我的哈工大考研固體物理06章

6.6.1電子的平均速度

準(zhǔn)經(jīng)典近似，把電子當(dāng)成準(zhǔn)經(jīng)典粒子處理，根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，不能同時(shí)精確確定電子的位置和動(dòng)量，只能在放棄精確動(dòng)量的前提下才能定義電子的位置。通常的做法：同一能帶內(nèi)用附近之間的布洛赫函數(shù)疊加所組成的波包來描述波失為的電子，波包中心位置表示電子的位置。6.6Bloch電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng):對(duì)取梯度

(7.1)

電子的速度算符與單電子哈密頓H不對(duì)易,在H的本征態(tài)中電子的速度沒有確定值，只有平均值波包的群速度是電子的運(yùn)動(dòng)速度。(7.2)(7.3)（7.9）

布洛赫電子的平均速度有以下特點(diǎn)：周期性非偶性自由電子（7.11）（7.12）3.沒有外場(chǎng)作用時(shí)，不隨時(shí)間變化，每個(gè)Bloch電子都具有平均速度，電子在晶體中不受阻力（加速度為0）地運(yùn)動(dòng)，不受靜止在晶格位置上的離子散射。6.6.2準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本方程為研究外場(chǎng)作用下的Bloch電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，應(yīng)求解含時(shí)間的薛定諤方程，哈密頓同時(shí)有周期場(chǎng)與外場(chǎng)，但一般情況下，外場(chǎng)比晶體內(nèi)周期場(chǎng)小得多，故可近似地認(rèn)為：有外場(chǎng)電子仍用Bloch波函數(shù)描述，只是是時(shí)間的函數(shù)，電子狀態(tài)的隨時(shí)間變化通過隨時(shí)間的變化來表示。外力F的作用下時(shí)間內(nèi)電子能量的改變?yōu)?/p>

假設(shè)：①能量的變化是由于波失的變化引起的②不發(fā)生能帶間的躍遷，電子狀態(tài)的變化只限于一個(gè)能帶內(nèi)

則：

(7.13)(7.13)(7.15）(7.16)牛頓第二定律外力的作用使波失隨時(shí)間變化，則電子的平均速度也相應(yīng)發(fā)生變化，加速度為：其分量形式為

:(7.17)可用張量形式表示稱為有效質(zhì)量，為二階張量其分量形式為：(7.18)1.有外力時(shí)，電子狀態(tài)的變化是由晶體內(nèi)周期場(chǎng)和外場(chǎng)作用引起的，引入有效質(zhì)量后，晶體內(nèi)周期場(chǎng)作用包含在內(nèi)，使外場(chǎng)和電子的運(yùn)動(dòng)（外力與電子加速度關(guān)系）關(guān)系簡(jiǎn)單化。各向同性晶體中有效質(zhì)量是所有分量相同，外力與加速度方向一致。有效質(zhì)量代替電子的慣性質(zhì)量3.在能帶極值附近考查電子行為時(shí)2.電子的有效質(zhì)量慣性質(zhì)量可見與自由電子能量形式相同，只是不同方向有效質(zhì)量不同，若等能面為球面時(shí)(7.21)則由上式得：（7.22）在能帶極值附近，電子看成具有有效質(zhì)量的自由電子.能帶的填充與導(dǎo)電性

1.無外場(chǎng)時(shí)：電子分布對(duì)稱，狀態(tài)和-狀態(tài)的電子數(shù)目相等；不形成宏觀電流6.7導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體用能帶理論可以說明晶體為什么可以區(qū)分為導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體。2.有外場(chǎng)時(shí)每個(gè)波失都以同樣的速度在空間運(yùn)動(dòng)滿帶情況電場(chǎng)作用下所有電子的狀態(tài)都可以同樣速度變化,但由于空間的周期函數(shù)，整個(gè)能帶的電子分布情況實(shí)際上無變化。

