專題52 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

nnnn1nnnlmnnknnnn1nnnlmnnkmknnnnnnnnnnn第五

數(shù)列其應(yīng)專題5.2等差數(shù)及其前n項(xiàng)和【試求】1.2.n3.4..【識理】1.等數(shù)的概(1)如一數(shù)列從第項(xiàng)，一項(xiàng)它前一的等于一常數(shù)那這個列叫做差.數(shù)語表達(dá)a＝d(nN*，為)＋a＋b(2)若a，，成等數(shù)，則叫，的差中項(xiàng)，A＝2

.2.等數(shù)的通公與前項(xiàng)公式(1)若差列{}首是，差，則其通項(xiàng)式為＝a＋(－1).1n（n－1）n（＋a）(2)前n項(xiàng)公＝na＋＝12

.3.等數(shù)的性(1)通公的推廣：＝＋(n－m)(n，N*(2)若{}等數(shù)列且＋l＝m＋nklmN*)，＋a＝＋.(3)若{a}等差數(shù)列，差，，a＋

＋

2

，(kN*是公為的等數(shù)(4)若為差列{a}前項(xiàng)，數(shù)列，－，－，也是差數(shù)mmmm2(5)若為差數(shù){}前項(xiàng)，數(shù)列n也為差.【點(diǎn)醒】1.已數(shù){}通公式是a＝＋q其，q為數(shù))，數(shù)列{}定等差列，且公為2.在差列{a}，a＞0，d＜0，存最大；＜，d＞0，存最.111

nnnnnnnn1n2nnnn1481nnnnnnnnn1n2nnnn1481nnn3.等數(shù){}單調(diào)性：d＞0時(shí){a}遞增數(shù)列；d＜時(shí)，}遞數(shù)列當(dāng)d＝0時(shí)，{a}常列4.數(shù){}等差數(shù)列＝2＋Bn(AB為數(shù))【誤析】1.判下結(jié)論誤在括號打√”“)(1)數(shù){}等數(shù)列充要條件對任∈*都2＝a＋a)＋＋(2)等數(shù){}單性是公差d決的()(3)數(shù){}等數(shù)列的充條件是其項(xiàng)公為n的次函((4)等數(shù)的前項(xiàng)公是常項(xiàng)的次函.)【案(1)√√×(4)×【析(3)0.(4)0.【材化】必修5P46A2改編設(shè)列{a}等數(shù)，其項(xiàng)為，＝2且S＝30，S等(6A.31C.33【案Ba2【析5ad126a138×∴8ad23

)必修5P68A8改編在差列{}，＋＋a＋＋a＝，則a＋a＝3478

.【案【析aaa5a450∴90aa3555【題驗(yàn)】全Ⅰ)記為差數(shù)列{}前和若＝＋，＝2，a＝()3412

nnnn1nnnnnnnmnnnn1nnnnnnnm－－10【案B3【析{}d3)aa6ddad31112∴aa42×(10.5上海黃區(qū)擬已等數(shù)列{a}，＝，項(xiàng)S＝15，則列{}公差(25

)5－3－2

－2D.－【案【析{}d1

a25

a115×5ad152蘇北四聯(lián)在差數(shù)列{}，知a＋>0且<0，，，…，中最小的是39129

.【案

5【析{}∵aaS3∴aaa589

9aa12

9<05∴aa>056∴…SS.15【點(diǎn)焦】考一等差列本量運(yùn)【】(1)(一多)全Ⅰ)記S為差數(shù)列{}前n項(xiàng)和若a＋，，{}公45差(

)A.1

C.4濰坊測設(shè)差列{}前項(xiàng)和S，＝，a＝，若a＝30，＝11A.9B.10C.11

)3

nnnnn33333nn33333333333333nnnnn33333nn33333333333333【案(1)C【析(1)法一{}d41

6a1

6×2

d48

d法{}6

×6162

aaa16aad8d4.452(2){}11×111a111

a2a3d124

1a(md7m40m1【律法】1.等數(shù)的通公及前n項(xiàng)公共涉五量，，d，，，知其三就能另兩個體1現(xiàn)用程的想解決題2.數(shù)的項(xiàng)公和n項(xiàng)公式解題中起變量代換用，a和是等數(shù)的兩基本量，它1們示知和知常用法【練】(1)等差列l(wèi)og)，)，log(4＋2)，…的四項(xiàng)于)A.3C.log18D.log24(2)(題解)設(shè)差{}前n項(xiàng)為，6，S＝，則＝36【案(1)A(2)30【析(1)∵log(2)log(3xlog2)∴)logx)∴xlog(3x229x).∴l(xiāng)og8log12log183∴dlogloglog2

