北師大版選擇性必修第一冊(cè)第3章4.3第2課時(shí)空間中的距離問(wèn)題作業(yè)

第2課時(shí)空間中的距離問(wèn)題必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.(2021北京豐臺(tái)高二上學(xué)期期中)若平面α的一個(gè)法向量為n=(1,2,1),A(1,0,-1),B(0,-1,1),A?α,B∈α,則點(diǎn)A到平面α的距離為()A.1 B.66 C.33 D2.(2021山東師范大學(xué)附屬中學(xué)高二10月月考)四棱錐P-ABCD中,AB=(2,-1,3),AD=(-2,1,0),AP=(3,-1,4),則這個(gè)四棱錐的高為()A.55 B.15 C.253.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1D1的中點(diǎn),則點(diǎn)C1到直線CE的距離為()A.13 B.33 C.534.如圖,點(diǎn)C在圓錐PO的底面圓O上,AB是直徑,AB=8,∠BAC=30°,圓錐的母線與底面成的角為60°,則點(diǎn)A到平面PBC的距離為()A.855 B.26 C.855.(多選題)已知直線l的方向向量n=(1,0,-1),A(2,1,-3)為直線l上一點(diǎn),若點(diǎn)P(-1,0,-2)為直線l外一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線l上任意一點(diǎn)Q的距離可能為()A.2 B.3 C.2 D.16.如圖,P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,則點(diǎn)P到直線BD的距離為.?7.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1=3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,則點(diǎn)B1到平面A1BC的距離為.?8.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,求平面A1BD與平面B1CD1間的距離.9.(2021山東濟(jì)寧魚(yú)臺(tái)第一中學(xué)高二上學(xué)期第一次月考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AC∩BD=O,底面ABCD為菱形,邊長(zhǎng)為2,PC⊥BD,PA=PC,且∠ABC=60°,異面直線PB與CD所成的角為60°.(1)求證:PO⊥平面ABCD;(2)若E是線段OC的中點(diǎn),求點(diǎn)E到直線BP的距離.關(guān)鍵能力提升練10.如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),GC⊥平面ABCD,且GC=2,則點(diǎn)B到平面EFG的距離為()A.1010 B.2C.35 D.11.(2021山東濱州博興第三中學(xué)高二上學(xué)期第一次月考)若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點(diǎn)P到平面ABC的距離是()A.66 B.6C.36 D.12.(2021山西懷仁高二上學(xué)期期中)如圖,棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1,O是底面A1B1C1D1的中心,則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離是()A.12 B.2C.22 D.13.(2021天津和平匯文中學(xué)高二上第一次質(zhì)檢)已知直線l的一個(gè)方向向量為m=(1,2,-1),若點(diǎn)P(-1,1,-1)為直線l外一點(diǎn),A(4,1,-2)為直線l上一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線l的距離為.?14.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1,則點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離為.?15.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=π2,AB=BC=13AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,點(diǎn)F在AD上,且CF⊥(1)求點(diǎn)A到平面PCF的距離;(2)求直線AD到平面PBC的距離.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=2,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,問(wèn):線段AD上是否存在一點(diǎn)Q,使得它到平面PCD的距離為32?若存在,求出AQQD的值;若不存在,答案：1.B易知AB=(-1,-1,2),根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式可得點(diǎn)A到平面α的距離為|AB·n|2.A設(shè)平面ABCD的法向量為n=(x,y,z),則n令x=1,可得y=2,z=0,即n=(1,2,0),∴cos<n,AP>=n·于是點(diǎn)P到平面ABCD的距離為|AP||cos<n,AP>|=55,即四棱錐P-ABCD的高為55.故選3.C以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.則C(1,1,0),C1(1,1,1),E0,12,1,所以EC=1,12,-1,CC1=(0,0,1),所以點(diǎn)C1到直線CE的距離d=|CC1|4.C5.AB由題設(shè)條件可知,AP=(-3,-1,1),∴n·AP=1×(-3)+0×(-1)+(-1)×1=-4,∴點(diǎn)P到直線l的距離為d=|AP∴點(diǎn)P到直線l上任意一點(diǎn)Q的距離要大于等于3,故選AB.6.135如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0),∴點(diǎn)P到直線BD的距離d=|PB∴點(diǎn)P到直線BD的距離為1357.328.解以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),A1B=(0,1,-1),A1D=(-1,0,-1),A1設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則n令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1),∴點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d=|A根據(jù)題意有B1C∥A1D,B1C?平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD,同理D1B1∥平面A1BD,B1C∩P1B1=B1,∴平面A1BD∥平面B1CD1,∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點(diǎn)D1到平面A1BD的距離,∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離為339.(1)證明∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∵PC⊥BD,PC∩AC=C,∴BD⊥平面APC.∵PO?平面APC,∴BD⊥PO,∵PA=PC,O為AC的中點(diǎn),∴PO⊥AC,又AC∩BD=O,∴PO⊥平面ABCD.(2)解連接BE,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),∵AB∥CD,∴∠PBA為異面直線PB與CD所成角,∴∠PBA=60°.在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,∴OA=1,OB=3,設(shè)PO=a,則PA=a2+1,PB=在△PBA中,由余弦定理得PA2=BA2+BP2-2BA·BPcos∠PBA,即a2+1=4+a2+3-2×2×a2解得a=6(負(fù)值舍去).∴B(3,0,0),P(0,0,6),E0,12,0,∴BE=-3,12,∴|BE|=132,|BP|=∴點(diǎn)E到直線BP的距離d=|BE10.B11.D以點(diǎn)P為原點(diǎn),PA,PB,PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),所以AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),PA=(1,0,0).設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),由n令x=1,則y=z=1,所以平面ABC的一個(gè)法向量為n=(1,1,1).所以點(diǎn)P到平面ABC的距離d=|PA·n|12.B如圖,以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,連接A1D,OD1,則D(0,0,0),O12,12,1,D1(0,0,1),A∴OD1=-12,-12∵AB⊥平面ADD1A1,A1D?平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,又AD1⊥A1D,AB∩AD1=A,∴A1D⊥平面ABC1D1,故平面ABC1D1的一個(gè)法向量為DA1∴點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離d=|O故選B.13.17∵P(-1,1,-1),A(4,1,-2),∴PA=(5,0,-1),又m=(1,2,-1),∴cos<m,PA>=m·∴sin<m,PA>=1726,又|PA|=26∴點(diǎn)P到直線l的距離為|PA|sin<m,PA>=26×14.2315.解(1)由題意知AP,AB,AD兩兩垂直,以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).設(shè)F(0,m,0),則CF=(-a,m-a,0),CP=(-a,-a,a).∵PC⊥CF,∴CF⊥CP,∴CF·CP=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0·a=a2-a(解得m=2a,即F(0,2a,0).設(shè)平面PCF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,得n=(1,1,2).設(shè)點(diǎn)A到平面PCF的距離為d,由AC=(a,a,0),得d=|AC·(2)由于BP=(-a,0,a),BC=(0,a,0),AP=(0,0,a).設(shè)平面PBC的法向量為n1=(x0,y0,z0),由n1·BP=-ax0+az0=0,n1·BC=ay∵AD∥BC,AD?平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴h為AD到平面PBC的距離,∴h=|AP·16.解取AD的中點(diǎn)O,在△PAD中,∵PA=PD,∴PO⊥AD.又側(cè)面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),則CP=(