(7.23)不滿帶

情況：電場(chǎng)作用下整個(gè)電子分布向電場(chǎng)反方向移動(dòng)。若此移動(dòng)沒受阻（無散射），由于是的周期函數(shù)，所以電子速度隨時(shí)間增加而發(fā)生周期性的振蕩。但由于電子必然會(huì)受到晶格振動(dòng)，雜質(zhì)、缺陷的散射，不出現(xiàn)振蕩，而很快達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的不對(duì)稱分布，此時(shí)沿外電場(chǎng)方向和反方向電子數(shù)目不相等，總的電流不為零。電場(chǎng)作用下滿能帶中的電子分布示意圖電場(chǎng)作用下未滿能帶中的電子分布示意圖

空穴

當(dāng)一個(gè)能帶只含有少量的空狀態(tài)而大部分狀態(tài)被電子占據(jù)時(shí)，稱這些空狀態(tài)為空穴。假設(shè)一個(gè)能帶中只有一個(gè)波失為狀態(tài)是空的，其余狀態(tài)全滿。在電場(chǎng)作用下缺少一個(gè)電子能帶應(yīng)有電流產(chǎn)生。其電流密度等于所有電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)之和(7.24)因?yàn)闈M帶電流為零:所以

說明缺少一個(gè)電子的能帶所產(chǎn)生的電流與一個(gè)帶正電荷e的載流子以速度運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的電流相同。這樣，缺少一個(gè)電子的能帶中所有電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)等于一個(gè)帶正電荷e的空穴對(duì)電流的貢獻(xiàn)。

空穴按速度運(yùn)動(dòng)，在外場(chǎng)加速度為(7.27)

定義：為空穴有效質(zhì)量，是正的。則狀態(tài)的加速度（7-27）為我們可以把空穴看成是：一個(gè)帶正電荷e，具有正的有效質(zhì)量的準(zhǔn)粒子。導(dǎo)體半導(dǎo)體絕緣體固體按導(dǎo)電性能的高低可以分為

它們的導(dǎo)電性能不同，是因?yàn)樗鼈兊哪軒ЫY(jié)構(gòu)不同。導(dǎo)體、絕緣體與半導(dǎo)體的區(qū)分導(dǎo)體導(dǎo)體導(dǎo)體半導(dǎo)體絕緣體EgEg禁帶寬度較小禁帶寬度較大導(dǎo)體；有不滿的能帶半導(dǎo)體和絕緣體：只有滿帶和空帶且不重疊

一個(gè)能帶可容納2N個(gè)電子，N為原胞數(shù)，滿不滿取決于每個(gè)原胞提供多少個(gè)價(jià)電子，或能帶是否重疊。如果每個(gè)原胞的價(jià)電子數(shù)為2的整數(shù)倍，且被電子占據(jù)的最高能帶與其更高的空能帶沒有重疊，此種晶體為絕緣體或半導(dǎo)體，相反為導(dǎo)體。

1.一價(jià)金屬：Li,Na,K,Cu,Ag,Au等每個(gè)原胞只有一個(gè)價(jià)電子只能填充半滿,導(dǎo)體。2．二價(jià)金屬：Be,Mg,Zn.每個(gè)原胞有兩個(gè)價(jià)電子，與更高的空能帶重疊，導(dǎo)體。3．半金屬：Bi,As,Sb.每個(gè)原胞含有偶數(shù)個(gè)價(jià)電子，但與更高的能帶重疊，但重疊很少，導(dǎo)電性不如一般金屬。4．四價(jià)元素晶體：C,Si,Ge.金剛石結(jié)構(gòu)，每個(gè)原胞有兩個(gè)原子，每個(gè)原子提供四個(gè)價(jià)電子，每個(gè)原胞提供八個(gè)價(jià)電子。形成晶體時(shí)（金剛石）4個(gè)子帶重疊可填充8N個(gè)電子將雜化能帶全部填滿典型的絕緣體Ge,Si,C一樣，只差禁帶寬度大，絕緣體小，半導(dǎo)體熱激發(fā)的電子數(shù)很小，導(dǎo)電很弱熱激發(fā)的電子數(shù)很多

電子和空穴參與導(dǎo)電，之間區(qū)別是：

1．所帶電荷不同-e、+e2．分屬于不同能帶導(dǎo)帶、價(jià)帶

3．具有不同的有效質(zhì)量

4．對(duì)導(dǎo)電的貢獻(xiàn)不同：金屬或n型半導(dǎo)體中，電子為主.

