2021-2022學(xué)年江西省吉安市峽江縣九年級(上)期末數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2021-2022學(xué)年江西省吉安市峽江縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）

1.（3分）下列既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.菱形B.平行四邊形C.等邊三角形D.等腰梯形

2.（3分）若一元二次方程丁-x-2=0的兩根為X],x,?則（1+%,）+%（1-xj的值是（

）

A.4B.2C.ID.-2

3.（3分）在如圖所示的電路中，隨機閉合開關(guān)5廣邑，邑中的兩個，能讓燈泡乙發(fā)光的

概率是（）

4.（3分）如圖，小李打網(wǎng)球時.，球恰好打過網(wǎng)，且落在離網(wǎng)4m的位置上，則球拍擊球的

高度人為（）

1廠-小

0.8m_9

G-4m-3m與

A.0.6mB.12mC.1.3〃?D.1.4〃？

5.（3分）如圖，把拋物線y=x?沿直線y=x平移&個單位后，其頂點在直線上的A處，

則平移后的拋物線解析式是（）

A.y=(x+l)2-lB.y=(x+l『+lC.y=(x-1)2+1D.y=(x-l)2-1

6.（3分）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,點O是AABC的中心，ZFOG=120°,繞點

O旋轉(zhuǎn)ZFOG,分別交線段鉆、BC于D、￡兩點，連接,給出下列四個結(jié)論：①

OD=OE；②%o￡=S詡￡；③四邊形ODBE的面積始終等于④周長的最小

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

7.（3分）已知a,/?均為銳角，且滿足|《11&一自+0抵14-1）2=0,則&+/?=.

8.（3分）已知一個正比例函數(shù)的圖象與一個反比例函數(shù)的圖象的一個交點為（1,3）,則另一

個交點坐標(biāo)是.

9.（3分）某校九（1）班的學(xué)生互贈新年賀卡，共用去1560張賀卡，則九（1）班有名

學(xué)生.

10.（3分）如圖，菱形ABCD中，NZMB=60。，于點E,ADF=DC,連接尸C,

則ZACF的度數(shù)為度.

11.（3分）如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖，若組

成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為〃，則”的所有可能的值之和為

中視圖便視圖

12.（3分）如圖，矩形A38中，AB=6,4。=46，點E是8c的中點，點尸在AB上,

FB=2,P是矩形上一動點.若點P從點尸出發(fā)，沿尸fAfDfC的路線運動，當(dāng)

NEPE=30。時，F(xiàn)P的長為.

三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）

13.（6分）解方程：

(1)(2x+1)2=9；

（2）（x+釬=3（x+4）.

14.（6分）如圖，在中，AEYBC,CFLAD,E,尸分別為垂足.

（1）求證：BE=DF；

（2）求證：四邊形AEC尸是矩形.

15.（6分）如圖,反比例函數(shù)），=々心0）的圖象與正比例函數(shù)丫=2》的圖象相交于點41,4）,

X

8兩點，點C在第四象限，C4//y軸，ZABC=90°.

（1）求k的值及3點坐標(biāo)；

（2）求MBC的面積.

16.（6分）如圖，在矩形ABCD中，點E為4）的中點，請只用無刻度的直尺作圖

（1）如圖1,在8c上找點尸，使點F是8C的中點;

17.（6分）我國于2019年6月5日首次完成運載火箭海上發(fā)射，這標(biāo)志著我國火箭發(fā)射技

術(shù)達(dá)到了一個嶄新的高度.如圖，運載火箭從海面發(fā)射站點M處垂直海面發(fā)射，當(dāng)火箭到

達(dá)點A處時，海岸邊N處的雷達(dá)站測得點N到點4的距離為8千米，仰角為30。.火箭繼

續(xù)直線上升到達(dá)點3處，此時海岸邊N處的雷達(dá)測得3處的仰角增加15。，求此時火箭所在

點3處與發(fā)射站點V處的距離.（結(jié)果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：&=1.41,6=1.73）

四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

18.（8分）已知如圖，在AABC中，比＞平分NABC交AC于點3,點E在45上，且

BD2=BE.BC；

(1)求證：NBDE=NC;

(2)求證：AD2=AE.AB.

