué)上的高斯公式1.2靜電場的高斯定理1.3磁場的高斯定理2斯定的證明法靜電場的高斯定理磁場的高斯定理2.2高斯定理的直接證明2.3高斯定理的另一種證明2.4對稱性原理及其在電磁學(xué)中的應(yīng)用

理解和用高斯定理注意的干問題的討與總結(jié)(a)定理中的E是指空間某處的總電場強度

q(b)注意dS

中E和dS的矢量性

0(c)正確理解定理中int

q(d)不能只從數(shù)學(xué)的角度理

E?dS

0(e)對高斯面的理解4高斯理的應(yīng)用4.1利用高斯定理求解無電介質(zhì)時電場的強度4.2利用高斯定理求解有電介質(zhì)時電場的強度5高斯定理推廣到有引力中5.1靜電場和萬有引力場中有關(guān)量的類比5.2萬有引力場中的引力場強度矢量5.3萬有引力場中的高斯定理6束語參考文

第頁，共20頁高斯定理電磁學(xué)中的用摘：斯定理是電磁學(xué)的一條重要定理，它不僅在靜電場中有要的應(yīng)用，而且也是麥克斯韋電磁場理論中的一個重要方程。本文比較詳細的介紹了高斯定理，并提供了數(shù)學(xué)法、直接證明等方法證明它，總結(jié)出應(yīng)用高斯定理應(yīng)注意的幾個問題，從中可以發(fā)現(xiàn)高斯定理在解決電磁學(xué)相關(guān)題時的方便之處。最后把高斯定理推廣到萬有引力場中去。關(guān)詞高斯定理，應(yīng)用，萬有引力場引高斯定理又叫散度定理高斯定在物理學(xué)研究方面用非常廣泛應(yīng)高斯定理求曲面積分、靜電場、非靜電場或磁場非常方便，特別是求電場強度或者磁感應(yīng)強度。雖然有時候應(yīng)用高斯理求解電磁學(xué)問題很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的運用高斯定理解決電磁學(xué)問題我們首先應(yīng)對高斯定理有一定的了解。高斯定的述1.1數(shù)學(xué)上高公設(shè)空間區(qū)域V由片光滑的雙側(cè)封閉曲面所圍成，若函數(shù)R在上續(xù)，且有一階連續(xù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，則

dxdydz

S

Pdydz

1其中的向為外發(fā)向1式稱為高斯公1.2靜電場高定一半徑為r球面包一位于球心的點電荷q，這個球面上，場的方向處處垂直于球面，且的大小相等,是

q40

r

2

。通過這個球面S的電通量為

ss

o

2

o

2

s

o

2

2

o其中

dS

是球面積分于4此中可以看出過面電通量只與其中的電量S有關(guān)，與高斯面的半徑r

無關(guān)。若將球面

S

變?yōu)槿我忾]合曲面，由電場線的連續(xù)性可知，通過該閉合曲面的電通量認(rèn)為

。若閉合曲面

S

內(nèi)是負電荷

，則的向處處與面元取相反，可計算穿過

S

面的電通

EEEssEEEssq量為

/

。若電荷

在閉合曲面

S

之外，它的電場線就會穿入又穿出

S

面，通過

S

面的電通量為零。如果閉合面

S

內(nèi)有若干個電荷

q23

由場強疊加原理可知過

S

面的電通量為e

iiii

i

i此式表明，在真空中的靜電場內(nèi)，通過任意一閉合曲面的電通量，等于包圍在該面內(nèi)的所有電的代數(shù)和的

分之一，這就是真空中的高斯定理。通常把閉合曲面

S

稱為高斯面，對于連續(xù)分的電荷，電荷體密度為，則上式可以表述為

s

o

1.3磁場的斯理由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進入一個閉合曲面的磁力線必定會從曲面內(nèi)部出來，否則這條磁力線就不會閉合了。如果對于一個閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進曲面的磁通量為負，出來的磁通量為正，那么就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為零。個規(guī)律類似于電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理。用式子表示：

s

與靜電場中的高斯定理相比較，兩者有著本質(zhì)上的區(qū)別。在靜電場中，由于自然界中存在著獨立的電荷，所以電場線有起點和終點，只要閉合面內(nèi)有凈余的正或者負電荷，穿過閉合面的通量就不等于零，即靜電場是有源場；而在磁場中，由于自然界中沒有單獨的磁極存在N

