2021-2022學(xué)年湖南省長沙市長沙縣高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年湖南省長沙市長沙縣高二(下)期末數(shù)學(xué)

試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.對變量X,y有觀測數(shù)據(jù)=1,2，…,10),得散點(diǎn)圖(1)；對變量M,V,有觀測

數(shù)據(jù)(%，㈤a=1,2，…,10),得散點(diǎn)圖(2),由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()

74V

3060

2550

2040

1530

10.20

5.10

O1234567xO1234567u

困(1)圖(2)

A.變量x與y正相關(guān)，u與u正相關(guān)B.變量x與y正相關(guān)，a與u負(fù)相關(guān)

C.變量x與y負(fù)相關(guān)，n與"正相關(guān)D.變量％與y負(fù)相關(guān)，u與及負(fù)相關(guān)

2.從數(shù)字1,2,3,4,5中，取出3個(gè)數(shù)字(允許重復(fù))，組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等

于6,這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.7B.9C.10D.13

3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如表所示，且EX=1.6,則b-a等于()

X0123

P0.1ab0.1

A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4

4.已知函數(shù)f(x)在下列區(qū)間中，包含/(%)零點(diǎn)的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

5.已知直線a在平面0上，則“直線1_La”是“直線I1.0”的條件()

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要

6.設(shè)sin《+0)=|,則sin20=()

7.設(shè)向量蒼=（%,1）,b=（x,-3），且五13，則向量五一方與日的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

8.已知a,b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)y=2a〃+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1）,則;+￡的最小值為（）

A.3+2V2B.3-2V2C.4D.2

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.在A4BC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且a=2、6=3、c=4,下面

說法錯(cuò)誤的是（）

A.sinA：sinB：sinC=2：3：4

B.△ABC是銳角三角形

C.△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

D.A/IBC內(nèi)切圓半徑為：

10.下列命題正確的是（）

A.若向量五，方滿足方=—3則乙方為平行向量

B.已知平面內(nèi)的一組基底瓦（，石，則向量部+筱，國-前也能作為一組基底

C,模等于1個(gè)單位長度的向量是單位向量，所有單位向量均相等

D.若△4BC是等邊三角形，則BC>=y

11.如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中（）

A.與EO平行B.AF與CN垂直

C.CN與BE是異面直線D.CN與BM成60。角

12.已知x,y€R且4x-4y<丫3一/，則（）

A.x<yB.x-3<y~3Ig（y一無）>0D.G）y<3r

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

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13.某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150,150,400,300名學(xué)生.為了解學(xué)生

的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在

丙專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為.

14.已知(1+2x)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為81,則n=.

15.在一次期末考試中某學(xué)校高三全部學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(〃《2),若

P(X>90)=0.5,且P(X2110)=0.2,則P(70WXM90)=.

16.若tan(2x-?)Wl,則x的取值范圍為：.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.在二項(xiàng)式七-X)71的展開式中，若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46,求展開

式的三次項(xiàng).

18.在北京冬奧會期間，某項(xiàng)比賽中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者4名.

(1)從中選2名志愿者代表，必須有女志愿者代表的不同的選法有多少種？

(2)從中選4人分別從事四個(gè)不同崗位的服務(wù)，每個(gè)崗位一人，且男志愿者甲與女志

愿者乙至少有1人在內(nèi)，有多少種不同的安排方法？

19.已知a,b,c分別為銳角三角形ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，且Wc=2asinC

⑴求T

(2)若Q=V7,b=2,求c；

(3)若cosB=I，求sin(2B-4)的值.

20.某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3

道題，按照題目要求獨(dú)立完成.規(guī)定：至少正確完成其中2道題便可通過.已知6道

備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的

概率都是|,且每題正確完成與否互不影響.

(I)求甲恰好正確完成兩個(gè)面試題的概率；

(II)求乙正確完成面試題數(shù)4的分布列及其期望.

21.很多人都愛好抖音，為了調(diào)查手機(jī)用戶每天使用抖音的時(shí)間，某通訊公司在一廣場

隨機(jī)采訪男性，女性用戶各50名，將男性，女性平均每天使用抖音的時(shí)間(單位，八)

分成5組：(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10]分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率

分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)男性平均每天使用抖音的時(shí)間；(同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)

(2)若每天玩抖音超過4/1的用戶稱為“抖音控”，否則稱為“非抖音控”，完成如

下列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為是否是“抖音控”與性別有關(guān).

抖音控非抖音控總計(jì)

男性

女性

總計(jì)

附表：

P（JC2>k）50.0250.010

k2.0722.7063.8415.0246.635

(參考公式一”)圖)編3其中"a+b+C+d.)

