2022屆新高考數學精準沖刺復習：圓與方程

2022屆新高考數學精準沖刺復習

圓與方程

命題趨勢

1.掌握確定圓的幾何要素、圓的標準方程與一般方程，了解用代數法處理幾何問題的思

想，凸顯直觀想象、數學運算的核心素養(yǎng);

2.能判斷直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，能用直線和圓的方程解決一些簡單的

問題，凸顯直觀想象、數學運算的核心素養(yǎng).

考點分布

圓的方程

1.直線與圓的位置關系

、2.直線與圓相交所得相交弦問題

J—（直線與圓的位置關系）----------------------------

圓與圓的方程--------------------’4切綣問題

一（圓與圓的位置關系）

y圓與數學文化）

主干梳理

知識點i.圓的方程

1.圓的定義：在平面內，到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓.

2.圓的方程

名稱標準方程一般方程

方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)x2+y2+Dx+Ey+F=0

o[x+￡|+(x+￡|=^(D2+E2-4F)

圓心(。力)

半徑r

-y/D2+E2-4F

2

說明1.若圓的方程以對于方程/+丫2+6+砂+尸=0

(x—a)2+(y—b)~=廠方式

①當￡)2+￡2一4/>0時，方程為圓的

給出，則半徑為卜|；

方程；

2.解決圓問題時，可將一般②當。2+石2—4R=0，方程表示點

方程轉化為標準方程，快速

卜齊。

確定圓心與半徑.

③當。2+七2一4/<0時，方程無意義.

知識點2.點與圓的位置關系

1.根據點到圓心的距離d與半徑r的關系判斷

(1)d>r=點在圓外;

(2)d=ro點在圓上;

(3)d<ro點在圓內

2.根據點P(5,為)的坐標與圓的方程(x-a)?+()，-。)2=/的關系判斷

(1)(玉)一。)2+(為一人丁<尸0點P在圓內;

(2)(%—。)2+(%一代)2=戶O點尸在圓上;

(3)(/一4)2+(%—I)?>產=點尸在圓內.

知識點3.直線和圓的位置關系

1.直線和圓的位置關系

位置關系相離相切相交

圖形G\

公共點個數012

量化方程觀點△<()△二0A>()

幾何觀點d>rd=rd<r

2.圓的切線方程的常用結論

(1)過圓/+上一點「(方,%)的圓的切線方程為入0%+%，=/；

(2)過圓(x-a7+(y—32=，上一點p(%,%)的圓的切線方程為

(x0-a)(x-cz)+(y0-b){y-b)=r；

(3)過圓/+>2=/外一點M(Xo，%)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為

2

xox+yoy=r.

知識點4.圓與圓的位置關系

1.圓與圓的位置關系

位置關系外離外切相交內切內含

圖示電

d與小馬的

d=L回。<1。-臼

d>rt+r2d=rx+r2

關系d<r}-\-r2

公共點個數01210

公切線條數43210

2.兩圓相交時公共弦所在的直線方程

設圓G:廠+y~+Dj+E]y+尸]—0①與圓G:+y~+D2X+芻〉+B=0②相交，則

公共弦所在的直線方程為：①-②得(〃一。2卜+(石—石2)丁+(6—6)=0.

核心考點

考點

圓的方程

【方法儲備】

1.求圓的方程

（1）待定系數法：根據條件設出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關

量.條件與圓心和半徑有關，選擇標準方程，已知圓上三點，選擇一般方程.兩種方程都

有3個參數，都需列出3個等式求解.

（2）幾何法：用有關圓的一些常用性質和定理，直接求出圓心與半徑.

如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切

時，切點與兩圓心三點共線.

（3）圓系方程

（1）同心圓系方程：（x-“y+（y—勿2=，，（區(qū)外為定值，r為參數；

（2）過直線Ax+By+C=0與圓C:X）+y?+Dx+Ey+F=O交點的圓系方程：

x2+V+Dr+￡y+F+X（Ax+3y+C）=0（XeR）

（3）過圓弓：》2+），+。]%+4,+片=0與圓C2:x?+）,~+D,x+E-,y+F2=0交點的

圓系方程，X?+?+E]_y+片+2（廠+y-+4%++6）=。（九工—1），解題時

驗證圓C?是否滿足題意.