個(gè)別金屬或p型半導(dǎo)體中空穴為主.5．霍爾效應(yīng)不同-、+6.8莫特絕緣體與電子關(guān)聯(lián)每個(gè)原胞含有一個(gè)Mn離子和O離子，形成晶體之后，氧的2p帶是滿的，Mn的3d帶是半滿的，按能帶理論應(yīng)是導(dǎo)體，但實(shí)際確是絕緣體，CoO、NiO也是這樣。

判斷MnO、CoO、NiO等過度金屬氧化物導(dǎo)電性時(shí)，出現(xiàn)問題.能帶理論的局限性：

能帶理論在單電子近似的基礎(chǔ)上建立的，它忽略了電子間的關(guān)聯(lián)作用，MnO、CoO、NiO等過度金屬氧化物中3d帶比較窄，d電子的局域化程度高，莫脫認(rèn)為應(yīng)考慮3d電子的關(guān)聯(lián)作用，才能解釋這類晶體的物性，此類晶體稱作莫特絕緣體（Mottinsulator).

哈伯德模型：設(shè)想晶體由N個(gè)相同原子組成，每個(gè)原子有一個(gè)價(jià)電子，其原子能級(jí)為Eo,展寬成能帶后，此能帶可容納2N個(gè)電子，現(xiàn)在只有N個(gè)電子，價(jià)電子只能填至半滿，晶體是導(dǎo)體。但是，若能帶很窄，電子的局域性很強(qiáng)，當(dāng)某一格點(diǎn)的原子周圍出現(xiàn)兩個(gè)電子時(shí)，則需要考慮它們之間的庫(kù)侖作用。哈伯德模型示意圖哈伯德模型對(duì)于這兩個(gè)電子能級(jí)，形成晶體后原來的單能帶分裂成２個(gè)子能帶，每個(gè)子能帶只能容納N個(gè)電子，若兩個(gè)子能帶不重疊，則成絕緣體.子帶是否重疊決定于U及能帶寬度的大小，過度金屬氧化物中3d帶很窄，由于電子關(guān)聯(lián)作用導(dǎo)致能帶分裂最終導(dǎo)致絕緣體．6.9局域態(tài)與擴(kuò)展態(tài)

對(duì)于晶體(具有平移對(duì)稱性的有序固體)單電子態(tài)用布洛赫波函數(shù)描述，電子的狀態(tài)由波矢

來標(biāo)志，電子的能譜分成能帶，每個(gè)能帶

是空間的周期函數(shù)．布洛赫狀態(tài)的特點(diǎn)是波函數(shù)擴(kuò)展于整個(gè)晶體，電子在晶格中作共有化運(yùn)動(dòng)，在各格點(diǎn)周圍電子出現(xiàn)的幾率相同，稱為擴(kuò)展態(tài)(extendedstate).是晶體的特征．

無序固體中沒有周期性，電子的狀態(tài)不能再用布洛赫函數(shù)來描述，倒格子、布里淵區(qū)等概念也不適用.由于原子間的相互作用可使孤立原子的能級(jí)擴(kuò)展為能帶,并不取決于原子的空間是否有序．所以無序固體中仍有能帶，不能用函數(shù)來表示，但能態(tài)密度的概念對(duì)有序和無序固體都適用，能帶結(jié)構(gòu)都可以通過函數(shù)來表示．1958年，安德森(P．W．Anderson，1923—)指出無序體系電子狀態(tài)的重要特征是存在局域態(tài)(localizedstate)．局域態(tài)是指電子局域在某中心的一定范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其波函數(shù)隨離開中心的距離很快地衰減．

安德森是在緊束縛近似的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的

.為了研究無序的影響，他假定格點(diǎn)的位置仍是有序排列的，但每個(gè)格點(diǎn)的勢(shì)阱是隨機(jī)變化的。安德森無序勢(shì)

但勢(shì)阱的變化范圍限制在W以內(nèi)，用作為無序參量來反映無序程度。

Anderson證明在三維無序體系中當(dāng)無序程度足夠高既當(dāng)(臨界值)時(shí)體系中電子全部處于局域態(tài)。

表明無序可以導(dǎo)致電子狀態(tài)的局域化，后來安德