極和

極是不能分離的，磁感線都是無頭無尾的閉合線，所以通過任何閉合面的磁通量必等于零，即磁

場

是

無

源

場

。高斯定的明2.1高斯定的學(xué)明2.1.1靜電的斯理靜電場中高斯定理的證明主要分以下四種情況：(a)點電荷在球面中心，點荷q的電場強度為

E

14

o

qrr

球面的電通量為1qrrss

o

2

s

o

2

o

2－1(b)點電荷在任意閉曲面外，閉面的量為s

4os

1q1r4r3rsoos11rrr

(zdxdy)

2

qq333islqq333isld根據(jù)高斯公式

dxdydz

S

PdydzQdzdxRdxdy

2－3并考慮到

,Q,rrr3

在

內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)式可2－2式入2－3式得

Eosos

1rr31(xdydzzdxdy)r311xdydzydxdzr3rr3

q

o

V

x

y

(c)點電荷在任意閉曲面內(nèi)在任意閉曲面荷在閉曲面

內(nèi)以點電荷q為球心作一輔助球面的電通量為零，即：

1

，其法向朝內(nèi)，根據(jù)2－1式可點電

E

Esss

E

E

o

2－4其中式2－4中和大小相等，法向相反。1(d)點電荷系在閉曲面內(nèi)外設(shè)閉曲面內(nèi)的點電荷為

q,,……23

n

；閉曲面外的點電荷為

q

……上討論可得s

E

i

i

Ei

i

i這就是靜電場中的高斯定2.1.2磁場高定磁場中高斯定理的證明主要分以下四種情況：(a)電流元在面中心由磁通量的定義和畢奧—薩法爾定律

dB

o4

lr2

o

為了方便，把簡為，可

，所以r//Slrijk，所以r//Slrijkl得電流元的磁感應(yīng)強度對球面的磁通量為因為

lIooor4os

ror2

l(b)電流元在意閉曲面外電流元的磁感應(yīng)強度對閉曲面的磁通量為

Idloor因為

，并設(shè)

dl

，則

dlidlj代入原式得

o

lrIdlxo()r2r2r根據(jù)高斯公式

S

PdydzQdzdxRdxdy

同理可得

o4

lrlxo(dydzdxdz)r24r2r(c)電流元在意閉曲面內(nèi)以此類推，在閉曲面

內(nèi)，以電流元為球心作一輔助球面

，因為

Bs

所以

s(d)電流元在曲上由上述易知，所有的電流元在閉曲面上的磁通量也為零，即這正是磁場的高斯定2.2高斯定的接明

s

rrrorrSErr1dVrrrorrSErr1dVoorrrrdV11rSr圖如圖1所，電荷量為的電中任一點處的電荷密度為帶電體在空間點生的電場強為

,則由電場強度定義知該

2式中為原點位矢，1

為原點到場點的位矢。將對意閉合曲面求積分，即得

1

2s由2－5式可得14o

R

R

1由于算符是的分算符，與無關(guān)，故114o

11R4Voo

2－7式中最后一步用到了函數(shù)的篩選性，將式2－7代入式2－5中得：V

o

dV(1)當(dāng)電荷包在閉合曲面內(nèi)時，則

V

o

dV

o

r第頁，共20頁r(2)當(dāng)電荷

的不包含在閉合曲面

內(nèi)時，則V

o

dV

o由此高斯定理得證。2.3高斯定的一證圖如圖2所，設(shè)有一電量為孤立的正點電荷，現(xiàn)以點電荷所在處為球心，任r為徑作一球面為高斯面，球面上任意點的場強為

E

q

ro

方向沿徑向離開球心，和球面上該點的法

線

正

方

向

相

同

。

通

過

該

閉

合

曲

面

的

電

通

量

為

ss

ro

3

o

2

s

o

2

2

o

與半徑r無。這一結(jié)果根據(jù)電通量的定義表明,電為的點荷發(fā)出/條場線,由于通量與半0徑無關(guān)說電場線是不間斷的；若q為電荷,則明有q條電場線匯集到這個負點電荷上同這些電場線也是不間斷的場線是不間斷,面外電荷不影響閉合曲面的電通量?，F(xiàn)在我們設(shè)想這個點電荷不位于球心而位于球面內(nèi)任意點處那么以上分析同樣得穿過這個閉合球面的電通量亦為/我進一步想量為的電荷不是位于球面內(nèi)而是位于任0意的閉合曲面內(nèi),則同得到結(jié),通過個閉合曲面的電通量/。0若一閉合曲面內(nèi)包含N個點電荷,其中M()個是正,NM個是負的設(shè)M個正點電荷所帶的總電量為Q,則這個點電荷發(fā)出/M帶的總量為Q，則個點電荷匯集QN

條不間斷的電場線；NM個負點電荷0條不間斷的電場線電量的定,N發(fā)出的即穿出閉合曲面為,匯的即進人閉合曲面的為,所以過閉合曲面的電通量為e

s

EM

M

即

s

Mo

M

第頁，共20頁這里有可能出現(xiàn)面內(nèi)一些正電荷發(fā)出的電場線沒有穿出閉合曲面而直接匯集到負電荷上，也就是說，負電荷匯集的電場線不是由閉合曲面外來的，而是由閉合曲面內(nèi)來的，這并不影響我的結(jié)論。因此就一般情況而言，若任一閉合曲面內(nèi)包圍的凈余電荷為

qq,

，則穿過這個閉合曲面的電通量為

e

s

E

i

i

對稱原在磁中應(yīng)日常生活中常說的對稱，是指物體或一個系統(tǒng)各部分之間比例適當(dāng)、平衡、協(xié)調(diào)一致，從而產(chǎn)一種簡單性和美感。這種美來源于幾何確定性，來源于群體與個體的有機結(jié)合。數(shù)學(xué)、物理中對稱性是比具體事物的對稱性更深層次的對稱。物理學(xué)中的對稱性觀念可以概括為：如果某一象或系統(tǒng)在某一變換下不改變，則說該現(xiàn)象或系統(tǒng)具有改變換所對應(yīng)的對稱性。因此物理定律的對稱性又可以稱為不變性。所謂對稱性原理即為原因中的對稱性比反映在結(jié)果中，即結(jié)果中的對稱性至少有原因中的對稱性多樣性那樣多結(jié)中的不對稱性必在原因中有所反映，即原因中的不對稱性至少有結(jié)果中的不對稱性那樣多在不存在唯一性的情況下，原因中的對稱性必反映在全部可能的結(jié)果的集合中，即全部可能的結(jié)果的集合中的對稱性至少有原因中的對稱性那樣多。這個理是由皮埃爾·居里首先提出來的。這個原理指出然律反映了事物之間的因果關(guān)系原因等的結(jié)果“對稱的原因”導(dǎo)致稱的果例如：利用對稱性分析長直密繞載流螺線管內(nèi)磁感應(yīng)線的形狀。原因：螺線管對任意垂直于軸的平面鏡像對稱平行于軸的直線上的點具有平移對稱性，所以只有直于鏡面的分量。結(jié)果：B是矢量。鏡像變換后垂直分量不變，平行分量反向。對稱性與守恒律是密切聯(lián)系的，在電磁學(xué)中對稱性有著廣泛的作用，以下將從幾個方面分述對稱性在電磁學(xué)中的若干具體的應(yīng)用：例1：求一段長為2L，線電荷度λ的帶電細棒在中心軸線處P點所產(chǎn)生的場.設(shè)P點帶電細的垂直距離為l如1,分析一般而,場強是矢量場強需要解出每個分量的大小過此題有一個顯著的特點，就是帶電細棒關(guān)于其中垂線對稱，因此我們可以建立如圖所示坐標(biāo)系。得：

