北師大五年級奧數(shù)專題一找規(guī)律補充篇

書之屋教育找規(guī)律展篇（的次的位數(shù)整數(shù)a與它本身的乘積，即a×a叫做個數(shù)的平方，記作，即a＝a×a；同樣，三個a的乘叫做的次方，記作，即a＝a×a×a一般地，n個a相，叫做的n次方，記作a，：本講主要講a的位的變化規(guī)律，以及a除某所得余數(shù)的化規(guī)律。因為積的個位數(shù)只與被乘數(shù)的個位數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)有關(guān)，所以a

的個位數(shù)只與a的個位數(shù)有關(guān)而a的位數(shù)只有12?十種情況故我們只需討論這十種情況。為了找出一個整數(shù)a自n次后乘積的個位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，，，，5?數(shù)各是什么aaa

a

a

a

a

a

a

a

?nan的個位數(shù)

0123456789從表看出，

的個位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（）a的位數(shù)是0，，，時，的位數(shù)仍然是，，5，。（）a的位數(shù)是49時隨著的增a個位數(shù)按每兩個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個數(shù)是4時，46的順序循環(huán)出現(xiàn)a的位數(shù)是9時，9，1的序1

書之屋教育循環(huán)出現(xiàn)。（）a的位數(shù)是2378時隨著n增大a

的個位數(shù)按每四個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的位數(shù)是2，按，，8，的序循環(huán)出現(xiàn)；的位數(shù)是3時按3，9，7，1的順循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)個位數(shù)是時，，，1的序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的位數(shù)是8時按8，，，的序循環(huán)出現(xiàn)。例、求67

的個位數(shù)字。分析與解：因為67的位數(shù)是7所以67的位數(shù)隨著n增大，按，，，四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。999÷4＝249??3，所以67的位數(shù)字與7的位數(shù)字相同，即

的個位數(shù)字是3。例、2+3

的個位數(shù)字。分析與解：因為2的位字按2，，，四數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91÷4＝22??3，所以，2的位數(shù)字與2的位數(shù)字相同，等于8。類似地3

的個位數(shù)字按3，9，，四數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291÷4＝72??3，所以3與3的位數(shù)相同，等于。最后得到2+3的位數(shù)字與8+7的位數(shù)字相同，等于5。例、求28-29

的個位數(shù)字。解：由128÷4＝知，28的個位數(shù)與8

的個位數(shù)相同，等于6。由29÷2＝14??1，29的位數(shù)與9個位數(shù)相同，等于9。因為6＜9，在減法中向十位借位，所以所求個位數(shù)字為16－＝。例、求下列各除法運所得的余數(shù)：（）÷5（2）÷3分析與解）由55÷4??378的位數(shù)與8的位相同，等于2所以78可分解為10×a＋。因為10×a能整，所以除5的數(shù)是2。（）為a÷3的數(shù)不僅僅與a的個位數(shù)有關(guān)，所以不能用求5個位數(shù)的方法求解。為了尋找5÷的余數(shù)的規(guī)，先將5各次方除以余數(shù)列表如下：5

5

5

5

5

5

5

?5

除以3的數(shù)

2

1

2

1

2

1

?2

書之屋教育注意表除以3的數(shù)并不需要計算出5然后再除以3去而是用上次的余數(shù)乘以5后再除以3去比5

以的余是15

除以3的數(shù)與1×5=5除3的數(shù)相同。這是因為5＝3×8+1，中3×8能整，而5=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5（3×8）×5能3整，所以53除余數(shù)與1×5以的數(shù)相同。由上表看出

除以3的余n的增的順序循環(huán)出現(xiàn)55÷2=27??1知，5的數(shù)與5÷3的數(shù)相同，等于2例某種細菌每小時分裂一次，每次1個細分成3個菌20后，將這些細菌每7個為一組，還剩下幾個細菌分析與解：時有1×3=3（）細菌2時后有×3=3（個）細菌?時后，有3個細菌，所以本題相當(dāng)于“求3的余數(shù)”。由例4（2）的方法，將3的次方除以7的余列表如下：3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3除73

2

6

4

5

1

3

2

6

4

5的余數(shù)由上表看出3÷7的數(shù)以六數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。由20÷6??2知，÷7的余數(shù)與÷7的余相同，等于2。以最后還剩2細菌。最后再說明一點a÷b所得數(shù)，隨著n的增大，必然會出現(xiàn)周期性變化規(guī)律，因為所得余數(shù)必然小于b，所以在b個數(shù)以內(nèi)必會重復(fù)出現(xiàn)。知鞏1．求下列各數(shù)的個位數(shù)字：（）（）29（）（）173

書之屋教育2．求下列各式運算結(jié)果的個位數(shù)