2.與圓有關的最值問題

（1）借助幾何性質求最值：根據代數式的小何尊義，借助數形結合思想求解.

①最小圓問題，轉化為求半徑最小值問題；

②求圓上點到圓外點距離最值，轉化為求圓外點到圓心的距離，加上半徑即為最大值，減

去半徑即為最小值；

③形如u=上心的最值，轉化為點（。力）與圓上點連線斜率的最值；

x-a

④形如f=ax+"y的最值，轉化為直線依+力-/=0與圓有交點，或者用三角代換求

解；

⑤形如根=（%一。）2+（丁一匕）2的最值，轉化為點（。力）到圓上點的距離的平方的最值.

（2）代數法求最值：顯化函數關系，利用函數求最值或用基本不等式求最值.

（3）利用對稱求最值：形如|PA|+|P6|的最值

①化動為定：與圓上點的距離轉化為到圓心的距離：

②化曲為直：找對稱點，最終將轉化為3點共線，即得最值.

【精研題型】

1.己知圓C:f+y2+2x-3y+l=0,圓G與圓G關于直線x-y-l=O對稱，則圓G

的方程為

A.(X-21+(>+2)2=1B.(%+2)2+(y-2)2=1

C.(x-2)2+(y-2)2=1D.(x+2p+(y+2)2=1

2.(多選)在平面內，已知線段4B的長度為4,則滿足下列條件的點P的軌跡為圓的是

A.ZAPS=90°B,PA2+PB2=10

C.PAPB=-6D.PA=3PB

,,91

3.若直線2ax-by+2=0(a〉0,A>0)過圓f+y2+2x—4y+i=。的圓心，則己+—的

ab

最小值是

11

A.16B.10C.-D.-

24

4.若實數x,y滿足F+>2=3,則的取值范圍是

x-2

A.(-73,73)B.(-8,-百)U(G,+8)

C.[-73,73JD.(-8,-百]U[6,+8)

5.在平面直角坐標系xOy中，己知圓。：x2+:/=],點8(2,0),過動點P引圓。的切

線，切點為T,若PT=CPB,則長的最大值為

A.2+B.—2+C.4+J10D.4—A/10

6.己知點P(2,2),圓C:x2+y2_8y=o,過點p的動直線/與圓c交于A3兩點，線

段A8的中點為例，。為坐標原點.

(1)求M的軌跡方程;

(2)當|OP|=||時，求/的方程及APOM的面積.

【思維升華】

7.已知點P(九〃)是函數y=，一人一2%圖象上的動點,則|4機+3〃—21|的最小值是

A.25B.21C.20D.4

8.己知點P為直線)，=x+1上的一點,M,N分別為圓C,：(%-4)2+(y-1尸=4與圓

G：V+(y-2曰=；上的點，則|PM|-1PN|的最大值為

911

A.4B.—C.—D.7

22

9.已知正三角形ABC的邊長為2百，平面ABC內的動點P,M滿足|衣|=1,

PM^MC,貝小麗『的最大值是

7T

10.已知正三角形ABC的邊長為4,。是平面ABC上的動點，且44。6=一，則

3

反?礪的最大值為.

【特別提醒】

1.題干中出現圓的方程是以一般式/+/+瓜+碘+尸=0給出，若含參數，首先要滿足

D2+￡2-4F>0.求出參數的取值范圍；

2.解答圓有關問題時，應數形結合，充分利用圓有關的性質.

考點吉第匕同的小曾辛去

直線與圓的位置關系

【方法儲備】

判斷直線與圓的位置關系

(1)幾何法：通過判斷圓心到直線的距離d與半徑廠關系，即可判斷；

(2)代數法：聯立直線方程與圓的方程，得出關于x或N的一元二次方程，通過根個數，

判斷位置關系.

(3)定點法：直線若含參數，可根據直線所過定點與圓的位置關系判斷，如定點在圓內，

則直線與圓相交.