s1r1L第s1r1L其次，可以用對稱性結(jié)合靜電場高斯定理求解電場強度以及利用對稱性結(jié)合磁場的環(huán)路定理求解電場強度以及利用對稱性結(jié)合磁場的環(huán)路定理來求解磁場強度。靜電場的高斯定理是電磁學(xué)中一個重要定理，雖然定理本身并不涉及場源（帶電體）的對稱性，但是用它來求解對稱分布的帶電體的場強卻是學(xué)生必須掌握的內(nèi)容。在這一類題目中，仔分析帶電體的對稱性是問題的關(guān)鍵，因為我們需要根據(jù)帶電體的對稱性選取適當(dāng)高斯面。比如對球?qū)ΨQ帶電體系一般選球形高斯面，對柱對稱帶電體一般選取柱形高斯面，對平面對稱帶電（包括帶電薄板）一般選取封閉長方體形高斯面。例2如2在半徑為R1，帶體密度為ρ的均勻帶電球體內(nèi)挖去一個半徑為R2的球空腔。設(shè)空腔中心O2與電球體球心O1之間的距離為L，求空腔內(nèi)任一處的場強。分析對球?qū)ΨQ體系的處理我很熟悉，不過這里由于空腔的存在。體系不再具有“球?qū)ΨQ性”但是我們可以通過“補償法”將不對稱條件化為對稱條件，從而簡化問題。先用體密度為ρ半徑為R2的均帶電小球填充空腔，使球體變?yōu)橐煌暾膸щ娗颍ㄓ洖榍?用密度為ρ，半徑R2的均帶電小球（記為球2）置于空腔中,使得電荷分布與實際情況同。這樣，腔中任何一點的場強可用1，球所生的場強疊加來求解，即：

EP2設(shè)到P的位為r1由高斯定理得：

E1

3

解得：E3o同理，設(shè)O2到P的位矢為r2。高斯定理可以解得球2P點產(chǎn)生的場強為E3oEE12

o

E23o

o

磁場的安培環(huán)路定理與靜電場高斯定理一樣，本身的內(nèi)容不涉及電流體系的對稱性，但是具體計算則必定與一定對稱分布的電流體系相聯(lián)系。綜述，由上面的一些應(yīng)用舉例我們可以加深對對稱性概念的一些理解，事實上，對稱性已經(jīng)廣泛地應(yīng)用物理學(xué)及相關(guān)學(xué)科的各個方面，它不僅是現(xiàn)代物理理論的重要組成部分，更是人們識自然的一個重要理論工具。

第頁共頁此，高斯定理得正確解斯理高斯定理是靜電學(xué)中的一個重要定,反映了靜電場的一個基本性質(zhì),即靜電場是有源場,其源即是電荷述為:在靜電中,過任意閉合曲面的電通量,等該閉合曲面所包圍的電

q荷的代數(shù)和的

o

倍,與閉合曲面外的電荷無關(guān)。的表達式為：

E

int

o

是電磁學(xué)最基本的定理之一。其中,E表在閉合曲面上任一面處的電場強度,而E·dS則通過面元的場強度通量,就表

示通過整個閉合曲面S的場度通量

表示沿閉合

曲面S的分,習(xí)慣上稱S為斯面，高斯定理表:靜電場是有源的散,源頭在電荷所在處,由此確定的電場線起于正荷,終于負電荷。對高斯定理的理解和應(yīng)用不正確,常常會出現(xiàn)一些問題。如,高斯面上的是否完全由高斯面內(nèi)的電荷產(chǎn);如果

q

是必有E=0當(dāng)E處為零時,是否高斯內(nèi)一定無電;高斯定理是否在任何情況下都成;哪些問題用高斯定理解決會簡便一些等等.這就涉及是否對高斯定理理解正確,對其數(shù)學(xué)表達式的理解是否存在數(shù)學(xué)負遷移情況其,只對高斯定理注意掌握幾個要點，就能對上面的問題有比較清醒的認(rèn)識了理的是指空某的電強空間中某處的電場強度為空間中所有電荷所激發(fā)的電場在該處場強的矢量.若意作一個假想的閉合曲面高面通過該處,用E內(nèi)E外分別示高斯面內(nèi)的荷在高斯面上產(chǎn)生的

q場,則在該處的總場強E=E+E外由高斯定理:

E

int

o而從電場線的角度看,電場線始于正電荷終于負電荷,電場中的閉合曲面內(nèi)不含有電荷時,電場線僅穿過此閉合曲面,這些入閉合曲面的電場線總條數(shù)與穿出閉合曲面的電場線總條數(shù)相等,故通過整個閉合曲面的電場度通量為.所以

0

（指部場強）q故

E

E

int

o

（指部場強）即高定理對高斯面內(nèi)的電荷產(chǎn)生的場而言,成立.意

E

int

o

中和dS的量在對高斯定理的理解上常常出現(xiàn)不注意物理量的矢量性問題.有人認(rèn)為當(dāng)

q

時,由于int

第頁共頁dS

,所以必有.實際上,

q

,表明始于閉合曲面內(nèi)正電荷的場線與終于閉合曲面內(nèi)負電荷的電場線數(shù)相int等,則穿出閉合曲面的電場線數(shù)進入閉合曲面的電場線數(shù)相等,即通過整個閉合面的電場強度通量為零但這并不意味著閉合面上電場強度處處為.因:(1)高面上某處的場強是高斯面內(nèi)、外電荷在該處產(chǎn)生的場強的矢量和,所以,即便高斯面內(nèi)的

q

,也無法完全確定E=0;int(2)由和dS在中是矢量的標(biāo)積關(guān)系因此存在二者的方向問題,如E≠0,而它與dS的方向垂直,仍有故不能由

q

來判斷是否零。int確解理的

q

q

int是高斯面內(nèi)正、負電荷電量的代數(shù)和當(dāng)通過高斯面的電通量為零時,

q

這個結(jié)論既int

int可表明高斯面內(nèi)有電量相等的正、負電荷,可表明高斯面內(nèi)無電.因此,不能肯定高斯面內(nèi)一定無電荷

q能從學(xué)角理

E?dSint

0有些人在對高斯定理的數(shù)學(xué)表達式的理解上常出現(xiàn)“數(shù)學(xué)負遷移”問題,得出這樣的錯誤結(jié)論當(dāng)閉合曲面上E處為零時,不定有曲面內(nèi)電量的代數(shù)和

q

intdS內(nèi)s

?

外

?

=0；當(dāng)E0時,并不一定分別有內(nèi)0和E外由于始終有

外

?dS

,而E內(nèi)不一s定為零,所以：內(nèi)s

?

不一定為零,即閉合曲面上的處處為零時

int

q

不一定為零這顯然與高斯定理相.因當(dāng)處處零時必有

EdS

=0,即通過整個高斯面的電通量零,而高斯面外的電荷激發(fā)的電場通過整個高斯面的電通量為:

r2第頁共頁r2

外

?dS

,s所以必有高斯面內(nèi)電荷的電通量為:?這可以有兩種情:一是E內(nèi)0二是E內(nèi)≠0,但內(nèi)

內(nèi)

?