19.（8分）如圖，AB/ICD,點、E,尸分別在4?,CD上，連接EF,ZAEF、NCFE的

平分線交于點G,ZBEF,ND/話的平分線交于點”.

（1）求證：四邊形EGFH是矩形；

（2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進行了探索，過G作MN//EF,分別交AB,CD于點

M,N,過”作「Q//EF,分別交回，CD于點P,Q,得到四邊形MNQP,此時，他

猜想四邊形MNQP是菱形，他的猜想是否正確，請予以說明.

20.（8分）小聰同學(xué)周六到某歡樂谷玩迷宮游戲，從迷宮口A到達(dá)迷宮口。有多個路口，

如圖所示（迷宮的一部分），規(guī)定從迷宮口A到達(dá)。處不能重復(fù)走同一路線，且小聰走每一

條路線的可能性相同.

（1）請用畫樹狀圖的方法，求小聰同學(xué)從迷宮口A到達(dá)。處所走的所有可能路線；

（2）求小聰同學(xué)從迷宮口A到達(dá)。處經(jīng)過路口5的概率.

五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

21.（9分）某商店購進一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y

（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.

（1）求該商品每天的銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若商店按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少，才能使銷售

該商品每天獲得的利潤w(元)最大？最大利潤是多少？

(3)若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多少

件？

V件

100-----L

口

II

°3045X阮

22.(9分)對于兩個不相等的有理數(shù)a,b,我們規(guī)定符號，加M”，6}表示“，匕中的較大

值，如加or{2,-3}=2,max{-\,0)=0.請解答下列問題：

2

(1)A7tor{-1,-1-}=；

(2)如果加以",2-x]=x,求x的取值范圍；

(3)如果"以x{x,2-x}=2|x-l|-5,求x的值.

六、(本大題共12分)

23.(12分)如圖，拋物線丁=，2+笈3工物經(jīng)過點AQ,0),點B(3,3),8CJ_1軸于點C,

連接06,等腰直角三角形。石廠的斜邊EF在x軸上，點石的坐標(biāo)為(-4,0),點尸與原點重

合

(1)求拋物線的解析式并直接寫出它的對稱軸；

(2)AD所以每秒1個單位長度的速度沿五軸正方向移動，運動時間為，秒，當(dāng)點。落在3C

邊上時停止運動，設(shè)AD印與△O5C的重疊部分的面積為S,求出S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式；

(3)點P是拋物線對稱軸上一點，當(dāng)A4BP是直角三角形時，請直接寫出所有符合條件的

點P坐標(biāo).

備用圖備用圖

2021-2022學(xué)年江西省吉安市峽江縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）

1.（3分）下列既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.菱形B.平行四邊形C.等邊三角形D.等腰梯形

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解.把一個圖形

繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心

對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸

對稱圖形.

【解答】解：A.菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

B.平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意：

C.等邊三角形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D.等腰梯形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，故此選項不合題意.

故選：A.

【點評】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，能熟記中心對稱圖形和軸對稱圖形

的定義是解此題的關(guān)鍵.

2.（3分）若一元二次方程/一工一2=0的兩根為百，占，則（1+M）+芻（1一%）的值是（

）

A.4B.2C.1D.-2

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到%+毛=1,石玉=-2,然后利用整體代入的方法計算

（1+X1）+X2（1—X|）的值.

【解答】解：根據(jù)題意得+N=1，為/=-2,

以（1+%）+X,（1—%）=1+X]+X]—X|=1+1—（—2）=4.

故選：A.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若%,七是一元二次方程依2+法+c=0（〃二0）的兩

根時，X,+%2=-—,=—.

aa

3.（3分）在如圖所示的電路中，隨機閉合開關(guān)S「邑，S、中的兩個，能讓燈泡右發(fā)光的

概率是（）

2

D.

c；5

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與能讓燈泡右發(fā)

光的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：畫樹狀圖得：

開始

...共有6種等可能的結(jié)果，能讓燈泡右發(fā)光的有2種情況，

能讓燈泡L發(fā)光的概率為2=1,

63

故選：B.

【點評】本題考查了列表法、樹狀圖法求概率，畫出樹狀圖得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況是

正確解答的關(guān)鍵.

4.（3分）如圖，小李打網(wǎng)球時，球恰好打過網(wǎng)，且落在離網(wǎng)的位置上，則球拍擊球的

高度〃為（）

【分析】利用平行得出三角形相似，運用相似比即可解答.

【解答】解：???AB//DE,

.AB_CB

DE-CD*

40.8

..—=—,

7h

.\h=lAm,

經(jīng)檢驗：〃=1.4是原方程的根.

【點評】此題主要考查了相似三角形的判定,根據(jù)已知得出空=又是解決問題的關(guān)鍵.

DECE

5.（3分）如圖，把拋物線y=d沿直線y=x平移夜個單位后，其頂點在直線上的A處,

則平移后的拋物線解析式是（）

A.)，=(x+l)2-lB.y=(x+l)2+lC.y=(x-l)2+lD.y=(x-l)2-l

【分析】首先根據(jù)A點所在位置設(shè)出A點坐標(biāo)為（〃?,〃?）再根據(jù)AO=正，利用勾股定理求

出機的值，然后根據(jù)拋物線平移的性質(zhì)：左加右減，上加下減可得解析式.

【解答】解：:A在直線y=x上，

/.設(shè)A(m,in),

???QA=&,

,nV+ni2=(V2)2,

解得：機=±1（機=-1舍去）,

/.m=l,

，平移后的拋物線解析式為：y=（x-l）2+l,

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象的幾何變換，關(guān)鍵是求出A點坐標(biāo)，掌握拋物線平

移的性質(zhì)：左加右減，上加下減.

6.（3分）如圖，等邊三角形A8C的邊長為4,點。是A48c的中心，ZFOG=120°,繞點

O旋轉(zhuǎn)ZFOG,分別交線段至、BC于D、E兩點，連接。E,給出下列四個結(jié)論：①

OD=OE;②S?ODE=SSBDE；③四邊形式出石的面積始終等于;④AfiDE周長的最小

值為6.上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】連接08、OC,如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得NABO=NO3C=NOC8=30。，

再證明NBO￡>=NCOE,于是可判斷三ACOE,所以BD=CE,OD=OE,則可對

①進行判斷；利用5AB加="8￡得到四邊形OD3E的面積則可對③進行判

斷；作如圖，則￡>〃=即，計算出邑8日;日。］,利用SMOE隨OE的變化而

變化和四邊形ODBE的面積為定值可對②進行判斷；由于ABDE的周長

=BC+DE=4+DE=4+^OE,根據(jù)垂線段最短，當(dāng)OEJ_BC時，OE最小，ABDE的周

長最小，計算出此時OE的長則可對④進行判斷.

【解答】解：連接08、OC,如圖，

?.,AABC為等邊三角形，

.-.ZABC=ZACB=60P,

?.?點O是AABC的中心，

:.OB=OC,OB、OC分別平分Z48c和NAC8,

ZABO=ZOBC=ZOCB=30°

ZBOC=120°,即ZBOE+ZCOE=120°,

而ZW石=120。，即NBOE+NBO￡>=120。，

:"BOD=/COE,

在AB8和ACO石中

/BOD=ZCOE

<BO=CO,

NOBD=NOCE

:母OD三ACOE,

..BD=CE,OD=OE,所以①正確；

…Sg?D~S^COE'

四邊形ODBE的面積=SMBC=4%?■=4x班x不=&6,所以③正確；

cjlzzJV3LV1DV343

作OH_LOE,如圖，^\DH=EH,

\-ZDOE=120°,

/.NODE=Z.OEH=30°,

1Ji

:.OH=-OE,HE=y[3OH=—OE

22f

DE=\fiOE,

..SA皿=L.G°E邛㈤,

即隨OE的變化而變化，

而四邊形ODBE的面積為定值，

SM>DE工S加工；所以②錯誤；

.BD=CE,

：./\BDE的周長=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+y/iOE,

當(dāng)OE_LBC時，OE最小,43DE的周長最小，此時OE='一,

3

.,.A6DE周長的最小值=4+2=6,所以④正確.

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線

段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的

判定與性質(zhì).

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

7.(3分)已知a,尸均為銳角，且滿足|sina—L|+(tanp-l)2=0,則。+￡=_75。_.

【分析】直接利用絕對值的非負(fù)性和偶次方的非負(fù)性得出sina-」=O，tan￡-l=O,再結(jié)

合特殊角的三角函數(shù)值得出答案.

【解答】解：1.?|sinc-gl+Qan/J-lfuO,

，sina-；=0,tan/-1=0,

r.sinc=g,tan/?=l,

/.a=30°,￡=45。，

則a+尸=30。+45。=75。.

故答案為：75°.

【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確記憶特殊角的三角函

數(shù)值是解題關(guān)鍵.

8.(3分)已知一個正比例函數(shù)的圖象與一個反比例函數(shù)的圖象的一個交點為(1,3),則另一

個交點坐標(biāo)是_(-1,-3)

【分析】反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對

稱.

【解答】解：?.?反比例函數(shù)的圖象與經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱,

???另一個交點的坐標(biāo)與點(1,3)關(guān)于原點對稱，

該點的坐標(biāo)為(-1,-3).

故答案為：（-1,-3）.

【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的中心對稱性，要求同學(xué)們要熟練掌握關(guān)于原點對

稱的兩個點的坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

9.（3分）某校九（1）班的學(xué)生互贈新年賀卡，共用去1560張賀卡，則九（1）班有40

名學(xué)生.

【分析】設(shè)九（1）班有x名學(xué)生，則每名學(xué)生需送出（x-1）張新年賀卡，利用九（1）班共

用去賀卡的數(shù)量=人數(shù)x每人送出新年賀卡的數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之

取其正值即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)九（1）班有x名學(xué)生，則每名學(xué)生需送出。-1）張新年賀卡，

依題意得：-1）=1560,

整理得：X2-X-1560=0,

解得：=40,x,=-39（不合題意，舍去），

.?.九（1）班有40名學(xué)生.

故答案為：40.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

10.（3分）如圖，菱形A8CD中，ND48=60。，于點E,且。尸=￡>C,連接尸C,

則ZACF的度數(shù)為15度.

D

【分析】利用菱形的性質(zhì)得出NDCB的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出NDCF的度數(shù),

進而得出答案.

【解答】解：?.?菱形AfiCZ）中，ZZMfi=60°,DF=DC,

.-.ZBCD=60°,AB!/CD,NDFC=NDCF,

?.??？?，43于點“，

,-.ZFDC=90°,

:.ZDFC=NDCF=45°,

?菱形ABCD中，ZDCA=ZACB,

..ZZ）C4=ZACB=30°,

r.NAb的度數(shù)為：45°-30°=15°.

故答案為：15。.

【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，得出

ZDFC=ZDCF=45°是解題關(guān)鍵.

11.（3分）如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖，若組

成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為n,則〃的所有可能的值之和為38.

【分析】從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個數(shù)及形狀，從主視圖可以看出每一層小正

方體的層數(shù)和個數(shù)，從而算出總的個數(shù).

【解答】解：主視圖最右邊可能有4或5或6個小正方體：

由主視圖最左邊看到只有一列，俯視圖也只有一列，則左邊有一個小正方體；

主視圖中間有兩列，俯視圖亦有兩列，則中間可以有3或4個小正方形.

的值可能為：1+4+3=8,1+5+3=9,1+6+3=10,1+4+4=9,1+5+4=10,

1+6+4=11,

則〃的所有可能的值之和=8+9+10+11=38.

故本題答案為：38.

【點評】本題考查對三視圖的理解應(yīng)用及空間想象能力.可從主視圖上分清物體的上下和左

右的層數(shù)，從俯視圖上分清物體的左右和前后位置，綜合上述分析數(shù)出小立方塊的個數(shù).

12.（3分）如圖，矩形ABC。中，AB=6,AD=4拒,點E是的中點，點尸在回上,

FB=2,P是矩形上一動點.若點P從點F出發(fā)，沿尸-Af的路線運動，當(dāng)

N"E=30。時，尸尸的長為4或8或4名.