.4

333nnn34n6nnnnnnn1n1nnnnn＝－333nnn34n6nnnnnnn1n1nnnnn＝－＝＝3∴l(xiāng)og18log272(2)法{}16S34

3a3314a641

a01d2S6a1561法{}n2

93B3S61216A4122S考二等差列判定證1【】(典母題若列{}前項(xiàng)為，滿a＋2S＝≥，a＝.1－

21(1)求：S成差數(shù)；(2)求列{a}通公式.【案見解【析(1)明當(dāng)≥2時(shí)，由a＋S＝0，－得＝S－11又＝＝，

－

1

11，以－＝2，n－111故S是項(xiàng)，差2的差.1(2)解由1)可＝2n，＝.2n當(dāng)n≥2時(shí)a＝－nnn

－

1

11－－.2nn1）n（－）2n（n－1）1當(dāng)n＝1時(shí)a＝不適上125

nnnn1nnnn11nnn＝－＝，nn1－n1nn－n1nn＝(＋1)annnn1nnnn11nnn＝－＝，nn1－n1nn－n1nn＝(＋1)a＋(n＋，試求數(shù){}通公.15n1n1nn1nnnn1

，n＝1，故a＝

21－，n≥2.2n（－）【移究1】本例條不變判斷數(shù)列{}否等差列，說理.【案見解【析因?yàn)椋剑荩琣＋＝，－－所－＋0(n2).－11所－＝2(≥2).nn－1又＝＝，111所是以為項(xiàng)，2為公的等數(shù)11所＝＋(n－1)＝n，S＝n所當(dāng)≥2時(shí)，a＝－－1n2n1）2（n－）所a

＋

＝

－12（＋1）

，a

1

－1－1－1－a＝－＝2n（＋）2n（－）2n

1n＋1n－＝

1.nn－1）n）所當(dāng)時(shí)a－a的值不是個與無關(guān)的數(shù)故數(shù){}是一個等差數(shù).＋3【移究】本例，若條變?yōu)閍＝，＋1n【案見解aaa3【析由已可＋＝＋1，＋－＝1，＝，1n＋1n＋n5a

n

a∴n以

＝為首項(xiàng)1為差等差數(shù)列15a32∴＝＋n－＝－，∴a＝n2－n.n55【律法】1.證數(shù)是等數(shù)的主方：(1)定法對n≥2任意然數(shù)，驗(yàn)－a

－

1

為一

6

n1n2nnnnnnn12nnnnn2n1n2nnnnnnn12nnnnn212nn12nn(2)等中法驗(yàn)證a＝a＋(≥，∈*)都立.－－2.判一數(shù)列等數(shù)列常到結(jié)：(1)通公：＝pn＋，q為數(shù))?{an}是差數(shù)列.(2)前n項(xiàng)公Sn＝An2

＋Bn(A，為常)?{a}等差.問的終判還利用【練】全國卷記S為比數(shù){}前n項(xiàng).已＝，＝6.23(1)求{}通公式(2)求S，判S，是成等差數(shù)＋＋【案見解【析(1){}公比為，題可得a(1＋q)＝，1a(1＋＋2＝－，1

解

q＝－，a＝－1故{}通公為＝－2)n.(2)由(可a(1－q1

n

)

n＝

1－q

＝＋(－n.3由

＋

＋S＝－＋

4n＋3－n＋－1)n3

＋

2

.＝2

－＋(－1)n3

n＋13＝，故S，成差數(shù)＋＋考三等差列性質(zhì)應(yīng)角1等差列的性【－1】(2019·臨一在等差列{}，a＋a＋a＝120，a＋的為1815214A.6B.12C.24【案【析∵{}a3aa1201a3aa5a120188∴a∴a2a48.82148

)7

角2等差列的性8

nnnnmpnn2n12nnn2nn22nnnnnnnmpnn2n12nnn2nn22nnnnT7n221【3－】設(shè)等差數(shù){}前項(xiàng)為，＝9，＝，則＋a＋等于)369A.63C.36【案B【析{}SS3962()SS)6396SS393aa45.79【律法】1.項(xiàng)性：在差{}，若＋＝＋(m，，q∈*，＋＝＋2.和性：在差{}，為前n和則＝n(a＋a)＝＝(a＋a；(2)S＋a.

