空間幾何體的表面積和體積球、柱、錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式及其應(yīng)用

空間幾何體的外表積和體積球、柱、錐、臺(tái)的外表積和體積的計(jì)算公式及其應(yīng)用

二.課標(biāo)要求：了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的外表積和體積的計(jì)算公式。

三.命題走向近些年來(lái)在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問(wèn)題，也有面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問(wèn)題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問(wèn)題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根本幾何體的求積問(wèn)題，會(huì)用體積轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題，會(huì)把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法〞等求解。由于本講公式多反映在考題上，預(yù)測(cè)2021年高考有以下特色：〔1〕用選擇、填空題考查本章的根本性質(zhì)和求積公式；〔2〕考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題；

［教學(xué)過(guò)程］〔一〕根本知識(shí)要點(diǎn)回憶1.多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積〔S側(cè)〕全面積〔S全〕體積〔V〕棱柱棱柱直截面周長(zhǎng)×lS側(cè)+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱ChS底·h棱錐棱錐各側(cè)面面積之和S側(cè)+S底S底·h正棱錐ch′棱臺(tái)棱臺(tái)各側(cè)面面積之和S側(cè)+S上底+S下底h〔S上底+S下底+〕正棱臺(tái)

〔c+c′〕h′表中S表示面積，c′、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表示高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng)。2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球S側(cè)2πrlπrlπ〔r1+r2〕l

S全2πr〔l+r〕Πr〔l+r〕π〔r1+r2〕l+π〔r21+r22〕4πR2Vπr2h〔即πr2l〕πr2hπh〔r21+r1r2+r22〕πR3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺(tái)上、下底面半徑，R表示半徑。

【典型例題】例1.一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是20cm2，所有棱長(zhǎng)的和是24cm，求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高、對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm、ycm、zcm、lcm依題意得：

由〔2〕2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36〔3〕由〔3〕－〔1〕得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4〔cm〕。點(diǎn)評(píng)：涉及棱柱面積問(wèn)題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長(zhǎng)方體的外表積多被考查。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素〔對(duì)角線、內(nèi)切〕與面積、體積之間的關(guān)系。

例2.如下圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=?！?〕求證：頂點(diǎn)A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上；〔2〕求這個(gè)平行六面體的體積。解：〔1〕如圖，連結(jié)A1O，那么A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連結(jié)A1M，A1N。由線面垂直得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA，∴A1M=A1N，從而OM=ON?！帱c(diǎn)O在∠BAD的平分線上。〔2〕∵AM=AA1cos=3×=∴AO==。又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12–AO2=9－=，∴A1O=，平行六面體的體積為。點(diǎn)評(píng)：垂直問(wèn)題的證明和柱體的體積公式的應(yīng)用。

例3.〔2000全國(guó)，3〕一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是〔

〕A.2

B.3

C.6

D.解：設(shè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三邊長(zhǎng)分別為a=1，b＝，c＝，那么對(duì)角線l的長(zhǎng)為l=；答案D。點(diǎn)評(píng)：解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素—棱長(zhǎng)。

例4.如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，假設(shè)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩局部，那么V1∶V2=____

_。解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，那么V=V1+V2＝Sh?！逧、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴S△AEF=S，V1=h〔S+S+〕=ShV2=Sh-V1=Sh，∴V1∶V2=7∶5。點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺(tái)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。

例5.〔2002京皖春文，19〕在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5?！踩鐖D所示〕〔Ⅰ〕證明：SC⊥BC；〔Ⅱ〕求三棱錐的體積VS－ABC。解析：〔Ⅰ〕證明：∵∠SAB=∠SAC=90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC。又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC。由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴BC⊥平面ASC，得BC⊥SC?！并颉辰猓涸赗t△SAC中，∵SA=，S△ABC=·AC·BC=×5×5=，∴VS－ABC=·S△ACB·SA=。點(diǎn)評(píng)：此題比擬全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。

例6.ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFC的距離？解：如圖，取EF的中點(diǎn)O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B－EFG。設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h，BD＝，EF，CO＝。

。而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。由，得·GC點(diǎn)評(píng)：該問(wèn)題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為體積問(wèn)題來(lái)求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，△EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算?！驳润w積法〕

例7.〔2006江西理，12〕如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球〔與四個(gè)面都相切的球〕球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩局部，設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的外表積分別是S1，S2，那么必有〔

〕A.S1S2

B.S1S2

C.S1=S2

D.S1，S2的大小關(guān)系不能確定解：連OA、OB、OC、OD，那么VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD+VO-ADFVA－EFC＝VO－AFC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，而每個(gè)錐體的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABD＋SABE＋SBEFD+SADF＝SAFC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，應(yīng)選C點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)復(fù)合平面圖形的分割過(guò)程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、外表積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

例8.〔1〕〔1998全國(guó)，9〕如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S、S′，中截面的面積是S0，那么〔

〕A.

B.

C.2S0＝S＋S′

D.S02＝2S′·S〔2〕〔1994全國(guó)，7〕正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，高為2，那么其體積為〔

〕A.32

B.28

C.24

D.20解：〔1〕設(shè)該棱臺(tái)為正棱臺(tái)來(lái)解即可，答案為A；〔2〕正六棱臺(tái)上下底面面積分別為：S上＝6··22＝6，S下＝6··42＝24，V臺(tái)＝，答案B。點(diǎn)評(píng)：此題考查棱臺(tái)的中截面問(wèn)題。根據(jù)選擇題的特點(diǎn)此題選用“特例法〞來(lái)解，此種解法在解選擇題時(shí)很普遍，如選用特殊值、特殊點(diǎn)、特殊曲線、特殊圖形等等。

例9.〔2000全國(guó)理，9〕一個(gè)圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是〔

〕A.

