高中數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義導(dǎo)數(shù)北師大版選修2

導(dǎo)數(shù)一．重點(diǎn)精講1．導(dǎo)數(shù)的觀點(diǎn)函數(shù)y=f(x)，假如自變量x在x0處有增量x，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量y=f(x0+x)－f(x0)，比值y叫做函數(shù)y=f(x)在x0到xx0+x之間的均勻變化率，即y=f(x0x)f(x0)。xx假如當(dāng)x→0時(shí)，y有極限，我們就說(shuō)函數(shù)=(x)在點(diǎn)x0處可xyf導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f’(x0)或y’|xx0。即f(x0)=limy=limf(x0x)f(x0)。x0xx0x說(shuō)明：(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)0處可導(dǎo)，是指x→0時(shí)，y有極限。假如y不xxx存在極限，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)x0處不行導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)。(2)x是自變量x在x0處的改變量，x≠0時(shí)，而y是函數(shù)值的改變量，能夠是零。2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)=(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線=(x)在點(diǎn)yfyfp(x,f(x))處的切線的斜率。也就是說(shuō)，曲線y=f(x)在點(diǎn)p(x,f(x))0000處的切線的斜率是f’(x0)。相應(yīng)地，切線方程為y－y0=f’(x0)(x－x0)。3．常有函數(shù)的導(dǎo)出公式．(1)()=0(為常數(shù))(2)(n=?n(3)(x)x’Cx)-1e=C’nx’e

(4)(sinx)’=cosx(5)(cosx)’=-sinx(6)(lnx)’=1x4．兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法例法例1：兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即：(u±v)’=u’±v’。法例2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(u?v)’=u’?v+u?v’。若C為常數(shù)，則(Cu)’=C’u+Cu’=Cu’。即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：()’=Cu’。Cu法例3：兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：u'=u'vuv'(v0)。vv2形如y=f[φ(x)]的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解——求導(dǎo)——回代。法例：y’|x=y’|φ·φ’|x5．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，假如f’(x)>0，則f(x)為增函數(shù)；假如f’(x)<0，則f(x)為減函數(shù)；假如在某區(qū)間內(nèi)恒有f’(x)=0，則f(x)為常數(shù)；曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點(diǎn)左邊切線的斜率為正，右邊為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左邊切線的斜率為負(fù)，右邊為正；(3)一般地，在區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值。①求函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；②求函數(shù)f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的值?(a)、?(b)；③將函數(shù)f(x)的各極值與?(a)、?(b)比較，此中最大的是最大值，此中最小的是最小值。二．典例分析題型1：導(dǎo)數(shù)的觀點(diǎn)例1．已知s=1gt2，(1)計(jì)算t從3秒到3.1秒、3.001秒、3.00012秒.各段內(nèi)均勻速度；(2)求t=3秒是剎時(shí)速度。例2．求函數(shù)y=42的導(dǎo)數(shù)。x題型2：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算例3．(1)求yx(x211)的導(dǎo)數(shù)；(2)求y(x1)(11)xx3x的導(dǎo)數(shù)；(3)求yxsinxcosxx2的導(dǎo)數(shù)；的導(dǎo)數(shù)；(4)求y=22sinx(5)求y＝3x2xx5x9的導(dǎo)數(shù)。x例4．寫(xiě)出由以下函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)：(1)y=cosu，u=1+x2(2)y=lnu，u=lnx(3)=2x(4)=u，=x2yeyeu題型3：導(dǎo)數(shù)的幾何意義例5．(1)若曲線y=x4的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直，則l的方程為A．4x-y-3=0B．x+4y-5=0C．4x-y+3=0D．x+4y+3=0過(guò)點(diǎn)(－1,0)作拋物線y=x2+x+1的切線，則此中一條切線為()(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+1=0(D)x-y+1=0例6．(1)半徑為r的圓的面積()＝πr2,周長(zhǎng)()=2，若將r看SrCrπr