＝(2－【練3】(1)知是差列{}前n項(xiàng)和若＝－2，－＝，則＝12015荊州模在差列{}，若＋a＋＝3，a＝8，的是)34512

.A.15C.31(3)等數(shù){}{}前項(xiàng)分別為S和，＝nnn3719B.271429

3n－a7，等于2n＋143

(

)【案(1)6(2)A(3)A【析(1)6∴20152009S018d2015018320191∴3×20196057.2(2)aa3∴3a3a1.449

113a72a7aa13×1313×1337nnnnnnnnnn1113a72a7aa13×1313×1337nnnnnnnnnn1nn1nnnnaa×8.41212∴a16112a(3)bbbT771131323×132.2×131考四等差列前項(xiàng)及其值【4】(2019·衡學(xué)質(zhì))已數(shù){}前n項(xiàng)為S≠，數(shù)，λ＝＋對切整1數(shù)都立(1)求列{a}通公式(2)設(shè)，＝，n為值，數(shù)1

lg

1a的n項(xiàng)最？【案見解【析(1)＝，λ＝2＝，λa－2)0，11112因a≠0，以＝，11λ22當(dāng)≥2時(shí)，＝＋，＝＋1－λλ

n－

1

，兩相得－＝a(≥2).－所a＝2a(n≥2)－從數(shù){}等比數(shù)·2n

－

n1.nλ2n(2)當(dāng)a>0，＝時(shí)由1)知＝，1n

1001100則b＝＝＝－lgn＝2－n，an所數(shù){}單調(diào)減等差列公差－lg，100所b>b>…>b＝＝>lg1＝0，12626100當(dāng)n≥7時(shí)b≤b＝<lg1＝，72710

nnnnmnmm11＋＋m1mnmma0nnnnnn21nnnnnnnnmnmm11＋＋m1mnmma0nnnnnn21nnnnlg

1所數(shù)

a的6項(xiàng)最.【律法】求差數(shù)前和的值常用方法(1)函法利用等差列前項(xiàng)的函表式＝an＋bn(a≠0)，過配或助圖求次函的值(2)利等數(shù)列的單性，求出正負(fù)轉(zhuǎn)折，進(jìn)而求的最值①a，，足1②a，，足1

a≥0，的數(shù)使取得最大為(0時(shí)S也為大；a＋≤0a≤0，的數(shù)使取得最小為(0時(shí)S也為小).＋m1【練】(1)差數(shù){}公d≠0，，，a成比數(shù)，若＝5，為列{}前n項(xiàng)，3155則列的n項(xiàng)取小時(shí)的為(A.3或5

)或4D.5(2)已等數(shù){}首a＝，公d＝，前n項(xiàng)和的大值為1【案(2)110

.【析(1)

2d11ad51≠a321∴

n

nnnad1nn

n4≥≥4∴nn34.(2){}21nn1d×122

n

21221222∈*n11

nnnnn611nnnnnnn611nn【思感悟1.證等數(shù)列利定義等中項(xiàng)性，另還用前n項(xiàng)＝＋及項(xiàng)＝pnq來判斷一數(shù)是否等數(shù)列.2.等數(shù)基本思(1)在有等差數(shù)列基本量問時(shí)，可通列關(guān)于，的方組行求1(2)若數(shù)數(shù)成等差列，可設(shè)間三項(xiàng)為－d，，＋.若數(shù)數(shù)成差列，設(shè)間兩為a－d，＋，其余項(xiàng)依據(jù)差列的義行對設(shè)(3)靈使等差數(shù)列性質(zhì)，可大大減少算.【錯范】1.用義證明等差列應(yīng)從2項(xiàng)起”如明a＝(n≥時(shí)應(yīng)意驗(yàn)a－a是否等nn21于，－≠d，數(shù){}為差數(shù).212.利二函數(shù)質(zhì)等差列項(xiàng)最值，定要意變量是整【層練】【礎(chǔ)固題】(議用：分鐘一選題1.已等數(shù)列{a}9項(xiàng)的為27，a＝8，a＝()10B.99C.98【案C【析{}d

9ad1a81

a11dad19998.100a淄博調(diào)研設(shè)是差數(shù)列{}前和若＝，則＝(a59

)A.1【案A

－C.2

1212

116nnnn11n1nnnn1nn95n95n116nnnn11n1nnnn1nn95n95n【析

11a9×1.

