矩形中的折疊問題20200508

課前準備

期中模擬四1.學案P21-222.練習本請大家坐到書桌前！山東師范大學第二附屬中學孟慶玲矩形中的折疊問題小專題（一）

例1：如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，將矩形紙片折疊，使點C與點A重合，請在圖中畫出折痕，并求折痕的長．情境創(chuàng)設(shè)問題驅(qū)動敲黑板：對應點的連線被折痕（對稱軸）垂直平分.探究1：如圖,將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C落在F處，BF交AD于點E.你能得到哪些結(jié)論？1、全等三角形：

△FBD≌△CBD;△ABE≌△FDE

敲黑板：角平分線與平行線組合時,能得到等腰三角形2、相等的線段：BF=BC=AD;DF=DC=AB;AE=FE;BE=DE3、相等的角：∠FBD=∠CBD;∠FDB=∠CDB;∠BAE=∠DFE;∠EBD=∠EDB

…

4、重要結(jié)論：

△BED是等腰三角形探求發(fā)現(xiàn)形成新知小結(jié)：折疊過程實質(zhì)上是一個軸對稱變換，折痕就是對稱軸，變換前后兩個圖形全等；對應點的連線被折痕（對稱軸）垂直平分.知識歸納拓展應用

1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為（）A．12 B．10 C．8 D．6B。

小結(jié)：在矩形的折疊問題中，求線段長問題，一般設(shè)未知數(shù)，找到相應的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解決問題。知識歸納拓展應用

2．如圖，已知長方形紙片ABCD，點E是AB的中點，點G是BC上一點，∠BEG＝60°．沿直線EG將紙片折疊，使點B落在紙片上的點H處，連接AH，則與∠BEG相等的角的個數(shù)為（）A．5 B．4 C．3 D．2A知識歸納拓展應用

3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，連接CF，則CF的長為（）D重點考點：折疊前后對應點的連線被折痕（對稱軸）垂直平分.知識歸納拓展應用

4.如圖，將矩形ABCD沿直線EF對折，點D恰好與BC邊上的點H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度數(shù)等于

．56°知識歸納拓展應用

5.在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，折痕DF交BC于點F．（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；解:（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC∴∠ABD＝∠CDB，由折疊的性質(zhì),∴∠EBD＝∠BDF，又∵AD∥BC∴BE∥DF∴四邊形BFDE為平行四邊形；在Rt△ABE中，由勾股定理得，x2+22=（2x）2解得x=知識歸納拓展應用

5.在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，折痕DF交BC于點F．（2）若四邊形BFDE為菱形，且AB＝2，求BC的長．解：∵四邊形BFDE為菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，AB＝2，∴設(shè)AE=x，則BE=2x∴BE＝2AE＝∴BC＝AD＝AE+ED＝AE+BE＝＝知識歸納拓展應用

6.將矩形OABC置于平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），點C的坐標為（m，0）（m＞0），點D（m，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點B落在坐標平面內(nèi)，設(shè)點B的對應點為點E．（1）當m＝3時，求點B的坐標和點E的坐標；（自己重新畫圖）

在Rt△CDE中，知識歸納拓展應用

6.將矩形OABC置于平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），點C的坐標為（m，0）（m＞0），點D（m，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點B落在坐標平面內(nèi)，設(shè)點B的對應點為點E．（2）隨著m的變化，試探索：點E能否恰好落在x軸上？若能，請求出m的值；若不能，說明理由．（2）點E能恰好落在x軸上．理由如下：∵四邊形OABC為矩形，∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCE＝90°，由折疊性質(zhì)可得：DE＝BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3，AE＝AB＝OC＝m，在Rt△AOE中，OA2+OE2＝AE2，如圖1，點E恰好落在x軸上，知識歸納拓展應用7.如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10．（1）求矩形ABCD的周長；（2）E是CD上的點，將△ADE沿折痕AE折疊，使點D落在BC邊上點F處．①求DE的長；

∴FC＝4，在Rt△ECF中，42+（8﹣DE）2＝EF2，知識歸納拓展應用7.如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10．E是CD上的點，將△ADE沿折痕AE折疊，使點D落在BC邊上點F處．

(2)②點P是線段CB延長線上的點，連接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的長．

解：②分三種情形討論：當AP＝AF時，∵AB⊥PF，∴PB＝BF＝6當PF＝AF時，則PF＝AF=10，∴PB=PF-BF=10-6=4當AP＝PF時，設(shè)PB=x在Rt△APB中，AP2＝PB2+AB2＝x2+82∴x2+82＝（x+6）2解得x＝綜上所述，PB＝6或4或問題變式思維提升

例2：如圖,矩形紙片ABCD中,AB=3cm,AD=4cm，點E、F分別在矩形ABCD的邊AB、AD上，將△AEF沿EF折疊，使點A′落在BC邊上,當折痕EF移動時，點A′在BC邊上也隨之移動。則A′C的范圍為

1≤A′C≤331443敲黑板：點E、F分別在AB、AD上移動，可畫出兩個極端位置時的圖形。知識歸納拓展應用7.如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10．E是CD上的點，將△ADE沿折痕AE折疊，使點D落在BC邊上點F處．（3）M是AD上的動點，在DC上存在點N，使△MDN沿折痕MN折疊，點D落在BC邊上點T處，求線段CT長度的最大值與最小值之和．解：（3）當點N與C重合時，所以線段CT長度的最大值與最小值之和為：8+4=12．CT取最大值是8當點M與A重合時，CT取最小值為4，學習小結(jié)，反思提升1.折疊過程實質(zhì)上是一個軸對稱變換，折痕就是對稱軸，變換前后兩個圖形全等;對應點的連線被折痕(對稱軸)垂直平分.2.求折疊問題中的線段的長的方法一般有：設(shè)未知數(shù)后，利用勾股定理、面積法解決問題。今后我們還會學習更多解決折疊問題的方法）3.在折疊問題中，若直接解決較困難時，有時還可采用動手操作，通過折疊觀察得出問題的答案。當堂檢測學以致用布置作業(yè)數(shù)學作業(yè)：1、學案P36-372、整理小專題（一）3、選做題：如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE