八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)15.3等腰三角形15.3.2等腰三角形的判定新版滬科版

第15章軸對(duì)稱(chēng)圖形與等腰三角形15.3等腰三角形第2課時(shí)等腰三角形的判定編輯ppt1課堂講解等腰三角形的判定等腰三角形的判定和性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升編輯ppt1知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定

思考

“等腰三角形兩個(gè)底角相等”的逆命題是真命題嗎？請(qǐng)與你的同學(xué)研究討論后作出判斷.知1－導(dǎo)編輯ppt知1－講1.定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．(簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”)應(yīng)用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C,∴AB＝AC.2．等腰三角形的判定與性質(zhì)的異同相同點(diǎn)：都是在一個(gè)三角形中；區(qū)別：判定是由角到邊，性質(zhì)是由邊到角．即：等邊等角．（來(lái)自《點(diǎn)撥》）編輯ppt知1－講

導(dǎo)引：要說(shuō)明△ABC為等腰三角形，由圖可知只要說(shuō)明∠B＝∠C即可，而∠B，∠C分別在兩個(gè)直角三角形中，因此只要說(shuō)明∠B，∠C的余角∠BQP，∠R相等即可．

例1如圖，在△ABC中，P是BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作

BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，若AQ＝AR，則△ABC是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．編輯ppt知1－講解：△ABC是等腰三角形．理由如下：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C,∴AB＝AC.（來(lái)自《點(diǎn)撥》）編輯ppt總結(jié)知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將要說(shuō)明的兩相等角利用等角的余角相等轉(zhuǎn)化為說(shuō)明其余角相等；對(duì)頂角這一隱含條件在推導(dǎo)角的相等關(guān)系中起了關(guān)鍵的橋梁作用．

編輯ppt知1－講導(dǎo)引：要證DE＝BD＋AE，而由圖知DE＝DP＋PE.因此只需證BD＋AE＝DP＋PE即可．即需證BD＝DP，

AE＝PE，而要證這兩組邊相等，只需證明它們所對(duì)的角相等，因此我們可以把證角相等作為切入口進(jìn)行證明．例2如圖，在△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作DE∥AB，分別交BC，AC于點(diǎn)

D，E.求證：DE＝BD＋AE.編輯ppt知1－講證明：∵DE∥AB，∴∠ABP＝∠DPB,∠BAP＝∠EPA.∵∠ABC，∠CAB的平分線交于點(diǎn)P，∴∠ABP＝∠DBP,∠BAP＝∠EAP，∴∠DBP＝∠DPB,∠EAP＝∠EPA，∴DP＝DB，EP＝AE，∴DP＋EP＝DB＋AE，即DE＝BD＋AE.（來(lái)自《點(diǎn)撥》）編輯ppt總結(jié)知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）(1)本題運(yùn)用平行線性質(zhì)以及角平分線的定義證明角之間的相等關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用等腰三角形的判定得出線段之間的長(zhǎng)度關(guān)系，這是證幾何題常用的方法．(2)如圖中角的一邊與角的平分線及角另一邊的平行線所構(gòu)成的三角形是等腰三角形，這是一個(gè)基本的圖形，在以后學(xué)習(xí)平行四邊形時(shí)會(huì)經(jīng)常遇到．編輯ppt已知：如圖，AB與CD交于點(diǎn)P，

CP=PD，∠A=42°，∠CPB=

138°，∠B=69°.求證:AC=PB.

在△ABC中，∠A和∠B的度數(shù)如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(

)A．∠A＝50°，∠B＝70°B．∠A＝70°，∠B＝40°C．∠A＝30°，∠B＝90°D．∠A＝80°，∠B＝60°知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）（來(lái)自教材）編輯ppt知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）如圖，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝

72°，則圖中的等腰三角形有(

)A．3個(gè)B．4個(gè)

C．5個(gè)D．6個(gè)如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的高，CE是AB邊上的高，它們相交于點(diǎn)O，則圖中除△ABC外一定是等腰三角形的是(

)A．△ABD

B．△ACEC．△OBC

D．△OCD編輯ppt知1－練（來(lái)自《點(diǎn)撥》）如圖所示，已知AC⊥BC，BD⊥AD，

AC與BD交于點(diǎn)O，AC＝BD.求證：

(1)BC＝AD；

(2)△OAB是等腰三角形．編輯ppt2知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定和性質(zhì)知2－講拓展：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理可知，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)的逆命題可得出等腰三角形的三個(gè)判定方法：(1)當(dāng)三角形一邊上的中線和高線重合時(shí)，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以判定這個(gè)三角形為等腰三角形；(2)當(dāng)三角形一邊上的中線和對(duì)角的平分線重合時(shí)，將中線倍長(zhǎng)，利用三角形全等可以判定這個(gè)三角形為等腰三角形；(3)當(dāng)三角形一邊上的高線和對(duì)角的平分線重合時(shí)，直接利用三角形全等可判定這個(gè)三角形為等腰三角形．（來(lái)自《點(diǎn)撥》）編輯ppt知2－講導(dǎo)引：要證DE＝DF，可構(gòu)造以DE和DF為對(duì)應(yīng)邊的全等三角形，不妨過(guò)點(diǎn)E作EG∥AC交BC于點(diǎn)G，則只要證明△EDG≌△FDC即可，缺少的條件可運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及判定得出．例3如圖，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于點(diǎn)E，交

AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)D，且BE＝CF.求證：DE＝DF.編輯ppt知2－講證明：過(guò)點(diǎn)E作EG∥AC交BC于點(diǎn)G，如圖，則∠1＝∠F，∠2＝∠3.∵AB＝AC，∴∠B＝∠3(等邊對(duì)等角)．∴∠B＝∠2.∴BE＝EG(等角對(duì)等邊)．又∵BE＝CF，∴EG＝CF.

在△EDG和△FDC中，

∴△EDG≌△FDC(AAS)．∴DE＝DF.（來(lái)自《點(diǎn)撥》）編輯ppt總結(jié)知2－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）證明線段(或角)相等，以其中一邊(或角)所在三角形作為“基礎(chǔ)三角形”在另一邊(或角)上作與其全等的三角形是常用的作輔助線的方法；如本例是以DF所在的△DFC為“基礎(chǔ)三角形”，以DE為邊作與△DFC全等的△DEG；若以DE所在的△DEB為“基礎(chǔ)三角形”，以DF為邊作與△DEB全等的△DFG該怎么作呢？請(qǐng)讀者試一試．編輯ppt知2－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）

(中考·泰安)如圖，AD是△ABC的角平分線，

DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.給出下列結(jié)論：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正確的結(jié)論共有(

)A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)編輯ppt知2－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB

的平分線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作MN∥BC

交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，則線段MN

的長(zhǎng)為(

)A．6B．7C．8D．9

在下列三角形中，若AB＝AC，則不能被