人教b版選擇性必修第一冊2.5.1　橢圓的標準方程作業(yè)

2.5橢圓及其方程2.5.1橢圓的標準方程選題明細表知識點、方法題號求橢圓的標準方程3,4,5,7,11橢圓的定義及其應(yīng)用1,2,6,9,12與橢圓有關(guān)的軌跡問題8,10基礎(chǔ)鞏固2+5y2=25上一點,F1,F2為橢圓的左、右焦點,且|PF1|=7,則|PF2|=(B)解析:由橢圓x2+5y2=25,可得a=5,由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a=10,所以|PF2|=3.故選B.2.(2022·江西南城二中高二月考)“ab>0”是“方程ax2+by2=1表示橢圓”的(B)解析:若方程ax2+by2=1表示橢圓,即方程x21a+y21b=1表示橢圓,所以1a>0,1b>0,1a≠選B.3.(多選題)若橢圓的對稱軸在坐標軸上,短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形,焦點到橢圓上點的最短距離為3,則這個橢圓的方程可能為(AB)A.x212+y29=1 B.C.x23+y29=1 D.解析:設(shè)短軸的一個端點為P,焦點分別為F1,F2,因為△PF1F2為正三角形,所以|OP|=32|F1F2|,可得b=3c,即a2-c2又因為橢圓的焦點到橢圓上點的最短距離為3,所以a-c=3,②聯(lián)立①②,可得a=23,c=3,b=a2因此a2=12且b2=9,可得橢圓的標準方程為x212+y29=1或4.已知橢圓的焦點在y軸上,其上任意一點到兩焦點的距離和為8,焦距為215,則此橢圓的標準方程為.

解析:由已知2a=8,2c=215,所以a=4,c=15,所以b2=a2-c2=16-15=1.又橢圓的焦點在y軸上,所以橢圓的標準方程為y216+x答案:y216+x5.已知橢圓C經(jīng)過點A(2,3),且點F(2,0)為其右焦點,則橢圓C的標準方程為.

解析:法一依題意,可設(shè)橢圓C的方程為x2a2從而有c解得c又a2=b2+c2,所以b2=12,故橢圓C的標準方程為x216+法二依題意,可設(shè)橢圓C的方程為x2a2+解得b2=12或b2=-3(舍去),從而a2=16,所以橢圓C的標準方程為x216+答案:x216+6.已知橢圓C:x225+y216=1,則此橢圓的焦距長為,設(shè)F1,F2為橢圓的兩個焦點,過F1的直線交橢圓于A,B兩點,若|AF2|+|BF解析:由橢圓C:x225+y216=1可得a=5,b=4,c=所以橢圓的焦距長為2c=6.由橢圓的定義可知|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,兩式相加可得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=20,因為|AF2|+|BF2|=12,所以|AF1|+|BF1|=8,即|AB|=8.答案:68能力提升7.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F,上頂點為B,右頂點為A,過點F作x軸垂線,該垂線與直線AB交點為M,若A.x28+y26=1 B.C.x22+y2=1 D.x2解析:依據(jù)AM→=3BM可得aa+c=b解得a=2c,|FM|=32又S△AFM=12·(a+c)·3b2=932,a2解得a=22,b=6,則橢圓C的標準方程為x28+8.已知圓O:x2+y2=4,過圓O上一動點M作平行于x軸的直線m,設(shè)直線m與y軸的交點為N,若向量OQ→=OM→+ON.解析:設(shè)點M的坐標為(x0,y0),點Q的坐標為(x,y),點N的坐標為(0,y0),因為OQ→=OM→+所以(x,y)=(x0,2y0),即x0=x,y0=y2又因為x02+所以x2+y2由已知,直線m平行于x軸,得y≠0,所以Q點的軌跡方程是y216+答案:y216+x24+y22=1的兩個焦點是F1,F|PF2|=2,則△PF1F2是三角形,△PF1F2的面積是.解析:由已知得|F1F2|=2c=22,|PF1|+|PF2|=2a=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以得|PF1|=3,|PF2|=1,因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以△PF1F2是直角三角形,所以S△PF1F2=12|F1F2答案:直角210.如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點,點D是P在x軸上的投影,M為線段PD上一點,且|MD|=45解:設(shè)點M的坐標是(x,y),P的坐標是(xP,yP),因為點D是P在x軸上的投影,M為PD上一點,且|MD|=45所以xP=x,且yP=54因為點P在圓x2+y2=25上,所以x2+(54y)2整理得x225+即點M的軌跡C的方程是x225+y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦點分別為F1(0,-1),F(1)求橢圓的標準方程;(2)設(shè)點P在這個橢圓上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.解:(1)由題意得,橢圓焦點在y軸上,且c=1.又因為3a2=4b2,所以a2-b2=14a2=c2所以a2=4,b2=3,所以橢圓的標準方程為y24+(2)如圖所示,|PF1|-|PF2|=1.又由橢圓定義知,|PF1|+|PF2|=4,所以|PF1|=52|PF2|=32,|F1F2所以cos∠F1PF2=(52)所以∠F1PF2的余弦值為35應(yīng)用創(chuàng)新1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,過原點O的直線l與橢圓C交于A,B兩點,若AF1⊥AF2,解