【分析】如圖，連接用，AE,DE,取。尸的中點O,連接。4、OE.以。為圓心畫。O

交8于《.只要證明/￡［尸=/我鳥/=/R￡：=30。，即可推出鵬=4,尸2=8,FP3=4y/3

解決問題.

【解答】解：如圖，連接￡）尸，AE,DE,取/方的中點O,連接。4、OE.以O(shè)為圓心

OE的長度為半徑，畫。O交8于心.

?.?四邊形ABCZ）是矩形，

ZBA￡>=ZB=90°>

?;BF=2,BE=2也,AF^4,AD=4y/3,

tanZFEB=tanZADF=—,

3

：.ZADF=AFEB=3CP,

易知EF=OF=OD=4,

:.AOEF是等邊三角形,

NERF=ZFP2F=ZFP\E=30°,

.?.F[=4,FP2=8,FP3=4X/3,

故答案為4或8或4百.

【點評】本題考查矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、圓的有關(guān)知識、等邊三角形的判定和性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考填空題中的

壓軸題.

三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共30分)

13.(6分)解方程:

(1)(2x+l)2=9；

(2)(x+4)2=3(x+4).

【分析】(1)兩邊直接開平方，繼而得到兩個關(guān)于x的一元一次方程，解之即可；

(2)先移項，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于x的一元一次

方程，再進一步求解即可.

【解答】解：(1);(2x+l)2=9,

；.2x+l=3或2x+l=-3,

解得號=1,X2=—2；

(2);(x+4)2=3(x+4),

(x+4)2—3(x+4)=0,

貝i」(x+4)(x+l)=0,

;"+4=0或x+l=0,

解得斗=-4，毛=—1.

【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因

式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法.

14.(6分)如圖，在口ABC。中，AEYBC,CFA.AD,E,尸分別為垂足.

(1)求證：BE=DF；

(2)求證：四邊形業(yè)戶是矩形.

BEC

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出NB=N。，AB=CD,ADIIBC,由已知得出

NAEB=NAEC=Na7)=N/FC=90。，由A45證明A4BE三ACDF即可；

(2)證出NW=NA￡C=NAFC=90。，即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

??"=",AB=CD,AD/IBC,

?/AE±BC,CFLAD,

ZAEB=ZAEC=ZCFD=ZAFC=90°，

在AASE和ACD尸中，

NB=ND

<NAEB=NCFD,

AB=CD

:./\ABE^ACDF(AAS),

:.BE=DF；

(2)證明：?:ADIIBC,

:.ZEAF=ZAEB=9Q°,

:,ZEAF=ZAEC=ZAFC=90°,

.??四邊形AEC尸是矩形.

【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握

平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定是解題的關(guān)鍵.

15.(6分)如圖,反比例函數(shù)了=々女力0)的圖象與正比例函數(shù)丫=2工的圖象相交于點41,0),

x

3兩點，點C在第四象限，CA//y軸，ZABC=90°.

(1)求k的值及5點坐標(biāo)；

(2)求AA8C的面積.

【分析】(1)先把4(1,。)代入y=2x中求出。得到A(l,2)；再把A點坐標(biāo)代入y=±中可確

X

定女的值，然后利用反比例函數(shù)和正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)確定3點坐標(biāo)：

(2)設(shè)C(1,Z),根據(jù)兩點間的距離公式和勾股定理得到

(1+1)2+(/+2)2+(1+1)2+(2+2)2=(2-r)2,求出/得到C(l,-3),從而得到AC的長，然后

關(guān)鍵三角形面積公式求得即可.

【解答】解：(1)把A(1M)代入y=2x得a=2,則4(1,2)；

把A(l,2)代入y=幺得々=1x2=2,

X

點A與點3關(guān)于原點對稱，

8(—1,—2)；

(2);C4〃y軸，

點的橫坐標(biāo)為1,

設(shè)

vZAfiC=90°.