【精研題型】

11.直線/："一y-34+1=0與圓C：(%-1)2+(丁一2)2=5的位置關系是

A.相離B.相切C.相交D.相切或相交

12.圓。-3)2+(廠3)2=9上到直線3尢+分一11=0的距離等于1的點的個數為

A.1B.2C.3D.4

13.曲線y=l+，4—f與直線y=k(x-2)+4有兩個交點時,實數的取值范圍是

53S3135

A.-<k<-B.—<k,,-C.-<k<-D.0(左<一

1241243412

【思維升華】

14.已知點P(0,-l)關于動直線/：丁=依+1(。€尺)的對稱點為。，當點。到直線

6+y+10=0的距離最短時，實數。的值為

A.1B,V2C.A/3D.V10

15.己知實數羽y滿足f+(y-2)2=l,則0」乃十”的取值范圍是________.

JY+y?

16.直線/：ax+'y-1=0與軸的交點分別為4,8,直線/與圓。：V+y2=i的交

a

點、為C,D,則下面四個結論中正確的是

S^=^B.3a.A.\AB\<\CD\

A.Va..l,AOB

C.3a..1,SCOD<-D.直線/必過定點

考點

直線與圓相交所得相交弦問題

【方法儲備】

1.求弦長：

(1)幾何法：

如圖所示，直線/與圓交于48兩點，圓心C到直線/的距離為

c

d，則弦長\AB\^2j>—/\/

(2)代數法：

直線/與圓交于4,8兩點，設4&,%),3(工2，%)

①若直線/：丁=依+匕，則弦長

IM=J(X|一可)2+(X一%『=『(內一可)2+(3一履2『

=J(X[_%2『+.(冗],j(l+12)|%-%21='(1+/)[(%+))2一例與]

②若直線/：x="+m,則弦長

22

IAB|=yl(xl-x2)+(yl-y2)=J(四一偽『+(y-

=7Z(-VI--V2)2+(5I-)2)2=JO+產)I乂-%|=J(i+『)[(y+)'2)2一町上

③若直線/：x=m,則弦長|AB|=E一%|

④若直線/：y=b,則弦長|鉆|=|%一9|

2.圓的弦的性質的應用

①圓的任何一條弦的垂直平分線經過圓心；②圓心與弦中點的連線垂直于這條弦.

【精研題型】

17.直線/過點(0,2),被圓C：%2+9一4%一6丁+9=0截得的弦長為2g,則直線，的

方程是

4c1

A.y=—x+2B.y=-§x+2

4

C.y=2D.)=§x+2或y=2

18.已知圓C的圓心在直線x—2y=0上，且與y軸相切于點(0,1).

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C與直線/:x-y+，〃=0交于A3兩點，，求m的值.

從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：ZACB=120°；條件②:

|明=26

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

【思維升華】

19.(多選)設為正數，若直線辦一切+1=0被圓/+)，2+4%一2>+1=0截得弦長

為4,則

,.1。+20c

A.a+b=\B.2a+b=lC.ab,,-D,-----..9

8ab

20.(多選)已知圓C:(x-l)2+(y-2)2=25,直線/:(2〃?+l)x+(〃?+l)y-7m-4=0.

則以下幾個命題正確的有

A,直線/與圓C可能相切

B.圓。被y軸截得的弦長為46

C.直線/被圓C截得的最短弦長為2石

D.直線/被圓C截得最短弦長時，直線/的方程為2x—y—5=0

【特別提醒】

判斷直線與圓的位置關系，首選幾何法，若直線或圓的方程中含有參數，圓心到直線的距離

含參數，可用代數法判斷.

老差占切線問題

四

【方法儲備】

1.求切線方程

(1)求過圓上一點P(Xo,%)的切線方程：

過圓C:(x—4+(y-b)2=/上一點P(Xo，%)的圓的切線方程為

(%-?)(x-a)+(y0-h)(y-h)=r-

思路：

①切線與PC垂直：若即c=0，則切線斜率不存在，即切線方程為x=x0；

若Zpc不存在，則切線斜率為0,即切線方程為y=%；

1

若即C存在且不為零，則切線斜率為一]—；

kpc

②切線過點P（Xo，%），點斜式求方程；

（2）求過圓外一點「（%,為）的切線方程

理論：過圓外一點可作圓的兩條切線，至少有一條切線斜率存在

思路：①設切線方程為曠-%=人（%一40），則利用圓心到直線的距離為半徑，求出斜率

k；

②若求出的女值有2個，即可得出兩條切線方程；若左值只有1個，則另一條切線斜率不存

在，要補充說明.