22.2知函數(shù)/(%)=［。/式/-1)(。>且aHl).

(1)當(dāng)Q=：時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)當(dāng)a>1時(shí)，求關(guān)于x的不等式f(x)</(I)的解集；

(3)當(dāng)a=2時(shí),若不等式/(x)—Zogz(l+2*)>m對任意實(shí)數(shù)x€［1,3］恒成立,求

實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

通過觀察散點(diǎn)圖得出：y隨X的增大而減小，〃隨〃的增大而增大，即可得出其相關(guān)性.

本題考查了散點(diǎn)圖的應(yīng)用問題，通過讀圖來解決問題，是基礎(chǔ)題.

【解答】

解：由題圖1可知，y隨x的增大而減小，各點(diǎn)整體呈下降趨勢，x與y負(fù)相關(guān)，

由題圖2可知，”隨u的增大而增大，各點(diǎn)整體呈上升趨勢，&與》正相關(guān).

故選：C.

2.【答案】C

【解析】解：從1,2,3,4,5中，隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)），

其中各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)可分為以下情形：

①由1,1,4三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)：114,141,411共3個(gè)：

②由1,2,3三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)：123,132,213,231,312,321共6個(gè)；

③由2,2,2三個(gè)數(shù)字可以組成1個(gè)三位數(shù)，即222.

二共有3+6+1=10個(gè)，

故選：C.

分情況討論其中各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)，計(jì)算其可能的情況數(shù)目即可求出結(jié)論.

本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，涉及古典概型的計(jì)算，解題時(shí)需分類討論，注意要按

一定的順序，做到不重不漏.

3.【答案】C

【解析】解：由題意得：

a+b+0.2=1

E(X)=a+2b+3x0.1=1.6

0<a<1'

{0<&<1

解得a=0.3,b=0.5,

a-b=—0.2.

故選：C.

利用離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，列方程組求出a，b,由此能求出b-a.

本題考查離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：f(l)=6-log2l=6>0,/(2)=3-log22=2>0,/(3)=2-log23>0,

/(4)=|-2<0,

???/(3)/(4)<0,

???函數(shù)/。)在(3,4)內(nèi)存在零點(diǎn).

故選D.

計(jì)算各區(qū)間斷點(diǎn)的函數(shù)值，利用零點(diǎn)的存在性定理判斷.

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：直線a在平面0上，

則“直線11a”成立時(shí)，“直線21廠不一定成立；

“直線，_L￡”="直線1_La”，

二直線a在平面口上，則“直線11a”是“直線21/?”的必要非充分條件.

故選：B.

“直線，la”成立時(shí)，“直線，1￡”不一定成立；“直線，，0”="直線，_La"，由

此能求出結(jié)果.

本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查空間中線與面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查

空間立體感和推理論證能力，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：由sin(：+。)=sin/osJ+cos^sin。=當(dāng)(sinS+cosJ)=1，

兩邊平方得：1+2sin9cos8=即2sin0cos。=—

則sin28=2sin9cos9=—

故選：A.

根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式和特殊角的三角函數(shù)值化簡已知條件，然后兩邊平方利用同

角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，即可sin20的值.

此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的正弦函數(shù)公式、兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的

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三角函數(shù)值化簡求值，是一道基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式以及向量垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題.

先根據(jù)向量的垂直求出x的值，再根據(jù)向量的夾角公式即可求出.

【解答】

解：向量值=(g,1),b=(%,—3)>且益1歷

???yp3x—3=0，

解得x=V3>

?■a-b=(V3,1)-(V3,-3)=(0,4)，

???|a-6|=4，|a|=2,(a-b)-a=4>

設(shè)向量日一方與五的夾角為。，

c(a-d)a41

COSu=~—-_—=)

\a-b\\a\4x22

V0°<0<180°,

???e=60°.

故選：B.

8.【答案】A

【解析】解：?.?函數(shù)y=2ae%+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),

:.1=2a?+匕，即2a+b=l(a>0,b>0).

,.4+^^+>1=(!+》.3+匕)=(2+1+/的23+2頌當(dāng)且僅當(dāng)

b=V2a=&一1時(shí)取到“=").

故選:A.

將點(diǎn)(0,1)的坐標(biāo)代入y=2ae，+b,得到a,b的關(guān)系式，再應(yīng)用基本不等式即可.