無論是s哪種情況,都有

q

。

sint從數(shù)學(xué)上講E=0時或E但dS=0必有

=0,而

q

=0時,E不定在高int斯面上處處為零,即數(shù)學(xué)上描述是E通而不是它完全是由高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和

int

q確定的從理上講,高斯面上點的是由所有電荷面內(nèi)面外所激發(fā)的高面理有些人提出這樣的問題:如電既不在高斯面內(nèi),也在高斯面外,而在高斯面上,高斯面上的場強怎樣計算？實際上,高面是一個幾何面它沒有厚薄之分,卻有內(nèi)外之分,電荷要么在高斯面內(nèi)包內(nèi)表面,要么高斯面(包括外表面)也就是說,必把高斯面作為幾何面,而把點電荷的點視為物理上的.6

高斯定理是平方反比定律的必然結(jié)果由于高斯定理是由點電荷間相互作用的平方反比定(庫侖定)得出的,所以高斯定理是點電荷作用力的平方反比定律的必然結(jié).?q如果庫侖定律F中,r的數(shù)不是2,而是n,則點電荷的場強大小應(yīng)表示:4?0

?

r

n0以點電荷為中心作半徑為r的面為高斯面則dSs

q

r

s

q

r

?

r

d

?0

r

n

?

=

0

?r

n從而得不到高斯定理的結(jié).所,有在點電荷作用力服從平方反比定律的條件之下高斯定理才成立,否則不成立.但目為止理論和實驗表明點電荷作用力的平方反比定律是相當(dāng)精確的.高斯定的用4.1利用高定求無介時電場度

q由于

E?dSint

中的E是dS處場強,而不是個高斯面上的場.所以,般來說

0高斯面上的場強并非一定處處相等,即E并不一定是恒矢量故無從積分號內(nèi)提出,因此難以用高斯定理計算出場強來.但選擇合適的高斯面,使電場強度E從積分號中提出來,就

第頁共頁能用高斯定理求解場強E了為,高斯面時應(yīng)注:(1)需場強的場點要在高斯面;(2)高面上各部分或者與場強E垂直或者與場強E平行或者與場強E有定的夾;(3)各分高斯面上垂直于高斯面的場強的大小應(yīng)各自為一常;(4)高面的形狀應(yīng)比較簡.為此,當(dāng)電場具有球?qū)ΨQ時,高面選為同心球面具有很強的軸對稱時,選同軸柱面;具有面對稱時,選為柱面,并使兩底與E垂直,面與平行由于作高斯面有如上限制,因此高斯定理只能求某些對稱分布電場的場.用斯定理求場強的步驟可歸納為：(1)分帶電體所產(chǎn)生的電場是否具有對稱分布的特;(2)選合適的高斯;(3)再高斯定理求電場的場強分高斯定理的微分形式

q從嚴(yán)格意義上,高斯定理表為

E?dSint

僅為場強對閉合曲面S通的累效應(yīng),凈余

0通數(shù)學(xué)上稱積分形式,不能算作方.因此,理解它所描述的靜電性質(zhì)上有一定難.如我們將任面縮小,并讓它趨于零,:

lim

E?,s是體積ΔV為界的閉合曲面,顯上式描述的是電場中某點的電場特征,定為某點電場強散度divE=

lim0

E?dS而

E?dS

int

q0

,

lim

故divE

這就是高斯定理的微分形式,在場中是點點對應(yīng)的關(guān).散度divE≠0之必有ρ≠0.這就清楚地表明了靜電場的重要性質(zhì):電場是有源場電力線總是起于正電荷而終止于負電荷.高斯定理的一個重要應(yīng)用是用來計算帶電體周圍電場的電場強度雖然高斯定理的適用范圍很廣，但用它求帶電體的電場分布時有很大的局限性，只對那些電荷分布高度對稱的帶電體

第頁共頁才能使用高斯定理求場強。在選擇高斯面時，應(yīng)注意：強E是面積元d處的，d的不同，也不強是全部帶電體系中（無論在高斯面內(nèi)還是在高斯面外）有電荷產(chǎn)生的總場強只對高斯面內(nèi)的電荷求和是因為高斯面外的電荷對總通量沒貢獻，ii但不是對場強沒有貢獻；斯內(nèi)所包圍的電荷等于零時，不定等于零，說明通過高斯面的電通量等于零；斯定理雖由庫侖定律引申而來，但它的適用范圍廣，而不論對靜止電荷還是運動電荷都適用但用必在電場具有某種對稱性（球軸面稱可；應(yīng)高斯定理時，除應(yīng)注意到場強具有對稱性外，對高斯面的選取還應(yīng)注意到：所選高斯應(yīng)平行電場線或垂直電場線；當(dāng)高斯面法向與電場線平行時，高斯面上的場E的大小應(yīng)處處相等，這樣可出積分號外，積分被簡化為對面元的取和。利用高斯定理求場強的一般步驟：（1進對稱性分析即由電分布的對稱性分析電場分布的對稱性判斷能否用高斯定理來求電場強度的分布（常見的對稱性有球?qū)ΨQ性、軸對稱性、面對稱性等解題的關(guān)鍵也是解題的難點；（2）根據(jù)場強分布的特點，作當(dāng)?shù)母咚姑?，要求：①待求場強的場點應(yīng)在此高斯面上，②穿過該高斯面的電通量容易計算；一般地，高斯面各面元的法線矢與

平行或垂直，n與E平行時，

的大小要求處處相等，使得E

能提到積分號外面；（3）計算電通量

E

和高斯面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和，最后由高斯定理求出場強。應(yīng)該指出，在某些情況下（對稱高定理是比較簡單的，但一般情況下，以點電荷場強公式和疊加原理以相互補充，還有其它的方法，應(yīng)根據(jù)具體情況選用。利用高斯定理，可簡地求得具有對稱性的帶電體場如球型圓柱形無限長和無限大平板型等的空間場強分布。計算的關(guān)鍵在于選取合適的閉合曲面——高斯面。高斯定理的應(yīng)用舉例例一：求無限長均勻帶電直線的電場分布，已知線上線電荷密度為

。圖解法一用侖定律求解）如圖3所示我們選擇電荷元dq

為長度

dl

上所帶電量，即

，

在點P

產(chǎn)生的元

x第頁共頁x場強的大小

0為計算該積分，首先必須統(tǒng)一積分變量。為便于計算，將變量

l

和r

統(tǒng)一用

表達。由圖3可知，

rsec

，

ltan

由ltan

又可以得dlR代dl及r

后，可得dE

40對于每一個正軸上的長一存在另一個對稱的負Y軸上的dl這兩個長度上的電荷元在點產(chǎn)生場強分量相抵，因此求總場強時我們只需對積分。注意dE，分限為和，則有2E

x

0

2

0

2

0

圖解法二用斯定理求解）帶電直線的電場分布具有軸對稱性，考慮離直線距離為R的點P處場強（如圖所示空各向同性而帶電線為無限長均勻帶電所電場分布具有軸對稱性因而點的電場方向唯一的可能是垂直于帶電直線而沿徑向，并且軸）上的各點的場強大小也都相等，而且方向都沿徑向。

點在同一圓柱面（以帶電直線為作一個通過P

點，以帶電直線為軸，高為

l

的圓筒形封閉面為高斯面

S

，通過

S

面的電通量為

e

E

E

t

E

E在S面上、下面（和S）上，場強方向與底面平行，因此，上式等號右側(cè)后面兩項等于tb零。而在側(cè)面（S）上各點的方向與各該點的法線方向相同以有1

E

E

dSE

Rl

此封閉面內(nèi)包圍的電荷

qint

l

00121’2第頁共頁00121’2由高斯定理得由此得

E

由上所述，解法一與解法二的結(jié)果相同，由解法一和解法二比較可知，當(dāng)條件允許時，利用高定理計算場強分布要簡便得多。4.2利用高定求有介時電場度在電介質(zhì)中，由電場引起的極化電荷會激發(fā)附加電場，使原電場發(fā)生改變，反過來又會影響極情況。如此相互影響，最終達到平衡。在直接計算空間場強時會遇到如下困難：要由電荷分布場強

，必須同時知道自由電荷及極化電荷的密度，而極化電荷密度取決于極化強度

【

，

'P21n

又取決于

（

P0

就乎形成計算上的循環(huán)。高斯定理通過列出有關(guān)