2.過圓外一點作圓C的兩條切線，切點分別為A,B

（1）求切線長：/；（廣為圓。的半徑）

（2）求直線AB的方程：轉化為求以P為圓心，切線長歸山為半徑的圓與圓。的公共弦所

在的直線方程；

（3）求四邊形尸4CB中的最值問題：①S四邊物當1PAi取最值時，

面積取最值；②求“歸的最值，轉化為求中44PC的最值即可.

【精研題型】

21.設直線/：3x+4y+a=Q,圓C：（x-2）2+/=2,若在直線/上存在一點使

得過M的圓C的切線〃。（2,。為切點）滿足//3"。=90。，則。的取值范圍是

A.[-18,6]B.[6-5夜,6+50]

C.[-16,4]D.[-6-572,-6+572]

22.已知圓C：尤2+9=9,點產為直線工+2丁-9=0上一動點，過點尸向圓C引兩條

切線A8為切點，則直線A8經過定點

A.（4,8）B.（2,4）C.（1,2）D.（9,0）

【思維升華】

23.過動點尸作圓：(x—3)2+(y—4/=1的切線PQ,其中Q為切點，若歸@=怛。|(。為

坐標原點)，則歸口的最小值是.

24.已知點P(x,y)是直線y=2岳一4上一動點，與PN是圓C：x2+(y-l)2=l

的兩條切線，M,N為切點，則四邊形尸MOV的最小面積為

4255

A.-B.-C.—D.一

3336

老巧'占“'圓與圓的位置關系

五

【方法儲備】

1.圓與圓位置關系的判斷

利用圓心距，與兩圓半徑之間的關系，判斷即可.

2.求兩圓公共弦弦長

求兩圓公共弦所在直線方程，轉化為直線與圓相交，求弦長問題.

【精研題型】

25.已知圓C1:—+y?—6x+4y+12=0與圓G：/+9—14x—2y+。=0,若圓G與

圓G有且僅有一個公共點，則實數。等于

A.14B.34C.14或45D.34或14

26.在平面直角坐標系xOy中，已知圓G：x2+y2=m2,圓。?：

f+y2+2x-2百y+3=0的公切線有2條，則加的取值范圍為

A.l<m<3B.-3<機<一1或1<根V3

C.2<m<3D.-3cm<-2或2<機<3

【思維升華】

27.已知直線4:依+y=0(ZeR)與直線4：x-心，+2左一2=0相交于點4,點6是圓

(x+2)2+(y+3)2=2上的動點，則|AB\的最大值為

A.372B,5拒C.5+2啦D.3+2也

28.在平面直角坐標系xOy中，已知直線y=x+2與x軸，y軸分別交于M,N兩點，點

P在圓(尤-af+y2=2上運動.若NMPN恒為銳角，則實數。的取值范圍是

【特別提醒】

判斷圓與圓的位置關系，若使用代數法，通過聯立兩圓方程得出一元二次方程，A>0

時，兩圓相交；△=()兩圓相切；A<0時，兩圓相離或內含，不能區(qū)分內切和外切，相

離和內含，故一般不選用代數法.

老馬八占、、圓與數學文化

八

【精研題型】

29.瑞士數學家歐拉(Leo〃/zw￡”/er)1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：

任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.若已知

△ABC的頂點A(T,O),5(0,4),其歐拉線方程為x—y+2=0,則頂點C的坐標可以

是

A.(1,3)B.(3,1)C.(-2,0)D.(0,-2)

30.古希臘數學家阿波羅尼奧斯著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有

這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數4(左>0且ZH1)的點的軌跡是圓，后人將

這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知。(0,0),A(-8,0),圓C：(x+4)2+/=r2(r>0)±

有且僅有一個點P滿足|/"|=31P。|,則r的取值可以為

A.2B.4C.6D.8

【思維升華】

31.(多選)古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現：平面內到

兩個定點A3的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以

他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系X。)，中，

DA1

A(—2,0),3(4,0),點P滿足——=一，設點P所構成的曲線為C,下列結論正確的是

PB2

A.A的方程為(x+4)2+y2=i6

B.在C上存在點。，使得|A&=1

C.在C上存在點M,使〃在直線x+y—2=0上

D.在C上存在點N,使得|NO「+|N4「=4

答案與解析

考點一

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查關于直線對稱的圓的方程，屬于基礎題.

