行列式的性質(zhì)行列式展開

行列式的性質(zhì)行列式展開第一頁，共五十八頁，2022年，8月28日一、行列式的性質(zhì)2、性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.1、記第二頁，共五十八頁，2022年，8月28日例如：對這個(gè)行列式進(jìn)行轉(zhuǎn)置第三頁，共五十八頁，2022年，8月28日3、性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列),行列式變號.互換行列式的二、三行例4、推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有第四頁，共五十八頁，2022年，8月28日5、性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.即行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．第五頁，共五十八頁，2022年，8月28日6、性質(zhì)4

行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式為零．證明第六頁，共五十八頁，2022年，8月28日7、性質(zhì)5若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如第七頁，共五十八頁，2022年，8月28日8、性質(zhì)6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如第八頁，共五十八頁，2022年，8月28日例2.1二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為三角形行列式，從而算得行列式的值．

方法二：三角形法第九頁，共五十八頁，2022年，8月28日解第十頁，共五十八頁，2022年，8月28日第十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日第十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日第十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日第十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日例2.2

計(jì)算n階行列式解:將第都加到第一列得技巧1：行和相同，全部加到某一列第十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日技巧2:相同元素很多，化0（或者化為三角形）.第十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日例2.3計(jì)算第十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日解第十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日提取第一列的公因子，得第十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日第二十頁，共五十八頁，2022年，8月28日

評注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時(shí)一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有１，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的．第二十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立).

計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．三、小結(jié)行列式的6個(gè)性質(zhì)第二十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日§1.4行列式按行(列)展開一、余子式與代數(shù)余子式二、行列式按行(列)展開法則三、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)四、行列式的計(jì)算方法小結(jié)五、思考與練習(xí)題第二十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日例如一、余子式與代數(shù)余子式第二十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如第二十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日第二十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日引理一個(gè)階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如第二十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日性質(zhì)３行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即證二、行列式按行（列）展開法則第二十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日第二十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日例3.1方法三：用降階法第三十頁，共五十八頁，2022年，8月28日第三十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日例3.2計(jì)算解第三十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日第三十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日第三十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日第三十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日

評注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來為止（一般展開成二階行列式）．這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用．第三十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日方法四:用數(shù)學(xué)歸納法例4.1證明第三十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日證對階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法第三十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日第三十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日評注第四十頁，共五十八頁，2022年，8月28日

證用數(shù)學(xué)歸納法例4.2證明范德蒙(Vandermonde)行列式數(shù)學(xué)歸納法第四十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日第四十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日n-1階范德蒙行列式第四十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日推論

行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即第四十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日三、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)第四十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日方法五:利用范德蒙行列式計(jì)算例5計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。第四十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日解第四十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知第四十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日

評注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式．第四十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日例6

計(jì)算

階行列式解：先將

添上一行一列，變成下面的

階行列式方法六：加邊法第五十頁，共五十八頁，2022年，8月28日顯然,將的第一行乘以

后加到其余各行，得注意：此為爪形行列式，記住解此行列式的方法。因,將第列的倍加到第一列,得第五十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日注：此題也可不加邊，直接利用倍加及爪形行列式方法第五十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日例7證明:第五十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日證明:第五十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日第五十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日

四、行列式的計(jì)算方法小結(jié)(3)降階法(參見例3.1，例3.2)(最常用)(2)三角形法(參見例2.1，例2.2)

利用行列式的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算把行列式化為上（下）三角形行列式，從而算得行列式的值．(4)數(shù)學(xué)歸納法(參見例4.1,例4.2)(5)利用范德蒙行列式(參見例5)(6)加邊法(參見例6)(7)遞推法(參見課本例1.17)(1)用行列式的逆序數(shù)定義計(jì)算（證明