181勾股定理教案1doc

第十八章勾股定理單元規(guī)劃直角三角形是一種特別的三角形，它有很多重要的性質(zhì)，如兩個(gè)銳角互余，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性質(zhì)，并且是特別重要的性質(zhì)．勾股定理揭露了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù)目關(guān)系，它能夠解決很多直角三角形中的計(jì)算問題，是解直角三角形的主要依照之一，在生產(chǎn)實(shí)踐頂用途很大．它不單在數(shù)學(xué)中，并且在其余自然科學(xué)中也被寬泛地應(yīng)用。本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)和特色以下：一、讓學(xué)生親自體驗(yàn)勾股定理的研究和運(yùn)用過程勾股定理的發(fā)現(xiàn)從傳說提及，從故事中，讓學(xué)生經(jīng)過察看計(jì)算以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積與以斜邊為邊長的正方形的面積的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩直角邊為邊長的小正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積．再看一些其余直角三角形，發(fā)現(xiàn)也有上述性質(zhì)．因此猜想全部的直角三角形都有這個(gè)性質(zhì)，即假如直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2。用勾股定理研究三個(gè)問題，又一次讓學(xué)生體驗(yàn)到了它的運(yùn)用過程．研究1木板進(jìn)門問題；依照已知數(shù)據(jù)，木板橫著、豎著都不可以進(jìn)門，只好斜著試一試，這個(gè)問題能夠用勾股定理解決；研究2是梯子滑動(dòng)問題；梯子頂端滑動(dòng)一段距離，梯子底端能否也滑動(dòng)相同的距離．這個(gè)問題能夠轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎边吅鸵粭l直角邊長，求另一條直角邊的長的問題，這也能夠用勾股定理解決；研究3是在數(shù)軸上畫出表示13的點(diǎn)．在數(shù)軸上畫表示的點(diǎn)能夠轉(zhuǎn)變?yōu)楫嬮L為13的線段的問題，而長為2的線段是直角邊都是1的直角三角形的斜邊，聯(lián)想到長為13的線段是直角邊為2，3的直角三角形的斜邊，進(jìn)而能夠畫出長為13的線段，并在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)．二、聯(lián)合詳細(xì)例子介紹抽象的看法在本章中，聯(lián)合勾股定理、勾股定理的逆定理介紹了定理、抗命題，逆定理的內(nèi)容．在勾股定理一節(jié)中，先讓學(xué)生察看得出命題1，而后經(jīng)過面積變形證明命題1．由此說明，經(jīng)過證明被確認(rèn)的正確的命題叫做定理．在勾股定理逆定理一節(jié)中，

從古埃人畫直角的方法談起，

而后讓學(xué)生畫一些直角三角形(已知三邊，并且兩邊的平方和等于第三邊的平方

)，能夠發(fā)現(xiàn)畫出的三角形是直角三角形．

因而猜想假如三角形的三邊長a，b，c知足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，即教科書中的命題2．把命題2的條件和結(jié)論與上節(jié)的命題1的條件、結(jié)論作比較，引出抗命題的看法．接著研究證明命題2的思路．同三角形全等證明命題2后，趁勢引出逆定理的看法．命題1，命題2屬于原命題建立，抗命題也建立的狀況．為了防備學(xué)生由此誤以為原命題建立，抗命題必定建立．教科書特別舉例說明有的原命題建立，抗命題不建立．三、著重介紹數(shù)學(xué)文化我國古代的學(xué)者們對(duì)勾股定理研究有很多重要成就，不單在好久從前獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理，并且使用了很多奇妙的方法證了然它．特別在勾股定理的應(yīng)用方面，對(duì)其余國家的影響很大，這都是我國人民對(duì)人類的重要貢獻(xiàn)，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的愛國熱忱和民族驕傲感，建立熱愛科學(xué)，獻(xiàn)身科學(xué)的遠(yuǎn)大理想．教課過程中要讓學(xué)生獲取更多的與勾股定理相關(guān)的背景知識(shí)，還能夠安排一些數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生采集一些證明勾股定理的方法，并與學(xué)生溝通．同時(shí)，要適合總結(jié)與定理、逆定理相關(guān)的內(nèi)容．比如對(duì)第七章“三角形”，第十三章“全等三角形”中的一些結(jié)論進(jìn)行更進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和總結(jié)．本單元的教課時(shí)間需8個(gè)課時(shí)，詳細(xì)安排以下：18．1勾股定理4課時(shí)18．2勾股定理的逆定理3課時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)l課時(shí)18.1勾股定理課時(shí)安排四課時(shí)冷靜講課勾股定理是反應(yīng)自然畀基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它有著悠長的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著寬泛的應(yīng)用．勾股定理的發(fā)現(xiàn)、考證和應(yīng)用蘊(yùn)涵著豐富的文化價(jià)值．本節(jié)讓學(xué)生經(jīng)過察看計(jì)算一些直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積與以斜邊為邊長的正方形的面積的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)勾股定理；勾股定理的證明方法好多，而教材中主要介紹的是一種面積證法，試圖讓學(xué)生經(jīng)歷察看、歸納、猜想和考證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，同時(shí)也滲透了代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形之間的關(guān)系．由勾股定理可知，已知兩條直角邊的長a，b，就能夠求出斜邊c的長．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜邊與向來角邊的長，就能夠求出另向來角邊的長．教材中的三個(gè)研究欄目讓學(xué)生學(xué)會(huì)用勾股定理解決問題．所以，本節(jié)的要點(diǎn)是體驗(yàn)勾股定理的研究過程，會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡單問題．難點(diǎn)是勾股定理的證明．在教課過程中，教師應(yīng)鼓舞學(xué)生踴躍參加這些活動(dòng)，經(jīng)過察看實(shí)踐、推理、溝通等獲取結(jié)論，并證明結(jié)論，發(fā)展空間看法和推理能力．同時(shí)，勾股定理的應(yīng)用較為寬泛，教師可增補(bǔ)一下其余現(xiàn)真相境，鼓舞學(xué)生自己找尋解答方法，勾股定理的研究．發(fā)現(xiàn)及考證的過程中，數(shù)形聯(lián)合的思想有許多的表現(xiàn)，教師在教課中應(yīng)注意浸透．18.1勾股定理(一)教課時(shí)間第一課時(shí)三維目標(biāo)一、知識(shí)與技術(shù)讓學(xué)生經(jīng)過察看、計(jì)算、猜想直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的結(jié)論．二、過程與方法1．在學(xué)生充分察看、歸納、猜想、研究直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的過程中，發(fā)展合情推理能力，領(lǐng)會(huì)數(shù)形聯(lián)合的思想．2．在研究上述結(jié)論的過程中，發(fā)展學(xué)生歸納、歸納和有條理地表達(dá)活動(dòng)的過程和結(jié)論．三、感情態(tài)度與價(jià)值觀1．培育學(xué)生踴躍參加、合作溝通的意識(shí)，2．在研究勾股定理的過程中，體驗(yàn)獲取結(jié)論的快樂，鍛煉戰(zhàn)勝困難的勇氣．教課要點(diǎn)研究直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的結(jié)論。進(jìn)而發(fā)現(xiàn)勾股定理．教課難點(diǎn)以直角三角形的邊為邊的正方形面積的計(jì)算．教具準(zhǔn)備學(xué)生準(zhǔn)備若干張方格紙，多媒體課件演示．教課過程一、創(chuàng)建問題情境，引入新課活動(dòng)1問題1：在我國古代，人們將直角三角形中的短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．依據(jù)我國古算書《周髀算經(jīng)》記錄，在約公元前1100年，人們已經(jīng)知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是為何嗎?問題2：某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來救火，認(rèn)識(shí)到每層樓高3米，消防隊(duì)員取來6.5米長的云梯，假如梯子的底部離墻基的距離是2.5米，請問消防隊(duì)可否進(jìn)入三樓滅火?問題3：我們再來看章頭圖，在下角的圖案，它有什么童義?為何選定它作為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽?設(shè)計(jì)企圖：問題設(shè)計(jì)擁有必定的挑戰(zhàn)性，目的是激發(fā)學(xué)生研究的欲念．反應(yīng)了數(shù)學(xué)根源于實(shí)質(zhì)生活，數(shù)學(xué)是從人的需要中產(chǎn)生這一基本看法．師生行為：教師可指引學(xué)生將問題2轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)識(shí)題，也就是“已知直角三角形的兩邊，求第三邊”的問題，學(xué)生會(huì)感覺困難。進(jìn)而教師指出：學(xué)習(xí)本章，我們就能回答上述問題．第一我們先來看一個(gè)傳說．二．實(shí)質(zhì)操作，研究直角三角形的三邊關(guān)系活動(dòng)2問題1：畢達(dá)哥拉斯是古希臘有名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，相傳2500年前，一次，畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其余的來賓都在盡興歡喜，夸夸而談，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚地而倡始呆來．本來，朋友家的地是用一塊塊直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間，特別雅觀大方．主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子特別奇異，就想過去問他．誰知畢達(dá)哥拉斯突然茅塞頓開的樣子，站起來，大笑著跑回家去了．同學(xué)們，我們也來察看下邊圖中的地面，看看你能發(fā)現(xiàn)什么?能否也和大哲學(xué)家有相同的發(fā)現(xiàn)呢?問題2：你能發(fā)現(xiàn)下列圖中等腰直角三角形ABC有什么性質(zhì)嗎?問題3：等腰直角三角形都有上述性質(zhì)嗎?察看下列圖，并回答下列問題：(1)察看圖