根據對稱性求出C2圓心坐標(2,—2),進而可得結果.

【解答】

解：由兩圓關于直線x—y—1=0對稱可知兩圓心G與關于直線x—y—1=0對稱，且半

徑相等,

由計算可得C(一1,1)關于X-y—1=0的對稱點C2的坐標為(2,-2),

故圓C2的方程是(尤-2)2+(y+2)2=1,

故答案選：A

2.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題主要考查了與圓有關的軌跡問題，向量的數量積，兩點間的距離公式，屬于中檔題.

建立平面直角坐標系，則4—2,0),6(2,0),設P(x,y),逐項判斷即可得出結果.

【解答】

解：以線段AB的中點為原點，A8所在直線為x軸，以線段A8的垂直平分線所在直線為y

軸，

建立平面直角坐標系，則A(—2,0),6(2,0),

4設P(x,y),若乙4P8=90°,

則麗.而=(_2_蒼_,>(2_乂_')=/+,2_4=0,(y^O),

整理得：x2+y2=4,(y/0),即為點P的軌跡方程；

則點P的軌跡為圓，去掉兩點；故A錯誤；

B.設P(x,y),貝(|出2=(-2-力2+丁2,PB2=(2-x)2+y2,

由「發(fā)+班？=io,^(-2-X)2+/+(2-X)2+/=10,

整理得：x2+y2=l,則點P的軌跡為圓；故B正確；

C.設P(x,y),若麗?麗=-6,

則PA-PB=^-2-x,-yy(2-x,-y)=x2+y2-4=-6,

整理得：x2+y2=-2,這樣的P點不存在，故C錯誤；

D.設P(x,y),則PA2=(—2—x『+y2,PB2=(2-x)2+/,

由9=3P8,得(―2—x)?+y2=9](2—%7+力，

整理得：x2+y2-5x+4=0,則點P的軌跡為圓；故D正確：

故選BD

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了圓的一般方程，利用基本不等式求最值，屬于中檔題.

根據題意，可得利用基本不等式即可得解.

【解答】

解：由題意，可得圓Y+y2+2x—4），+1=0的圓心（一1,2）,

故一2a—2Z?+2=0,即a+/?=l,（a>Q,b>0）,

9191

則一+-=（-+—）（。+份

abab

10+藝+3

ab

當且僅當藝=@且。+匕=1,

ab

13

即〃=一，。=一時取等號，

44

91?

所以—I—的最小值是16,

ab

故選：A

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查與圓有關的最值問題，點到直線的距離公式，屬于拔高題.

根據題意，可將一上一看作經過圓爐+y=3上的點和點（2,0）的直線斜率，根據直線與圓

x-2

相切或相交求出斜率的取值范圍.

【解答】

解：根據題意，可將上看作經過圓Y+>2=3上的點和點（2,0）的直線斜率，

x-2

易知斜率存在,

可設一匚k,

x-2

則可化為直線方程：y=Z(x—2),

即kx-y-2k=0，

由坐標原點(0,0)到直線區(qū)一y—2攵=0的距離等于V3,

得段3

解得％=±6.

所以3-的取值范圍是[-6,6].

x-2

故選：C.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了圓的切線性質，圓內點到圓上距離的最大值的求解，屬于中檔題.

由已知PT=0P8,結合圓的切線性質可求P的軌跡方程，然后結合圓的性質即可求解P8

的最大值.

【解答】

解：設P(x,y),

因為P7"與圓相切，7?為切點，PTfPB,

故PT2=2PB'

所以尸。2一1=2282,

所以+>2_1=2(x-2)2+2/,

整理得4)2+)2=7,

所以P的軌跡是以(4,0)為圓心，以J7為半徑的圓，8(2,0)在圓內，

所以PB長的最大值為2+J7.