2作(0,＋∞)上的變量，則(πr)’＝2πr①，①式能夠用語(yǔ)言表達(dá)為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0,＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫(xiě)出近似于①的式子：②；②式能夠用語(yǔ)言表達(dá)為：。(2)曲線y1和yx2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的x三角形面積是。題型4：借助導(dǎo)數(shù)辦理單一性、極值和最值例7．(1)對(duì)于R上可導(dǎo)的隨意函數(shù)f(x)，若知足(x－1)f’(x)0，則必有()A.f(0)＋f(2)2f(1)B.f(0)＋f(2)2f(1)C.f(0)＋f(2)2f(1)D.f(0)＋f(2)2f(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f’(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如下圖，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(,)內(nèi)有極小值點(diǎn)()abA．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)(3)已知函數(shù)fx1xeax。(I)設(shè)a0，討x論y=f(x)的單一性；(II)若對(duì)隨意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范圍。例8．(1)f(x)x33x22在區(qū)間1,1上的最大值是()(A)－2(B)0(C)2(D)4(2)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a-1)x2+1，此中a≥1。(I)求f(x)的單一區(qū)間；議論f(x)的極值。題型5：導(dǎo)數(shù)綜合題例9．設(shè)函數(shù)f()=-x3+3+2分別在x1、2處獲得極小值、極大值。xoyxxx平面上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,f(x1))、(x2,f(x2))，該平面上動(dòng)點(diǎn)P知足PA?PB4,點(diǎn)Q是點(diǎn)P對(duì)于直線y=2(x-4)的對(duì)稱點(diǎn).求求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.例10．設(shè)函數(shù)f(x)=ax21xa，x∈(0,1]，a∈R+。(1)若f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)求f(x)在(0,1]上的最大值。作業(yè)一、選擇題1、函數(shù)f(x)x33x21是減函數(shù)的區(qū)間為()(Ａ)(2,)(Ｂ)(,2)(Ｃ)(,0)(Ｄ)(0,2)2.在函數(shù)yx38x的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐()4標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)A．3B．2C．1D．0f（x）0，則必有3．對(duì)于R上可導(dǎo)的隨意函數(shù)f(x)，若知足(x－1)()A.f(0)＋f(2)2f(1)B.f(0)＋f(2)2f(1)C.f(0)＋f(2)2f(1)D.f(0)＋f(2)2f(1)4.設(shè)a0,f(x)ax2bxc，曲線yf(x)在點(diǎn)Px0,f(x0)處切處的傾斜角的取值范圍為[0,]，則P到曲線yf(x)對(duì)稱軸距離的取值范4圍()A．[0,11]C．b|]D．b1|]]B．[0,[0,|[0,|a2a2a2a5．與直線2xy40的平行的拋物線yx2的切線方程是()

A．2xy30B．2xy30C．2xy10D．2xy106．設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，g(x)0,，當(dāng)x0時(shí)，f(x)g(x)f(x)g(x)0,且f(3)0,則不等式f(x)/g(x)0的解集是()A.(3,0)(3,)B.(3,0)(0,3)C.(,3)(3,)D.(,3)(0,3)7．函數(shù)f(x)=x(x－1)(x－2)··(x－100)在x0處的導(dǎo)數(shù)值為()A.0B.1002C.200D.100！8．過(guò)點(diǎn)(－1，0)作拋物線yx2x1的切線，則此中一條切線為()(A)2xy20(B)3xy30(C)xy10xy109．設(shè)函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xc)，(a、b、c是兩兩不等的常數(shù))，則abc．f(a)f(b)f(c)A.0B.-1C.2D.-210.過(guò)曲線y1和yx2交點(diǎn)的切線與坐標(biāo)軸圍成的在它們的三角x形的面積是()A.1B.3.C.3D.34482二、填空題1、曲線f(x)x32x24x2在點(diǎn)(1,3)處的切線方程是________________；2、函數(shù)f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3時(shí)獲得極值，則a=_________；3、設(shè)曲線yax2在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線2xy60平行,則____________；4、已知曲線yx23lnx的一條切線的斜率為1，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)42為_(kāi)____________；5、曲線yx3在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸、直線x2所圍成的三角形的面積為；三、解答題1.已知拋物線12212C：y=x+2x和C：y=－x+a，假如直線l同時(shí)是C和C的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段.(Ⅰ)a取什么值時(shí)，C1和C2有且僅有一條公切線？寫(xiě)出此公切線的方程；(Ⅱ)若C1和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段相互均分.2．已知f(x)=x22f(2x+1)=4g(x),且+ax+b,g(x)=x+cx+d,又xgx，f(5)=30,則求g(4)。3．已知向量i=(1，0)，j=(0，1)，函數(shù)f(x)ax3bx2c(a0)的圖象在y軸上的截距為1，在x=2處切線的方向向量為(ac)i12bj，而且函數(shù)當(dāng)x1時(shí)獲得極值。(1)求f(x)的分析式；(2)求f(x)的單一遞加區(qū)間；(3)求f(x)的極值。4.設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)x3x2xa.(Ⅰ)求f(x)的極值.(Ⅱ)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí),曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).5．設(shè)t0，點(diǎn)P(t，0)是函數(shù)f(x)x3ax與