9

9a

5

9111中原名聯(lián)若列{}足－＝d∈N*為常)，稱數(shù)}調(diào)數(shù)列已知數(shù)an＋為和列，＋…＝，則x＋＝)122016A.10C.30【案B1【析xd＋x＋∴{x}.20xxx…x12

∴xxxxx20.1205北海區(qū)中古詞中，有道“子綿”數(shù)名題“百九六綿，分次每多十，將第數(shù)言是：把996斤分給個子盤纏按年齡大小的序次分，齡小比齡大多斤，么第個子到綿是()斤

B.184斤

斤

D.201斤【案B【析a…128aa…899618×7∴8a×112∴a×17184184.85.已等數(shù)列{a}前項(xiàng)為S，＝9，1

－＝4，取大時(shí)n為)9A.4B.5D.4或【案B【析{}9

aa2513

nnnnn1nn1n16nnnnnnnnnnnnnnnn1nn1n16nnnnnnnnnnnn2119a2n211<0>12Sn5.二填題6.已等數(shù)列{a}公為2，數(shù)是偶數(shù)所有奇數(shù)之和為1，有數(shù)項(xiàng)和25，這個列項(xiàng)為

.【案10【析n252n5偶7.已數(shù){}足＝1，a－＝a，則a＝＋＋

.【案

1111【析a2.1＋＋11＝a115×11a6a116

an＋n8.設(shè)S是差數(shù){}前n項(xiàng)，16，S－＝，則＝10100【案

.【析

SSS.10302010090

108×9S24S2416dd，SSd1009010090100910×910×16×200.2三解題9.等數(shù){}，a＋a＝，＋a6.357(1)求{}通公式(2)設(shè)b＝[]，數(shù)列{}前項(xiàng)，其[x]表不超的大數(shù)，[0.9]＝0，＝【案見解14

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn1n【析(1)數(shù)列{}項(xiàng)a，公差d，1由意

2a＋5d＝4，1a＋5d＝

a＝1，1解d＝1所{}通公式a＝2n＋3

52n＋3.5(2)由(知b＝2＋3當(dāng)n＝1，，3時(shí)≤<2＝；52n＋3當(dāng)n＝4，5時(shí)，2≤，b＝；52＋3當(dāng)n＝6，，8時(shí)≤<4＝；5當(dāng)n＝9，時(shí)，≤

2n＋<5，b＝5所數(shù){}前10項(xiàng)為×＋2×2＋3×3＋×＝24.10.已等差數(shù)列前三項(xiàng)依為a，4，3，項(xiàng)為S，＝110.(1)求a及k的；(2)設(shè)列通公式b＝，明：列{}等數(shù)列并其前項(xiàng)T.n【案見解【析(1)設(shè)該差數(shù)為{}則a＝，＝，a＝a，12由知＋a＝8，a＝＝2，差d＝4－＝2，1所S＝＋1

（－）（－）d＝＋2

×2＝k＋，由S，得k

＋k110＝，解k10或k－11(舍)故a＝，k(2)證由(1)得S＝

n（＋2n）＝nn＋1)，2則b＝＝＋，n故b－b＝(＋－n＋＝，＋即列{}首項(xiàng)為2，差為1的差列，15

n12nn1n118nn11nna12nnn12nnnnnnnnnnn12nn1n118nn11nna12nnn12nnnnnnnnnn所＝n

n（2＋＋1）（＋3）＝.22【力升題】(議用：分鐘濟(jì)模設(shè)數(shù){}足a1＝2＝(1)a(1)a(n≥且∈*＝(－＋

)

259

269

289【案B【析bna2bbb(2)－＋{}1bd3n1218261852a.1891