故選A.

6.【答案】解：(I)圓C的方程可化為爐+(了-4)2=16,

所以圓心為。(0,4),半徑為4,

設M(x,y),則麗'=(x,y-4),標=(2—x,2—y),

由題設知函?旃=0,

故x(2_x)+(y_4)(2—y)=0,

即(x-l)2+(y-3)2=2.

由于點P在圓C的內部，

所以M的軌跡方程是(x—+(y—3)2=2.

(II)由(I)可知M的軌跡是以點N(l,3)為圓心，V2為半徑的圓.

由于|OP|=|OM|,故。在線段PM的垂直平分線上，

又P在圓N上，從而ONLPM.

因為。N的斜率為3,

所以/的斜率為―1，

3

1Q

故/的方程為y=-x-\—.

33

又|OP|=|OM|=2&,。至IJ/的距離為3所以|PM|=生叵，

所以APOM的面積為史.

5

【解析】本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，考查三角形面積的求法，解

題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用，屬于中檔題.

(I)圓C的方程可化為爐+0-4>=16,由此能求出圓心為。(0,4),半徑為4,設

則麗MP=(2-x,2-y),由題設知麗■?麗=0,由此能求出M的軌跡

方程.

(H)由⑴知M的軌跡是以點N(l,3)為圓心，及為半徑的圓.由于|OP|=|QM|,故。在

線段PM的垂直平分線上，由此利用點到直線距離公式結合已知條件能求出jOM的面積.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了圓有關的最值問題和點到直線的距離公式，屬于中檔題.

易知函數。=」一幺一2%圖象是半圓,先得出圓心到直線4x+3y—21=0的距離為5,則

到直線4x+3y—21=0的距離的最小值為5—1=4,可得|4m+3〃—21|的最小值.

【解答】

解：函數月=5/---2%可化為(x+iy+y2=](y.0),

圖象是半圓，圓心為C(—1,0),半徑為r=l,

如圖，作直線4x+3y—21=0,

C到直線4x+3j-21=O的距離為d=1；+021|=5,

V42+32

P(m,n)到直線4x+3y—21=O的距離為d'=弛紀晉二211

其最小值為5—1=4,

|4m+3〃一21|的最小值為5x4=20.

故選C

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查圓有關的最值問題，考查運算解題能力，屬于較難題.

求得G(0，2)關于直線y=x+l的對稱點為由對稱性可得IPCRPC2I，則

|PGI-|PGI，，IGCI=3,又IPMI”IPCJ+2,|91..|/}61-3，代入即可求得

|PW|一|PN|的最大值.

【解答】

解：設Q(0,2)關于直線y=x+1的對稱點為C(m,ri),

二T

則《m,解得。(1,1),

〃+2m,

------=—+1

I22

由對稱性可得

IPC|=|PC2],

圓G：(x-4)2+(y-l)2=4,圓心￡(4,1),半徑為2,

則|「?！挂粅「。2|=|「。/一口。|,,|。。|=3,當且僅當P,C,G三點共線時等號成立，

由于

|PM|”IPCJ+2,\PN\..\PC2\-^,

:\PM\-\PN\^PCX\-\PC2\^y,

即IPMI-1PNI的最大值為U.

2

故選C

49

9.【答案】—

4

【解析】

【分析】

本題考查了向量的運算性質、圓的方程、考查了推理能力與計算能力，屬于拔高題.

建立適當的坐標系求出點M的運動軌跡，結合圖形求出最值.

【解答】

解：如圖，建立平面直角坐標系,

易知8(一百,0),C(Ao),4(0,3).

設MCx,y),P(a,b).

x-a=y/3-x,a=2x-y/3,

---y*

y-b=Q-yh=2y,

即P(2x-6,2y),

又?」衣1=1.

