階段復(fù)習(xí)課統(tǒng)計(jì)案例

統(tǒng)計(jì)案例張小玉回歸分析【例1】為研究某種圖書每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(元)與印刷數(shù)x(千冊(cè))的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并作了初步處理，得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(u)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(ui－eq\x\to(u))2eq\i\su(i＝1,8,)(ui－eq\x\to(u))(yi－eq\x\to(y))2－其中ui＝eq\f(1,xi)，eq\x\to(u)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,u)i.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：y＝a＋bx與y＝c＋eq\f(d,x)哪一個(gè)更適宜作為每?jī)?cè)成本費(fèi)y(元)與印刷數(shù)x(千冊(cè))的回歸方程類型？(只要求給出判斷，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(回歸系數(shù)的結(jié)果精確到；(3)若每?jī)?cè)書定價(jià)為10元，則至少應(yīng)該印刷多少千冊(cè)才使銷售利潤(rùn)不低于78840元？(假設(shè)能夠全部售出，結(jié)果精確到1)(附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(ω1，v1)(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up9(^))＝eq\o(a,\s\up9(^))＋eq\o(β,\s\up9(^))ω的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(β,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ωi－\x\to(ω)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ωi－\x\to(ω)2)，eq\o(α,\s\up9(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up9(^))eq\x\to(ω).)[思路點(diǎn)撥](1)借助散點(diǎn)圖求解；(2)令u＝eq\f(1,x)→建立y關(guān)于u的回歸方程→建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)建立利潤(rùn)函數(shù)f(x)，解f(x)≥得x的范圍．[解](1)由散點(diǎn)圖判斷，y＝c＋eq\f(d,x)適宜作為每?jī)?cè)成本費(fèi)y(元)與印刷冊(cè)數(shù)x(千冊(cè))的回歸方程．(2)令u＝eq\f(1,x)，先建立y關(guān)于u的線性回歸方程，由于eq\o(d,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)2)＝eq\f,≈，∴eq\o(c,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up9(^))·eq\x\to(u)＝－×≈，∴y關(guān)于u的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝＋，從而y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝＋eq\f,x).(3)假設(shè)印刷x千冊(cè)，依題意：10x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1＋\f,x)))·x≥.即≥，解得x≥10，∴至少印刷10千冊(cè)才能使銷售利潤(rùn)不低于78840元．求線性回歸方程的基本步驟提醒：對(duì)非線性回歸問(wèn)題應(yīng)利用變量代換，把問(wèn)題化為線性回歸分析問(wèn)題，使之得到解決．1．在一段時(shí)間內(nèi)，某種商品的價(jià)格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：x(元)1416182022y(件)1210753且知x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞．[解]eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(12＋10＋7＋5＋3)＝，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝122＋102＋72＋52＋32＝327，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(620－5×18×,1660－5×182)＝－，所以eq\o(a,\s\up9(^))＝＋×18＝，所以y對(duì)x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝－＋，列出殘差表為yi－eq\o(y,\s\up9(^))i0－－yi－eq\x\to(y)－－－所以eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up9(^))i)2＝，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝，R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up9(^))i2,\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2)≈.所以R2≈，擬合效果較好.獨(dú)立性檢驗(yàn)【例2】戶外運(yùn)動(dòng)已經(jīng)成為一種時(shí)尚運(yùn)動(dòng)，某單位為了了解員工喜歡戶外運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，決定從本單位全體650人中采用分層抽樣的辦法抽取50人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：喜歡戶外運(yùn)動(dòng)不喜歡戶外運(yùn)動(dòng)總計(jì)男性5女性10總計(jì)50已知在這50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的員工的概率是eq\f(3,5).(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(2)求該公司男、女員工各多少人；(3)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下能否認(rèn)為喜歡戶外運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？并說(shuō)明你的理由．