B.

C.

D.解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，那么由題設(shè)知h=2πr.∴S全=2πr2+〔2πr〕2=2πr2〔1+2π〕.S側(cè)=h2=4π2r2，∴。答案為A。點(diǎn)評(píng)：此題考查圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖、側(cè)面積和全面積等知識(shí)。

例10.〔2003京春理13，文14〕如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.假設(shè)放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，那么=

。解：水面高度升高r，那么圓柱體積增加πR2·r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有πr3=πR2r。故。答案為。點(diǎn)評(píng)：此題主要考查旋轉(zhuǎn)體的根底知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問(wèn)題的能力。

例11.〔1〕〔2002京皖春，7〕在△ABC中，AB=2，BC，∠ABC=120°〔如下圖〕，假設(shè)將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是〔

〕A.π

B.π

C.π

D.π〔2〕〔2001全國(guó)文，3〕假設(shè)一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，那么這個(gè)圓錐的全面積是〔

〕A.3π

B.3π

C.6π

D.9π解：〔1〕如下圖，該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐C—ADE與圓錐B—ADE體積之差，又∵求得AB=1?！?，答案D?！?〕∵S＝absinθ，∴a2sin60°＝，∴a2＝4，a＝2，a=2r，∴r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)識(shí)圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。

例12.過(guò)球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的外表積。解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，那么，在中，，∴，∴，∴。點(diǎn)評(píng)：正確應(yīng)用球的外表積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。

例13.如下圖，球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的外表積。解：如圖，設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d。在三棱錐P—ABC中，∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，∴AB=BC=CA=a，且P在△ABC內(nèi)的射影即△ABC的中心O′。由正弦定理，得

=2r，∴r=a。又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共線，球的半徑R=。又PO′===a，∴OO′=R－a=d=，〔R－a〕2=R2–〔a〕2，解得R=a，∴S球=4πR2=3πa2。點(diǎn)評(píng)：此題也可用補(bǔ)形法求解。將P—ABC補(bǔ)成一個(gè)正方體，由對(duì)稱性可知，正方體內(nèi)接于球，那么球的直徑就是正方體的對(duì)角線，易得球半徑R=a，下略。

例14.〔1〕〔2006四川文，10〕如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，那么球的外表積是〔

〕A.

B.

C.

D.〔2〕半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，假設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，求球的外表積和體積。解：〔1〕如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的外表積是，選D。〔2〕作軸截面如下圖，，，設(shè)球半徑為，那么

∴，∴，。點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式，解題的關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素。

例15.外表積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的外表積。解：設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為，那么作軸截面如圖，，，又∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)評(píng)：作軸截面把立體幾何中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題。

例16.〔1〕我國(guó)首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長(zhǎng)度等于多少？〔地球半徑大約為〕〔2〕在半徑為的球面上有三點(diǎn)，，求球心到經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的截面的距離。解：〔1〕如圖，是北緯上一點(diǎn)，是它的半徑，∴，設(shè)是北緯的緯線長(zhǎng)，∵，∴答：北緯緯線長(zhǎng)約等于.〔2〕設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的截面為⊙，設(shè)球心為，連結(jié)，那么平面，∵，∴，所以，球心到截面距離為.點(diǎn)評(píng)：了解經(jīng)緯的數(shù)學(xué)意義，抓住球中的直角三角形求解。

例17.在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)為〔為地球半徑〕，求兩點(diǎn)間的球面距離。解：設(shè)北緯圈的半徑為，那么，設(shè)為北緯圈的圓心，，∴，∴，∴，∴，∴中，，所以，兩點(diǎn)的球面距離等于.點(diǎn)評(píng)：要求兩點(diǎn)的球面距離，必須先求出兩點(diǎn)的直線距離，再求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)而求出這兩點(diǎn)的球面距離。

［思維總結(jié)］1.正四面體的性質(zhì)

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，那么這個(gè)正四面體的〔1〕全面積：S全=a2；〔2〕體積：V=a3；〔3〕對(duì)棱中點(diǎn)連線段的長(zhǎng)：d=a；〔4〕內(nèi)切球半徑：r=a；

〔5〕外接球半徑：R=a；〔6〕正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值〔等于正四面體的高〕。2.直角四面體的性質(zhì)

有一個(gè)三面角的各個(gè)面角都是直角的四面體叫做直角四面體。直角四面體有以下性質(zhì)：如圖，在直角四面體AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a，OB=b，OC=c。那么：①不含直角的底面ABC是銳角三角形；②直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是△ABC的垂心；③體積

V=abc；④底面S△ABC=；⑤外切球半徑

R=；⑥內(nèi)切球半徑

r=3.球的截面用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面.〔1〕過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的小圓；〔2〕球心與截面圓圓心的連線垂直于截面；〔3〕球心和截面距離d，球半徑R，截面半徑r有如下關(guān)系：r=.4.經(jīng)度、緯度：經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個(gè)大圓；緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓；經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。緯度：某地的緯度就是指過(guò)這點(diǎn)的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)。5.兩點(diǎn)的球面距離：球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離兩點(diǎn)的球面距離公式：〔其中R為球半徑，為A，B所對(duì)應(yīng)的球心角的弧度數(shù)〕

【模擬試題】一、選擇題1、以下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的〔

〕2、過(guò)圓錐的高的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，它們把圓錐側(cè)面分成的三局部的面積之比為〔

〕A、

B、

C、

D、3、在棱長(zhǎng)為的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方形，那么截去個(gè)三棱錐后，剩下的幾何體的體積是〔

〕A、

B、

C、

D、4、圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為和，那么〔

〕A、

B、

C、

D、5、如果兩個(gè)球的體積之比為，那么兩個(gè)球的外表積之比為〔

〕A、