BC2+AC2=AB2,

即(1+1)2+Q+2)2+(1+1)2+(2+2)2=(2-r)2,

解得f=—3,

/.AC=5，

=1-4C(xA-xfl)=1x5x(l+l)=5.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐

標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩

者無交點.也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

16.(6分)如圖，在矩形中，點￡為AD的中點，請只用無刻度的直尺作圖

(1)如圖1，在3c上找點F,使點尸是BC的中點；

(2)如圖2,在AC上取兩點尸，。，使尸，。是AC的三等分點.

【分析】（1）根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分作出圖形即可;

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理作出圖形即可.

【解答】解：（1）如圖1,連接AC、BD交于點O,

延長EO交8c于尸，

則點尸即為所求；

（2）如圖2,8。交AC于O,延長比＞交3c于尸，

連接EB交AC于P,連接。尸交AC于Q,

則尸、Q即為所求.

【點評】本題考查的是作圖的應(yīng)用，掌握矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理、正確作出圖形是

解題的關(guān)鍵.

17.（6分）我國于2019年6月5日首次完成運載火箭海上發(fā)射，這標(biāo)志著我國火箭發(fā)射技

術(shù)達(dá)到了一個嶄新的高度.如圖，運載火箭從海面發(fā)射站點M處垂直海面發(fā)射，當(dāng)火箭到

達(dá)點A處時，海岸邊N處的雷達(dá)站測得點N到點A的距離為8千米，仰角為30。.火箭繼

續(xù)直線上升到達(dá)點8處，此時海岸邊N處的雷達(dá)測得8處的仰角增加15。，求此時火箭所在

點3處與發(fā)射站點M處的距離.（結(jié)果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,73?1.73）

【分析】利用己知結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出3M的長.

【解答】解：如圖所示：連接由題意可得：ZAMN=90°,ZANM=30°,NBNM=45°,

AN=8km,

在直角AAMZV中，MN=AA^<os30°=8x—=4-j3（hn）.

2

在直角ABMN中，BM=A7N?tan450=4y/3hn?6.9km.

答：此時火箭所在點3處與發(fā)射站點M處的距離約為6.96”.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角

形并解直角三角形.

四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

18.（8分）已知如圖，在AABC中，平分NABC交AC于點。，點￡在上，且

BD1=BE-BC；

(1)求證：NBDE=NC;

⑵求證：AD1=AE.AB.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到/4fiZ）=NCB。，由BD2=BE.BC,得到叱=d,

BEBD

推出AEBD^ADBC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）由NBDE=NC,推出ZDBC=ZADE,等量代換得到ZABD=ZADE,證得

A4PESA4B￡）,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】證明：（1）?.?比>平分NABC,

:.ZABD^Z.CBD,

?/BD1=BE.BC,

.BD_BC

耘一訪’

AEBD^ADBC，

:.ZBDE=ZC;

(2)-.ZBDE=ZC,

ZDBC+ZC=ZBDE+ZADE,

:.ZDBC=ZADE,

?.ZABD=NCBD,

:.ZABD=ZADEf

:.^ADES/\ABD,

.AD_AE

~AB~~AD'

即ADr=AE-AB.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性

質(zhì)即可得到結(jié)論.

19.(8分)如圖，ABIICD,點、E,尸分別在他，8上，連接防，ZAEF、NC莊的

平分線交于點G,ZBEF.NW方的平分線交于點

(1)求證：四邊形EGE是矩形；

(2)小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進行了探索，過G作MN//EF,分別交4?,8于點

M,N,過“作PQ//EF,分別交回，CD于點P,Q,得到四邊形MVQP,此時，他

猜想四邊形MNQP是菱形，他的猜想是否正確，請予以說明.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)進行導(dǎo)角，可求得四邊形EGFH的四個內(nèi)角均為90。，進

而可說明其為矩形.

(2)根據(jù)題目條件可得四邊形MNQP為平行四邊形，要證菱形只需鄰邊相等，連接G",

由于M/V=EF=GH,要證=只需證G〃=MP,只需證四邊形MFHP為平行四邊

形，可證G、H點、分別為MN、PQ中點，即可得出結(jié)果.