下面的臨界值表僅供參考：P(K2≥k0)k0(參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)[解](1)因?yàn)樵谌?0人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的員工的概率是eq\f(3,5)，所以喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的男女員工共30人，其中男員工20人，列聯(lián)表補(bǔ)充如下：喜歡戶外運(yùn)動(dòng)不喜歡戶外運(yùn)動(dòng)總計(jì)男性20525女性101525總計(jì)302050(2)該公司男員工人數(shù)為25÷50×650＝325(人)，則女員工有325人．(3)K2的觀測(cè)值k＝eq\f(50×20×15－10×52,30×20×25×25)≈>，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為喜歡戶外運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟1．提出假設(shè)H0：Ⅰ和Ⅱ沒(méi)有關(guān)系；2．根據(jù)2×2列聯(lián)表計(jì)算K2的觀測(cè)值；3．根據(jù)K2的觀測(cè)值與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計(jì)推斷．2．研究人員選取170名青年男女大學(xué)生的樣本，對(duì)他們進(jìn)行一種心理測(cè)驗(yàn)．發(fā)現(xiàn)有60名女生對(duì)該心理測(cè)驗(yàn)中的最后一個(gè)題目的反應(yīng)是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的項(xiàng)目上作肯定的有22名，否定的有88名．問(wèn)：性別與態(tài)度之間是否存在某種關(guān)系？分別用條形圖和獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷．[解]建立性別與態(tài)度的2×2列聯(lián)表如下：肯定否定總計(jì)男生2288110女生223860總計(jì)44126170根據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)，可求出男生中作肯定態(tài)度的頻率為eq\f(22,110)＝，女生中作肯定態(tài)度的頻率為eq\f(22,60)≈.作等高條形圖如圖，其中兩個(gè)深色條形的高分別表示男生和女生中作肯定態(tài)度的頻率，比較圖中深色條形的高可以發(fā)現(xiàn)，女生中作肯定態(tài)度的頻率明顯高于男生中作肯定態(tài)度的頻率，因此可以認(rèn)為性別與態(tài)度有關(guān)系．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到K2的觀測(cè)值k＝eq\f(170×22×38－22×882,110×60×44×126)≈>.因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為性別和態(tài)度有關(guān)系.獨(dú)立性檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用【例3】為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗(yàn)，將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.(1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同組的概率；(2)下表1和表2分別是注射藥物A和B后的試驗(yàn)結(jié)果．(皰疹面積單位：mm2)表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80]頻數(shù)30402010表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85]頻數(shù)1025203015完成下面2×2列聯(lián)表皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計(jì)注射藥物Aa＝b＝注射藥物Bc＝d＝合計(jì)n＝[解](1)甲、乙兩只家兔分在不同組的概率為p＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(99,198),C\o\al(100,200))＝eq\f(100,199).(2)2×2列聯(lián)表如下．皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計(jì)注射藥物Aa＝70b＝30100注射藥物Bc＝35d＝65100合計(jì)10595n＝2001．(改變問(wèn)法)本例條件不變，改變問(wèn)法：是否有99%的把握認(rèn)為注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異？[解]根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到K2的觀測(cè)值k＝eq\f(200×70×65－35×302,100×100×105×95)≈.由于K2＞，所以有99%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”．2．(改變問(wèn)法)在本例(2)中完成如圖所示的頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大?。甧q\a\vs4\al(圖Ⅰ注射藥物A后皮膚,皰疹面積的頻率分布直方圖)eq\a\vs4\al(圖Ⅱ注射藥物B后皮膚,皰疹面積的頻率分布直方圖)[解]如圖所示圖Ⅰ注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖圖Ⅱ注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖可以看出注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù)．1．獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，是對(duì)實(shí)際生活中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的一種方法，通過(guò)這種分析得出的結(jié)論對(duì)實(shí)際生活或者生產(chǎn)都有一定的指導(dǎo)作用．2．近幾年高考中較少單獨(dú)考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)常與統(tǒng)計(jì)、概率等知識(shí)綜合，頻率分布表、頻率分布直方圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)融合在一起是常見的考查形式，一般需要根據(jù)條件列出2×2列聯(lián)表，計(jì)算K2的觀測(cè)值，從而解決問(wèn)題．3．某學(xué)生對(duì)其親屬30人的飲食進(jìn)行了一次調(diào)查，并用如圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)．(說(shuō)明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主)(1