特殊的平行四邊形 課件【備課精研+高效課堂】人教版數(shù)學(xué)八年級下冊

第十九章一次函數(shù)18.2特殊的平行四邊形第十八章平行四邊形課題引入矩形在實際生活中大量存在和應(yīng)用，這是因為此類圖形有一些特殊的性質(zhì)，你認(rèn)為矩形有哪些性質(zhì)？我們?nèi)绾窝芯烤匦蔚男再|(zhì)？我們這節(jié)課就來探究這個問題.矩形如圖，當(dāng)平行四邊形的一個角為直角時，這時的平行四邊形是一個特殊的平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形（rectangle），也就是長方形.矩形因為矩形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì).由于它有一個角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？思考：

對于矩形，我們?nèi)匀粡乃倪叀⒔呛蛯蔷€等方面進(jìn)行研究.可以發(fā)現(xiàn)并證明（請你自己完成證明)，矩形還有以下性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等.矩形上節(jié)我們運用平行四邊形的判定和性質(zhì)研究了三角形的中位線，下面我們用矩形的性質(zhì)研究直角三角形的一個性質(zhì).直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.矩形如圖所示，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形的對角形線的長.矩形解：因為四邊形ABCD是矩形，所以AC

與BD

相等且互相平分，所以O(shè)A=OB.又因為∠AOB＝60°，所以三角形OAB是等邊三角形.所以O(shè)A=AB=4.所以AC=BD=2OA=2×4=8.矩形由矩形的定義可知，有一個角是直角的平行四邊形是矩形.除此之外，還有沒有其他判定方法呢?與研究平行四邊形的判定方法類似，我們研究矩形的性質(zhì)定理的逆命題,看看它們是否成立.矩形我們知道，矩形的對角線相等.反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的一個判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形.思考：矩形工人師傅在做門窗或矩形零件時，不僅要測量兩組對邊的長度是否分別相等，常常還要測量它們的兩條對角線是否相等，以確保圖形是矩形.你知道其中的道理嗎?矩形前面我們研究了矩形的四個角，知道它們都是直角.它的逆命題成立嗎？即四個角都是直角的四邊形是矩形嗎？進(jìn)一步，至少有幾個角是直角的四邊形是矩形？可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的另一個判定定理：有三個角是直角的四邊形是矩形.思考：矩形如圖所示，在平行四邊形ABCD

中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB

的度數(shù).矩形

課題引入菱形是一種特殊的四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)，教學(xué)中可用類比的方法研究.學(xué)習(xí)過程中，既要注意它與普通四邊形的聯(lián)系，又要注意它的特殊之處.菱形我們觀察平行四邊形的一組鄰邊，如圖所示，當(dāng)這組鄰邊相等時，這時的平行四邊形也是一個特殊的平行四邊形.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（rhombus）.矩形因為菱形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì).由于它的一組鄰邊相等，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？

對于菱形，我們?nèi)匀粡乃倪叀⒔呛蛯蔷€等方面進(jìn)行研究.可以發(fā)現(xiàn)并證明（請你自己完成證明），菱形還有以下性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.思考：菱形如圖所示，比較菱形的對角線和平行四邊形的對角線，我們發(fā)現(xiàn)，菱形的對角線把菱形分成四個全等的直角三角形，而平行四邊形通常只被分成兩對全等的三角形.

菱形是軸對稱圖形，它的對角線所在的直線就是它的對稱軸.菱形如圖所示，菱形花壇ABCD

的邊長為20

m，∠ABC=60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD.求兩條小路的長（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）和花壇的面積（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.菱形

菱形由菱形的定義可知，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.除此之外，還有沒有其他判定方法呢？與研究平行四邊形、矩形的判定方法類似，我們研究菱形的性質(zhì)定理的逆命題，看看它們是否成立.矩形我們知道，菱形的對角線互相垂直.反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.思考：菱形如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且AB=5，AO=4，BO=3.求證：平行四邊形ABCD是菱形.