【解答】(1)證明：平分N3EF,FH平■貨ZDFE,

NFEH=-NBEF,ZEFH=-ZDFE,

22

-,-AB//CD,

ZBEF+ADFE=180°,

ZFEH+NEFH=-(NBEF+NDFE)=1x180°=90°>

22

ZFEH+ZEFH+ZEHF=180°,

/.NEHF=180°-(NFEH+NEFH)=180°-90°=90°,

同理可得：ZEGF=90°,

?.?EG平分NA￡F,

-.-EH平分ZBEF,

NGEF=-ZAEF,ZFEH=-ZBEF,

22

???點A、E、8在同一條直線上，

/.ZAEB=180°,BPZAEF+ZBEF=180°,

NFEG+ZFEH=1(ZAEF+ZBEF)=；x180°=90°,

即NGEH=90。,

二.四邊形EGrH是矩形

(2)解：他的猜想正確，

理由是：

■.■MN//EF//PQ,MP//NQ,

：.四邊形MNQP為平行四邊形.

如圖，延長E”交C。于點O,

ZPEO=ZFEO,APEO=NFOE,

.-.ZFOE=ZFEO,

:.EF=FD,

-.-FH1.EO,

:.HE=HO,

ZEHP=NOHQ,NEPH=ZOQH,

:.\EHP=\OHQ,

:.HP=HQ,

同理可得GA7=GN,

MN=PQ,

;.MG=HP,

：.四邊形為平行四邊形,

：.GH=MP,

-,-MN//EF,ME/INF,

：.四邊形MEFN為平行四邊形,

MN=EF,

?.?四邊形反芹H是矩形，

GH=EF,

:.MN=MP,

平行四邊形MNQP為菱形.

【點評】本題考查矩形、菱形的性質(zhì)與判定，屬于綜合題，熟練掌握菱形和矩形的性質(zhì)及判

定方法是解題關(guān)鍵.

20.（8分）小聰同學(xué)周六到某歡樂谷玩迷宮游戲，從迷宮口A到達(dá)迷宮口。有多個路口，

如圖所示（迷宮的一部分），規(guī)定從迷宮口A到達(dá)。處不能重復(fù)走同一路線，且小聰走每一

條路線的可能性相同.

（1）請用畫樹狀圖的方法，求小聰同學(xué)從迷宮口A到達(dá)。處所走的所有可能路線；

（2）求小聰同學(xué)從迷宮口A到達(dá)。處經(jīng)過路口8的概率.

【分析】（1）根據(jù)題意得出小聰同學(xué)從迷宮口A到達(dá)。處所走的所有可能路線共有4種;

（2）根據(jù)概率公式進行求解即可.

【解答】解：（1）根據(jù)題意畫圖如下：

小聰同學(xué)從迷宮口A到達(dá)D處所走的所有可能路線共有4種;

（2）一共有4種情況，而過5的有3種，

故小聰同學(xué)從迷宮口A到達(dá)。處經(jīng)過路口8的概率為？.

4

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可

能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識

點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

21.（9分）某商店購進一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y

（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.

（1）求該商品每天的銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若商店按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少，才能使銷售

該商品每天獲得的利潤卬（元）最大？最大利潤是多少？

（3）若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多少

件？

A》'件

【分析】(1)將點(30,100)、(45,70)代入一次函數(shù)表達(dá)式，即可求解;

(2)由題意得W=(X-30)(-2X+160)=-2(X-55)2+1250,即可求解;

(3)由題意得(x-30)(-2x+160)..800,解不等式即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b,

將點(30,100)、(45,70)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：

[70=45^+/?

故函數(shù)的表達(dá)式為：y=-2x+160；

(2)由題意得：w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1250,

?.?一2<0,故當(dāng)x<55時，w隨x的增大而增大，而3(顏k50,

.,.當(dāng)x=50時，卬有最大值，此時，卬=1200,

故銷售單價定為50元時，該商店每天的利潤最大，最大利潤1200元；

(3)由題意得：(X-30)(-2x+160)..800,

解得：40融70,

又；y=-2x+160..20,

則y的最小值為-2x70+160=20,

每天的銷售量最少應(yīng)為20件.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次不等式的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函

數(shù)解析式等知識，正確利用銷量x每件的利潤=卬得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.

22.(9分