2023屆新高考數(shù)學(xué)真題解析幾何專題講義第20講 雙曲線的離心率問題

第20講雙曲線的離心率問題離心率是圓錐曲線的一個特別重要的性質(zhì)，求離心率的值或者取值范圍是解析幾何中的重點(diǎn)，難點(diǎn)，也是高考中考查的高頻考點(diǎn)。圓錐曲線的諸多性質(zhì)都與離心率息息相關(guān)，離心率的變化直接導(dǎo)致圓錐曲線的類型與形狀的變化，它也是圓錐曲線統(tǒng)一定義中三要素之一。求解圓錐曲線離心率，可以直接利用定義，方程思想或者幾何性質(zhì)一：利用漸近線與離心率的關(guān)系求解例1：雙曲線的一條漸近線方程為，則它的離心率為。解析：依題意可知，所以例2：是雙曲線的一個焦點(diǎn)，過且與一條漸近線平行的直線與雙曲線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn),若，求雙曲線的離心率解析：設(shè)直線與漸近線平行，則有，令得，又，所以，因?yàn)樵陔p曲線上，故代入得，即例3：是雙曲線的一個焦點(diǎn)，虛軸的一個端點(diǎn)為，如果直線與該雙曲線一條漸近線垂直，那么該雙曲線的離心率為解析：設(shè)雙曲線的方程為，則漸近線，又，所以因?yàn)橹本€與漸近線垂直，所以，所以，即，所以點(diǎn)評：雙曲線的漸近線出現(xiàn)的形式，與離心率的值相關(guān)，將其轉(zhuǎn)化為，求得其離心率二：焦點(diǎn)三角形求解離心率例4：設(shè)分別為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，它們在第一象限交于點(diǎn),,若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的值為解析：如圖：設(shè),則可得,,所以例5：設(shè)為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足，則該雙曲線的離心率為解析：由焦點(diǎn)三角形面積公式：，可得，即所以雙曲線的離心率點(diǎn)評：在焦點(diǎn)三角形中，對于橢圓，對于雙曲線（其中）三：不等式求離心率取值范圍例6：雙曲線的焦距為，直線過點(diǎn)和，且點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離之和，求雙曲線離心率的取值范圍解析：直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離之和，即為原點(diǎn)到直線距離的倍，，由，得，即，于是，所以的取值范圍：例7：已知點(diǎn)在雙曲線的右支上，為左右焦點(diǎn)，，求雙曲線離心率的取值范圍解析：，由均值不等式可知：當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，又，所以，則四：存在性問題例8：已知雙曲線的右頂點(diǎn)為,拋物線的焦點(diǎn)為，若的漸近線上存在點(diǎn)使得,則雙曲線的離心率取值范圍是解析：雙曲線的右頂點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為：設(shè)點(diǎn),即有，,由,所以即，,即，所以例9：已知點(diǎn)在雙曲線的右支上，為左右焦點(diǎn)，,若，則該雙曲線離心率的取值范圍是解析：由，在中，由正弦定理得：可得，又,聯(lián)立可得，即又,化簡可得,即，解得五：雙曲線與圓綜合例10：已知雙曲線與圓沒有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是解析：由雙曲線和圓的對稱性可知：則例11：已知雙曲線的右焦點(diǎn)，其漸近線與圓有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為解析：雙曲線漸近線方程為圓的圓心為，半徑其漸近線與圓有公共點(diǎn)，可得,即有可得所以鞏固練習(xí):1.點(diǎn)在雙曲線的右支上，為雙曲線的左右焦點(diǎn),求雙曲線離心率的取值范圍2.設(shè)，則雙曲線離心率的取值范圍為3.已知雙曲線存在兩點(diǎn)關(guān)于對稱，求該雙曲線離心率取值范圍4.已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，線段的垂直平分線過坐標(biāo)原點(diǎn),若，則雙曲線的離心率為5.已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，雙曲線上存在，，則此雙曲線離心率的取值范圍是6.已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)與雙曲線一條漸近線平行的直線交雙曲線的另一條漸近線于，若點(diǎn)在以為直徑的圓外，則雙曲線的取值范圍是參考答案:1.由雙曲線定義：，又,所以，由三角形性質(zhì)：，得，即2.由題意得：，由得，所以3.設(shè)，弦的中點(diǎn)為，由點(diǎn)差法求得，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部時，，整理得，無解；當(dāng)點(diǎn)在雙曲線外部時，點(diǎn)應(yīng)在兩漸近線相交的上下區(qū)域內(nèi)，由線性規(guī)劃可知，即，則，所以4.,由雙曲線定義：,可得，如圖垂直平分,則，可得，