.?.P點在圓①a2+S—3)2=l上，

即(2x—6)2+(2y-3)2=l,

整理得，(x—等)2+(y—1)2=：(記為圓②)，

即M點在該圓上，

求I麗1的最大值轉化為B點到該圓②上的一點的最大距離,

即8到圓心的距離再加上該圓的半徑:

-?--------------------------------------|2

?的「=檔+后+點+；二,

49

故答案為一.

4

I。.【答案】竽

【解析】

【分析】

本題主要考查平面向量的數量積、軌跡問題及坐標法的應用，考查考生的邏輯思維能力、運

算求解能力、化歸與轉化能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象，數學建模、數學運算，屬于拔

高題.

可根據題設條件建立平面直角坐標系，確定出A,B,c的坐標，并設出O(x,y),然后利用

條件確定動點。的軌跡方程，由此確定變量X的取值范圍，最后利用數量積公式及X的取

值范圍可求得結果.

【解答】

解：如圖所示，過點C作CE_LA8于E,以E為坐標原點建立平面直角坐標系，

則A(-2,0),6(2,0),C(0,2y/3).

設O(x,y),不妨設y〉0,

由題意得，tanZAO5=V3

y_y

=x-2x+2=4y,

22,

"1+^<_x+y-4

x—2尤+2

所以V+(y一半)2=(/)2,

所以動點。的軌跡是圓x2+⑶一手尸=(羋)2在x軸上方的部分，

所以一延瓢—.

33

因為反?麗=(一蒼26-切?(4,0)=-4%，

即Tx的最大值為垣8,

3

所以反?麗的最大值為至8.

3

考點二

11.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了直線與圓的位置關系，點與圓的位置關系，屬于基礎題.

直線/恒過圓0(》一1)2+。-2)2=5上的一定點(3,1),得出結果.

【解答】

解：直線/：kx—y-3攵+1=0即為左(x—3)—y+1=0,

fx—3=0

由《得，x=3,y=l,

I-y+i=o

即直線恒過定點(3,1),

而點(3,1)在圓C：(x-l)2+(y-2)2=5±,

直線/：履—y—3左+1=0與圓C：(x—l)2+(y-2)2=5的位置關系相切或相交.

故選D.

12.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題.

求出圓心到直線的距離，可知直線與圓相交，故得答案.

【解答】

解：因為圓心到直線的距離為----------=2,

又因為圓的半徑為3,

所以直線與圓相交，由數形結合知，圓上到直線的距離為1的點有3個，

故選C

13.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵，考查學生的計

算能力.屬于中檔題.

根據直線過定點，以及直線和圓的位置關系即可得到結論.利用數形結合作出圖象進行研究

即可.

【解答】

解：由y=2)+4知直線/過定點(2,4),

將y=]+j4—x2兩邊平方得無2+(y_iy=4,

則曲線是以(0,1)為圓心，2為半徑，且位于直線)，=1上方的半圓.

當直線/過點(-2,1)時，直線/與曲線有兩個不同的交點,

此時1=—2女+4-2人，

3

解得％=—,

4

當直線/與曲線相切時，直線和圓有一個交點，

圓心(0,1)到直線依一y+4—2左=0的距離d=職.-21=2,

yjl+k2

解得％=?，

12

要使直線/：y=履+4-2左與曲線y=l+，4一f有兩個交點時,

則直線/夾在兩條直線之間，

因此二5＜匕，3

124

故選：B.

【解析】

【分析】

本題考查了點關于直線對稱、與圓有關的軌跡問題和與圓有關的最值問題，屬于較難題.

分類討論，設Q(x,y),由P、Q關于直線對稱可得Q的軌跡方程，由圓有關的最值可得當

點Q到直線屈+y+10=0的距離最短時Q的坐標，可得a的值.

【解答】

解：當。=0時，點P(0,—1)關于直線y=l的對稱點為(0,3),

當awO時，設Q(x,y),

y+i〃1

-------a=-1

x—0

則《①，消去?？傻胐+(y-l)2=4,且yw-l,"3,

y-ixt

22

綜上，Q的軌跡方程為/+(y—1)2=4,且＞。一1,

借助圖形可得過圓心(0,1)作直線小+y+10=0的垂線，與圓爐+(y-=4有兩個交

點，

其中靠近直線瓜+y+10=0的一點即為所求，

則垂線方程為y-l=#x,

將k1=走》與爐+(匕1)2=4聯立得卜=一6或卜=百(舍去)，

3y=0y=2

所以當Q為(一百,0)時，點Q到直線6%+丁+10=0的距離最短，

將(一百,0)代入①可得。=6，

故選C

15.【答案】[0,6]

【解析】

【分析】

本題考查點到直線的距離公式，直線與圓的位置關系及判定，圓有關的最值問題，考查數形

結合思想，屬于較難題.