正方形正方形（square）是我們熟悉的幾何圖形，它的四條邊都相等，四個角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.它既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì).正方形正方形有哪些性質(zhì)？如何判定一個四邊形是正方形？思考：（1）對稱性：正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸.（2）正方形具有矩形和菱形的所有性質(zhì).邊:正方形的對邊平行,四條邊都相等.角：正方形的四個角都是直角.對角線：正方形的兩條對角線相等且互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角.正方形如何判定一個四邊形是正方形？思考：如圖所示.正方形正方形、菱形、矩形、平行四邊形之間有什么關(guān)系？思考：如圖所示.課堂例題有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形特有的性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等.知識點1：矩形的定義和性質(zhì).例

如圖，已知：矩形ABCD

中，對角線AC

與BD

交于點O，∠BOC=120°，AC=4

cm，求矩形ABCD的周長.課堂例題

課堂例題直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.知識點2：直角三角形斜邊上的中線.例

如圖所示，△ABC

中，BD，CE

是△ABC

的兩條高，點F，M

分別是DE，BC

的中點.求證：FM垂直于DE.課堂例題

課堂例題

知識點3：矩形的判定.課堂例題例

已知：如圖所示，平行四邊形ABCD各角的平分線分別相交于點E，F(xiàn)，G，H.求證：四邊形EFGH是矩形.課堂例題

課堂例題有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.知識點4：菱形的定義.例

如圖所示，已知：△ABC

中，CD

平分∠ACB

交AB

于D，DE//AC

交BC

于E，DF//BC

交AC

于F.求證：四邊形DECF是菱形.課堂例題【解析】如圖所示，因為DE//AC，DF//BC，所以四邊形DECF為平行四邊形，因為AC//DE，所以∠2=∠3.又因為CD平分∠ACB交AB于D，所以∠1=∠2，所以∠1=∠3，所以DE=EC，所以DECF為菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.課堂例題菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角.知識點5：菱形的性質(zhì).

課堂例題

課堂例題定義判定法：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的判定定理：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.四條邊相等的四邊形是菱形.知識點6：菱形的判定方法.例

如下圖所示，已知在四邊形ABCD

中，E，F(xiàn)，G，H

分別是AB，BC，CD，DA的中點，AD＝BC.求證：四邊形EFGH

是菱形.課堂例題

課堂例題正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.正方形的性質(zhì)：（1）對稱性：正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸.（2）正方形具有矩形和菱形的所有性質(zhì).邊:正方形的對邊平行,四條邊都相等.角：正方形的四個角都是直角.對角線：正方形的兩條對角線相等且互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角.知識點7：正方形的定義和性質(zhì).課堂例題例

已知：如圖所示，正方形ABCD中，點E

在BC

的延長線上，AE分別交DC，BD

于F，G，點H

為EF

的中點.求證：（1）∠DAG=∠DCG；（2）GC

垂直于CH.課堂例題【解析】(1)要證明∠DAG=∠DCG，需把兩角放到兩三角形中，由證明兩三角形△ADG與△CDG全等得到。得到全等的方法是：由四邊形ABCD為正方形，得到AD與DC相等，∠ADB與∠CDB相等，再加上公共邊DG，利用“SAS”得到全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等得證.（2）要證明GC與CH垂直，需∠GCH=90°,即∠FCH

+∠DCG=90°。方法是：由正方形的對邊AD與BE平行，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到∠DAF與∠E相等，由（1）得到的∠DAG與∠DCG相等，等量代換得到∠E與∠DCG相等，再由CH為直角三角形ECF斜邊上的中線,得到CH與HE相等,都等于斜邊EF的一半,根據(jù)“等邊對等角”得到∠E與∠HCE相等,又∠FCH+∠DCG=90°,等量代換得到∠FCH+∠DCG=90°，即∠GCH=90°，得證.課堂例題①定義法；②矩形法；③菱形法.知識點8：正方形的判定.例

已知：如圖所示，△ABC

中，∠ABC=90°，BD

是∠ABC

的平分線，DE

垂直于AB

于點E，DF

垂直于BC

于點F.求證：四邊形DEBF是正方形.課堂例題【解析】因為DE垂直于AB，DF垂直于BC，所以∠DEB=∠DFB=90°.又因為∠ABC=90°，所以四邊形BEDF為矩形.因為BD是∠ABC的平分線,且DE垂直于AB，DF垂直于BC，所以DE=DF，所以矩形BEDF為正方形.知識歸納矩形的定義和性質(zhì)：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形特有的性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等.菱形的定義與性質(zhì)：有一組鄰邊相等