本題考查基本不等式，將點(diǎn)(0,1)的坐標(biāo)代入y=2ae，+b,得到a,b的關(guān)系式是

關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BCD

【解析】解：因?yàn)镼=2,b=3,c=4,

AsinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4,故A正確；

可得c為最大邊，C為最大角，

由余弦定理可得cosC=必士="==-i<0,

2ab2x2x34

可得C為鈍角，即△ABC的形狀是鈍角三角形.故8錯(cuò)誤；

對于C,由cos4=史M==

2bc248

2

由cos24=2COS2A-1=2x(-)—1=cosC,故24。C,故。錯(cuò)誤；

8324

illcosC=——r:.sinC——ADC=-absinC=—x2x3x———,

442244

設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r,jAQ+b+cLruS-Bc，??《=正，故。錯(cuò)誤；

故選：BCD.

利用正弦定理可判斷4由已知可得C為最大角，由余弦定理可得cosC<0,可得C為鈍

角，即可判B.求得cos2A4cosC,可判斷C；利用*a+b+c)?r=S.BC，可求r，可

判斷。.

本題考查正余弦定理的應(yīng)用，考查內(nèi)切圓的半徑的求法，屬中檔題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對于4,若向量日是滿足君=-3方，根據(jù)向量平行的充要條件，滿足倍數(shù)

關(guān)系，則五是一定平行，故A正確；

對于B,因?yàn)榭?，石為平面?nèi)的一組基底，所以可，石為非零向量，且不共線，所以向量

可+慈,瓦-夙為一組非零且不共線向量，可以作為一組基底，故B正確；

對于C,向量有大小與方向，單位向量大小相等，方向不一定相同，所以單位向量不一

定相等，故C錯(cuò)誤；

對于D,如圖所示：

B'

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同=奇，所以NB"BC=<而，近>=今，故。正確.

故選：ABD.

對于4,根據(jù)向量平行的充要條件判斷即可；對于B,根據(jù)基底向量的定義判斷即可;

對于C,根據(jù)相等向量的定義判斷即可；對于D,數(shù)形結(jié)合，求角即可.

本題考查基底向量，相等向量及向量夾角，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BD

【解析】解：把平面展開圖還原原幾何體如圖:

由正方體的性質(zhì)可知，BM與ED異面且垂直，故A錯(cuò)誤；

易得屈B〃CN,又EBJ.4F,所以AFJ.CN,故B正確.

CN與BE平行，故C錯(cuò)誤：

連接BE,則BE〃CN,NEBM為CN與BM所成角，連接EM,可知△BEM為正三角形，

則NEBM=60。，故。正確.

故選：BD.

把平面展開圖還原原幾何體，再由棱柱的結(jié)構(gòu)特征及異面直線定義、異面直線所成角逐

一核對四個(gè)命題得答案.

本題考查異面直線，直線與平面的位置關(guān)系，幾何體的折疊與展開，屬基礎(chǔ)題.

12.【答案】AD

【解析】解：根據(jù)題意，4x-4y<y3—x3=*4(x—y)+(x3—y3)<0=>(x—y)(4+

x2+xy+y2)<0,

又由4+K+%y+y2=+)+等+4>0,必有x-y<0,即x<y,則A正確；

對于B,當(dāng)x=0、y=-l時(shí)，N沒有意義，B錯(cuò)誤；

對于C,當(dāng)y=2,x=l時(shí)，y—x=l時(shí)，lg(y—x)=0,C錯(cuò)誤;

對于D,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x<y時(shí)，有GV<3r,D正確;

故選：AD.

根據(jù)題意，利用作差法分析可得x<y,可得A正確，利用特殊值法舉出反例，可得8c

錯(cuò)誤，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得。正確，即可得答案.

本題考查不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】16人

【解析】

【分析】

本題考查分層抽樣方法，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的依據(jù)是在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的

概率是相等的，這種題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考卷中.

根據(jù)四個(gè)專業(yè)各有的人數(shù)，得到本校的總?cè)藬?shù)，根據(jù)要抽取的人數(shù)，得到每個(gè)個(gè)體被抽

到的概率，利用丙專業(yè)的人數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，得到丙專業(yè)要抽取的人數(shù).

【解答】

解：?.?高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生，

二本校共有學(xué)生150+150+400+300=1000(人)，

???用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，

???每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是瑞=

?丙專業(yè)有400人，

二要抽取400=16人

故答案為：16人

14.【答案】4

【解析】解：令x=1得各項(xiàng)系數(shù)和為(1+2)n=3n=81,

得n=4,

故答案為：4.

x=1得各項(xiàng)系數(shù)和，建立方程進(jìn)行求解即可.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用變量等于1可得各項(xiàng)式系數(shù)和是解決本題的關(guān)鍵，

是基礎(chǔ)題.

