江蘇省江陰二中、要塞中學(xué)等四校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 Word版含答案

2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科試題一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題的否定是()A．B．C．D．2.現(xiàn)有這么一列數(shù)：1，，，，（），，，…，按照規(guī)律，（）中的數(shù)應(yīng)為（）.A．B．C．D．3.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．B．C．D．4.設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D.既不充分也不必要條件5.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于()A．B．C．D．6.已知正數(shù)，滿足，則的最小值是().A．18B．16C．8D．107.過點(diǎn)且與有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程是（）A．B．C． D．8.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為()A．B．C．D．二．選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.設(shè)，則下列不等式中正確的是()A．B.C.D.10.下列四個(gè)函數(shù)中，最小值為的是()A．B．C．D．11.在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)，若，，則下列說法正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列12.等差數(shù)列是遞增數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，滿足，下列選項(xiàng)正確的是()A． B．C．當(dāng)時(shí)最小 D．時(shí)的最小值為三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.設(shè)，則函數(shù)的最大值為______．若關(guān)于的不等式的解集為，則15.我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周碑算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷(guǐ)長損益相同(晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測(cè)量影子的長度)，夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)十二個(gè)節(jié)氣，其日影子長依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測(cè)算，夏至、處暑、霜降三個(gè)節(jié)氣日影子長之和為16.5尺，這十二節(jié)氣的所有日影子長之和為84尺，則立冬的日影子長為________尺.16.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是________．四.解答題：本大題共6題，第17題10分，第18-22題每題12分，共70分）17.已知，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.在等差數(shù)列中，已知．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若________，求數(shù)列的前項(xiàng)和．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第(2)問中，并對(duì)其求解．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19.已知函數(shù)．(1)解關(guān)于的不等式；(2)當(dāng)時(shí),不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍．20.橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，焦距為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長為8.(1)求橢圓的方程；(2)若軸，求的面積．21.如圖所示，為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，要求，的長度大于米，且比長米，為了穩(wěn)固廣告牌，要求越短越好，設(shè)，（1）求關(guān)于的表達(dá)式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，最短并求最短值.22.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,,(1)證明:為等比數(shù)列,求出的通項(xiàng)公式(2)若,求的前項(xiàng)和(3)在（2）的條件下判斷是否存在正整數(shù)使得成立?若存在，求出所有值；若不存在說明理由.

2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科答案一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1、B2、D3、C4、A5、B6、A7、C8、D二．選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9、ABC10、AD11.ABC12、BD三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13、eq\f(9,2)14、115、16、100.四.解答題：本大題共6題，第17題10分，第18-22題每題12分，共70分）17.（10分）已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0}，q：B＝{x||x－m|>3}，若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：由題意得A＝{x|－1≤x≤3}，（2分）B＝{x|x<m－3或x>m＋3}（4分）因?yàn)閜是q的充分條件，所以A?B，（6分）所以m－3>3或m＋3<－1，解得m>6或m<－4，（9分）即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－4)∪(6，＋∞)．（10分）18.（12分）在等差數(shù)列中，已知．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若________，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第(2)問中，并對(duì)其求解．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】(1)由題意得，，解得．(3分)∴．(5分)(2)選條件①：∵，（8分)∴.(12分)選條件②：∵，，∴，(7分)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；(9分)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n－1為偶數(shù)，．（11分）∴.(12分)19、（12分）已知函數(shù)f(x)＝x2－(c＋1)x＋c(c∈R)．(1)解關(guān)于x的不等式f(x)<0；(2)當(dāng)時(shí),不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】(1)∵f(x)<0∴x2－(c＋1)x＋c＝(x－1)(x－c)<0,（2分）①當(dāng)c<1時(shí),c<x<1,（3分）②當(dāng)c＝1時(shí),(x－1)2<0,∴x∈?,（4分）③當(dāng)c>1時(shí),1<x<c,（5分）綜上,當(dāng)c<1時(shí),不等式的解集為{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))c<x<1},當(dāng)c＝1時(shí),不等式的解集為?,當(dāng)c>1時(shí),不等式的解集為{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1<x<c}．（6分）(2)當(dāng)c＝－2時(shí),化為對(duì)一切x∈(0,2)恒成立,（8分）設(shè)(9分)(11分)(12分)20、（12分）橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，焦距為2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為8.(1)求橢圓E的方程；(2)若AB⊥x軸，求△ABF2的面積．解：(1)由題意知，4a＝8，所以a＝2，（3分）由焦距為2，所以c＝1，所以b2＝22－1＝3，（5分）所以橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.（6分）(2)設(shè)直線AB的方程為x＝-1，由eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，x＝-1，得y2＝，解得y1＝，y2＝-，（10分）所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝3（12分）21、（12分）如圖所示，為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，要求∠ACB＝60°，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米，為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，設(shè)BC＝x(x＞1)，AC＝t(t＞0)，（1）求t關(guān)于x的表達(dá)式；（2）當(dāng)BC為何值時(shí)，AC最短并求最短值.解：（1）由題意得AB＝AC－0.5＝t－0.5，（2分）在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，（4分）化簡并整理得t＝eq\f(x2－0.25,x－1)(x＞1)，（6分）（2）t＝x－1＋eq\f(0.75,x－1)＋2≥2＋eq\r(3)（10分）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋\f(\r(3),2)時(shí)，等號(hào)成立))，（11分）此時(shí)t取最小值2＋eq\r(3).答：當(dāng)BC=米時(shí)，AC最短，最短值2＋eq\r(3)米.（12分）22.（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,,(1)證明:為等比數(shù)列,求出的通項(xiàng)公式(2)