將所求值利用幾何意義轉為吧4=絲叫=2sinNPOM,其中PM為點P到直線

OP

、/Ir+y=O的距離，根據直線與圓的位置關系求解即可.

【解答】

解：設點尸(x,y)為圓x2+(y-2)2=1上的任意一點,

則P(x,y)到直線道x+y=0的距離PM=坐望1!=幽91

V3+12

1Gx+y|=2PM,

設圓爐+(y—2)2=1與直線y=Ax相切,

則T^=l,解得上=±6,

:.ZPOM的最小值為0°,最大值為60°,

h

.?.網n/POM—,

2

故答案為[0,6].

16.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查命題的真假判斷，主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式、兩點的距

離和三角形的面積公式、基本不等式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于難題.

求得直線與坐標軸的交點A,B,原點到直線的距離，求得AAOB的面積，即可判斷4

運用兩點的距離公式和弦長公式，平方作差比較，結合基本不等式即可判斷B；

求得三角形coo的面積，平方作差，配方即可判斷C;

結合直線的性質即可判斷O.

【解答】

0代入直線方程可得x=L,

解：對于A,當a.l時，把尤=()代入直線方程可得丁=。，把>=

a

/.A(—,0),B(0,fz),,-.S=-xax—=-,故4正確；

a2a2

對于B,當a.l時，|AB|=J/+,，故|45『=/+：,

直線/的方程可化為crx+y-a=0,

圓心。到直線/的距離d=尸=「=,1,

+1Ja"+12.1

V/

/\

故=40—屋)=41——\,

1CTJ

/\

假設|A8|<|CO|,則|A8|2<|CO|2,即/+二<41——1

1,

aCl2+,

\

整理可得(/+二］一4(/+4+4<0,

1a71a-)

即—2j<o,顯然矛盾，故B錯誤；

對于C,S.COD=||O￡>||OC|sin乙DOC=；sinZDOC?1f

故ma.l,使得SCOD<,，故C正確;

當a=l時，直線/：x+y—1=0,當a=—1時，直線/：x+y+l=0.

?.?直線x+y—l=0與直線x+y+l=0平行,

.?.直線/不過定點，故D錯誤.

故選AC.

考點三

17.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查直線與圓的位置關系，弦心距與半徑以及半弦長的關系，屬于中檔題.

求出圓的圓心與半徑，利用弦心距、半徑、半弦長滿足勾股定理，由點到直線的距離公式求

出所求直線的斜率，然后求出直線方程.

【解答】

解：圓C：■?+/—4%—6丁+9=0的標準方程為(x—2)2+(〉—3『=4,

故圓C的圓心坐標(2,3),半徑為2,

?.?直線/過點(0,2),被圓C：犬+丁―4x—6y+9=0截得的弦長為2月，

圓心到所求直線的距離為522-(6)2=1,

由題意易知，直線斜率存在，故設所求直線為：y=kx+2,即京一y+2=0,

.?.畢口1=1,解得上=0或

^/F7^3

4

所求直線方程為y=§x+2或y=2.

故選D.

18.【答案】解：(1)設圓心坐標為C(a,6),半徑為八

因為圓C的圓心在直線x—2y=0上,

所以〃=2/7.

因為圓C與y軸相切于點(0,1),

所以Z?=l,廠二|。一0|.

所以圓C的圓心坐標為(2,1),r=2.

則圓C的方程為(％-2)2+(y—1)2=4.

(2)如果選擇條件①：

因為NAC6=120°,\CA\=\CB\=2,

所以圓心c到直線/的距離d=l.

.,12—1+/?!|

則d=J_7=^=1,

Vl+1

解得m=