1正方形

A中含有

________個(gè)小方格，即

A的面積是

________個(gè)單位面積；正方形

B中含有

________個(gè)小方格，即

B的面積是

________個(gè)單位面積；正方形

C中含有

________個(gè)小方格，即

C的面積是

________個(gè)單位面積．(2)在圖

2、圖

3中，正方形

A、B、C

中各含有多少個(gè)小方格

?它們的面積各是多少

?你是怎樣獲取上述結(jié)果的

?與伙伴溝通．(3)請將上述結(jié)果填入下表，你能發(fā)現(xiàn)正方形

A，B，C

的面積關(guān)系嗎

?A的面積

B的面積

C的面積(單位面積

)

(單位面積

)

(單位面積

)圖

1圖

2圖

3設(shè)計(jì)企圖：經(jīng)過讓學(xué)生察看計(jì)算，發(fā)現(xiàn)關(guān)于等腰直角三角形而言，知足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，讓學(xué)生親歷發(fā)現(xiàn)、研究結(jié)論的過程，也有益于培育學(xué)生的語言表達(dá)能力，領(lǐng)會(huì)數(shù)形聯(lián)合的思想．師生行為：關(guān)于問題1和問題2，教師要留給學(xué)生充分的思慮時(shí)間，而后讓學(xué)生溝通合作，得出結(jié)論．生：在課本圖18.1—1中，地面是由完整相同的小等腰直角三角形拼成，并且每兩個(gè)小的等腰直角三角形拼成一個(gè)小正方形．設(shè)小正方形的面積為1，則以AB，AC為邊的小正方形的面積都為1，而以斜邊BC為邊的小正方形是由四個(gè)全等的等腰直角三角形拼成，所以它的面積為2，我們能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形以直角邊為邊的小正方形的面積和等于以斜邊為邊的稍大的正方形的面積．即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．關(guān)于問題3，可讓學(xué)生在自己準(zhǔn)備好的小方格紙上畫出，并計(jì)算A、B、C三個(gè)正方形的面積，并在小組內(nèi)溝通．學(xué)生計(jì)算C正方形的面積，可能有不一樣的方法．不論是經(jīng)過直接數(shù)小方格的個(gè)數(shù)，仍是將C劃成為4個(gè)全等的等腰直角三角形來求，都應(yīng)予以必定，并鼓舞學(xué)生用語言進(jìn)行描繪．生：我們從上邊的圖中更進(jìn)一步考證了等腰直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方．師：本來有名的哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，他在朋友家地板磚的啟迪下，也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)論．并且還做了更加深入的研究，你知道是什么嗎?生：等腰直角三角形有上述性質(zhì)，其余的直角三角形能否也有這個(gè)性質(zhì)呢?師：確實(shí)這樣，想知道結(jié)果嗎?我們不如尋著大哲學(xué)家的蹤跡，也做更深入的研究．活動(dòng)3問題1：等腰三角形有上述性質(zhì)，其余的三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎?以下列圖，每個(gè)小方格的面積均為1，請分別計(jì)算出下列圖中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面積，看看能得出什么結(jié)論．(提示：以斜邊為邊長的正方形的面積，等于虛線標(biāo)出的正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積．)問題2：給出一個(gè)邊長為0.5，1.2，1.3，這類含小數(shù)的直角三角形，也知足上述結(jié)論嗎?設(shè)計(jì)企圖：進(jìn)一步讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)察看、猜想、歸納這一數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)現(xiàn)的過程，也讓學(xué)生的解析問題和解決問題的能力在無形中獲取提升，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到結(jié)論更具一般性．