15.【答案】0.3

【解析】解：由P(X290)=0.5,知”=90,

因?yàn)镻(X>110)=0.2,所以P(90<X<110)=0.5-0.2=0.3,

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由對稱性知，P(70<X<90)=P(90<X<110)=0.3.

故答案為：0.3.

易知〃=90,再根據(jù)曲線的對稱性，由P(70<X<90)=P(90<X<110),即可得解.

本題考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】(當(dāng)一^號+歲,kez

【解析】解：由tan(2x-g)W1,可得—三<2x—￡W卜兀+f,keZ,

6ZOT264

求得也一2<尤W絲+里，...X的取值范圍為(也一二竺+也］,kez,

2622426224

故答案為：§-3#+爭，kez.

由tan(2x-3)Wl,可得"一g<2x—gW卜兀+J,k&z,由此求得x的范圍.

本題主要考查正切函數(shù)的圖象特征，解三角不等式，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：?.?展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46,

???+&+鬃=46,/.n2+n—90=0,

:.n=9或九=一10(舍去)，

二七一%尸=(盤一的展開式的通項(xiàng)公式為：

Tk+1=砥yk=瑞(59一y_1加2卜9,

令2k-9=3,則k=6,

???展開式的三次項(xiàng)為。(}3(_1)6爐=弓工3.

【解析】先求出71=9,再求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，再令2k-9=3,求出k即可.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)根據(jù)題意，從7人中選2名志愿者代表，有小種選法，

從中選2名志愿者代表，沒有女志愿者的選法有廢=6種，

所以從中選2名志愿者代表，必須有女志愿者的不同選法共有廢-Cl=21-6=15(種

)

答：必須有女志愿者的不同選法有15種.

(2)根據(jù)題意，分3種情況討論：

第一類男志愿者甲在內(nèi)女志愿者乙不在內(nèi)，有廢朗=240種.

第二類女志愿者乙在內(nèi)男志愿者甲不在內(nèi)，有底房=240種；

第三類男志愿者甲、女志愿者乙都在內(nèi)，有盤用=240種；

由分類計(jì)數(shù)原理得N=240+240+240=720種；

共有720種不同選法.

【解析】(1)根據(jù)題意，利用間接法分析：先計(jì)算“從7人中選2名志愿者代表”的選法，

排除其中“沒有女志愿者”的選法，即可得答案；

(2)根據(jù)題意，分3種情況討論：第一類男志愿者甲在內(nèi)女志愿者乙不在內(nèi)，第二類女志

愿者乙在內(nèi)男志愿者甲不在內(nèi)，第三類男志愿者甲、女志愿者乙都在內(nèi)，由加法原理計(jì)

算可得答案.

本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)因?yàn)椋?2asinC，則由正弦定理可得：

yf3sinC=2sinAsinC>sinC力0,所以sinA=—>又因?yàn)锳6(0,y),

24

所以4=或

22222

(2)由余弦定理可得：a=b+c-2bccosA,則7=4+c—2c,Ac-2c-3=0,

二解得(c-3)(c+1)=0,解得c=3或c=一1(舍去)；

(3)因?yàn)閏osB=|,所以cos2B=2X(|)2—1=一孑又2B6(0,兀)，所以sin2B=

卜-(-/=華,

所以sin(2B-4)=sin2Bcos--cos2Bsin-=—xi—(―x—=

''3392、9，218

【解析】(1)利用正弦定理即可求解；(2)利用余弦定理即可求解；(3)利用己知求出COS2B,

進(jìn)而可以求出sin2B,進(jìn)而可以求解.

本題考查了正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬中檔題.

20.【答案】解：(I)甲恰好完成兩道題的概率A==3

(U)設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為小則7；取值分別為0,1,2,3,

P(n=0)=/,P(n=1)=瑪xC)2X|=5，P(〃=2)=禺x(|)2X：=||,P(rj=

3)=守=另

考生乙正確完成題數(shù)乙的分布列為：

第12頁，共14頁

0123

16128

p

27272727

E(J7)=0x±+lxA+2xg+3xA=2.

【解析】(I)利用超幾何分布概念計(jì)算即可；

(II)找出隨機(jī)變量外取值分別為0,1,2,3,利用二項(xiàng)分布公式計(jì)算分布列即可.

本題主要考查利用隨機(jī)事件的概率及二項(xiàng)分布的分布列，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由男性的頻率分布直方圖，可得2(0.04+a+0.14+2x0.12)1,

解得a=0.08；

可知男性用戶平均每天使用抖音的時(shí)間為0.08x1+0.16X3+0,24x5+0,28x7+

0.24x9=5.88(h)；

(2)由兩個(gè)頻率分布直方圖，可2x2列聯(lián)表加下:

抖音控非抖音控總