、

、

、

的數(shù)量足夠的方程，然后聯(lián)立求解，同時引入一個新矢量場

D以去，方便求解。當(dāng)空間有電介質(zhì)時，只要把自由電荷和極化電荷同時考慮在內(nèi)，可以得到有電介質(zhì)的高斯定理

Dq其中

0

E

.如圖1所設(shè)有一厚度為b的限大均勻介質(zhì)平板中有體密度為的均勻分布自由電荷平板的相對介電常數(shù)兩分別充相對介電常數(shù)為和的勻介rr1r2質(zhì)要板內(nèi)外的電場強度E，首先分析介質(zhì)平板中激發(fā)電場的電荷分布，因介板內(nèi)

r

r有自由電荷

，在自由電荷處對應(yīng)的極化電荷密度為rr

圖總電荷體密度為0r因此，平板中電荷為均勻分布.外，在介質(zhì)板兩側(cè)為不同的介質(zhì)，由于，r1r2故在兩界面上的極化電荷面密度.板內(nèi)存在一個電場強度E的面OO，妨稱它零電場此面的電位移矢量D,如圖2.以O(shè)O'面為基面向兩側(cè)作底面積為,垂直O(jiān)O'面伸出平板外的柱,柱體的表面為高斯,根對稱性與D方向垂直介質(zhì)板的表因此高斯面?zhèn)让娴碾娡繛?.兩個斯面包圍的自由電荷的電荷量分別為和.根據(jù)介質(zhì)中高斯定,求得介質(zhì)板兩102

Dr

OMxOM

Dr圖

1nn11rr第頁共頁1nn11rr側(cè)的電位移矢量為e,11n兩側(cè)的電場強度為E0,E02e0r10r單位矢

e

的方向為背向介質(zhì)板表,如圖示,質(zhì)板兩側(cè)的電場的大小相等即

E1

.因而b1r1

b2r因

b2

,求得零電場面的位置br,r1r2

r1

br

r用

i

表示方向向右的單位,則板外側(cè)介質(zhì)的電場為b00r

r

)

i同理,以零電場面為基面在板內(nèi)作底面積為S為的高面得介質(zhì)板內(nèi)電位移矢量為D

0

xi板內(nèi)的電場強度為內(nèi)

x00r

i式中為內(nèi)場點的坐標(biāo)將高定推到有力中5.1靜電場萬引場有量類比靜電學(xué)中的庫侖定律：

F

112r20

5牛頓萬有引力定律：

F

2r2

5以上5－15兩在數(shù)學(xué)形式上完全等同。比較兩式可得如下結(jié)論eq\o\ac(○,)學(xué)

1

相當(dāng)于力學(xué)中的

，為了記憶的方便，我們記為

1

0

（下同）于是有

第頁共頁1

5－3上式中8.85(2()當(dāng)于力學(xué)中的質(zhì)量，是有q5.2萬有引場的力強矢量靜電場中點電荷在電場中受到的電場力為經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點在引力場中受到的重力為P

eq\o\ac(○,2)電學(xué)中電荷q

相55－55－6和電場強度類似，在萬有引力場中定義一個引力場強度矢量（以下簡稱引力場強）g，則E

5－7且規(guī)定：試探質(zhì)點在引力場中某點受到的力f

與其質(zhì)量之比定義為引力場中該點的引力場強如果已知引力場中某點的引力場強g5.3萬有引場的斯理

fg，則質(zhì)點在該處受到的引力可由下式給出fmg

55一般說來，引力場中的某點的是點位置r的矢量函數(shù)，對于多個質(zhì)點產(chǎn)生的引力場，引力場強滿足疊加原理。有了萬有引力場強的定義后，就可以仿照電通量的概念，在引力場中e定義引力場強通量對面積微元的引力場強通量dcos力場強g與面積微元S的角，因此，對某面S的總引力場強通量為

其是

5有了引力場強通量的概念，就可以討論穿過閉合曲面引力場強通量的問題。仿照電場中高斯定理的證