師生行為：相同讓學(xué)生計(jì)算A、B、C，A'、B'、C'的面積，但正方形C和C'的面積不易求出，可以讓學(xué)生在早先準(zhǔn)備好的方格紙上繪圖形，在剪一剪、拼一拼后發(fā)現(xiàn)求正方形C和C'的面積的方法．生：從圖中不難察看出A，B兩個(gè)正方形分別含有4個(gè)小方格和9個(gè)小方格；A'、B'兩個(gè)正方形分別含有9個(gè)小方格和25個(gè)小方格．生：正方形C的面積可看作虛線標(biāo)出的正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，即5×5－4×1×2×3＝13．所以正方形A的面積＋正方形B的面積等于正方形C的面積，即24＋9＝13。1用相同的方法計(jì)算C的面積可得8×8－4×2×3×5＝64－30＝34．所以正方形A'的面積＋正方形B'的面積＝正方形C'的面積．師生共析：假如將虛線標(biāo)出的正方形C和C'四周的四個(gè)直角三角形分別沿斜邊折疊進(jìn)去，你會(huì)得出什么結(jié)論呢?11正方形C的面積就等于1＋4×2×2×3＝13．正方形C'的面積就等于4＋4×2×3×5＝34．和前面的結(jié)論相同．生：經(jīng)過上邊的折疊我發(fā)現(xiàn)了該圖案正是2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的徽標(biāo)。師：很正確．我們經(jīng)過對(duì)A、B、C，A'、B'、C'幾個(gè)正方形面積關(guān)系的解析可知：一般的以整數(shù)為邊長的直角三角形兩直角邊的平方和也等于斜邊的平方，一個(gè)邊長為小數(shù)的直角三角形能否也有此結(jié)論?我們不如設(shè)小方格的邊長為0.1，我們不如在你準(zhǔn)備好的方格紙上畫出一個(gè)兩直角邊為0,5，1.2的直角三角形來進(jìn)行考證．生：也有上述結(jié)論．師：當(dāng)時(shí)大哲學(xué)家也發(fā)現(xiàn)并進(jìn)一步深人研究的也正是這個(gè)結(jié)論，看似平庸無奇的現(xiàn)象有時(shí)卻隱蔽著深刻的道理．我們也應(yīng)當(dāng)向大哲學(xué)家學(xué)習(xí)，仔細(xì)體驗(yàn)生活，努力發(fā)現(xiàn)生活中存在的各樣神秘．這一結(jié)論，在外國就叫做“畢達(dá)哥拉斯定理”，而在中國則叫做“勾股定理”．而活動(dòng)1中的問題1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三邊關(guān)系的重要表現(xiàn)．勾股定理究竟是誰最初發(fā)現(xiàn)的呢?我們能夠驕傲地說：是我們中國人最早發(fā)現(xiàn)的．憑證就是《周髀算經(jīng)》，不單這樣，我們漢代的趙爽曾用2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的徽標(biāo)的圖案證了然此結(jié)論，也正由于為了紀(jì)念這一偉大的發(fā)現(xiàn)而采納了此圖案作徽標(biāo)．下節(jié)課我們將要做更深入的研究．大哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論后，就已認(rèn)識(shí)到，他的這個(gè)發(fā)現(xiàn)太重要了．所以，按照當(dāng)時(shí)的傳統(tǒng)，他快樂地殺了整整一百頭牛來慶祝．三、例題解析活動(dòng)4問題1：小明的媽媽買了一部29英寸(74厘米)的電視機(jī)．小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長和46厘米寬，他感覺必定是售貨員搞錯(cuò)了．你贊同他的想法嗎?你能解說這是為何嗎?問題2：(1)以下列圖，一根旗桿在離地面9m處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，旗桿折斷從前有多高?(2)求斜邊長17cm，一條直角邊長15cm的直角三角形的面積．設(shè)計(jì)企圖：問題1、2是切近學(xué)生生活風(fēng)趣的實(shí)例，學(xué)生可利用勾股定理解決．直角三角形的三邊關(guān)系告訴我們已知兩邊可求出第三邊．體驗(yàn)勾股定理解決生活中問題的過程．師生活動(dòng)：問題1：我們往常所說的29英寸和74厘米的電視機(jī)，是指其熒屏的對(duì)角線的長度，而不是其熒屏的長和寬，同時(shí)，熒屏的邊框掩蓋了一部分，所以實(shí)質(zhì)丈量存在一些偏差．問題2：(1)解：由勾股定理可求得旗桿斷裂處到桿頂?shù)拈L度是：92