理論力學(xué)（第2版）－盛冬發(fā)課件 動力學(xué) 第十章 動量定理

10.1

動量與沖量10.2

動量定理10.3

質(zhì)心運(yùn)動定理及質(zhì)心運(yùn)動守恒定律第10章動量定理10.1.1

動量1.質(zhì)點(diǎn)的動量10.1

動量與沖量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m與速度v的乘積稱為質(zhì)點(diǎn)的動量p。即動量是矢量，它與速度v的方向相同。寫成分量形式為

動量的量綱為[動量]=[質(zhì)量]?[速度]=MLT-1

在國際單位制中，動量的單位是千克?米/秒（kg?m/s）

2.質(zhì)點(diǎn)系的動量

設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動量為mivi，則質(zhì)點(diǎn)系的動量可表示為即質(zhì)點(diǎn)系的動量P等于質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)動量的矢量和。上式寫成分量形式為

式中，Px、Py、Pz分別表示質(zhì)點(diǎn)系的動量P在軸x、y、z軸上的投影。

質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心(簡稱質(zhì)心)C的矢徑為

即兩端同時(shí)對時(shí)間求導(dǎo)，可得

可見，質(zhì)點(diǎn)系的動量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。上式可寫成分量形式為分別計(jì)算圖所示幾種運(yùn)動剛體的動量。

細(xì)長桿的動量為P=mlω/2，方向與vC

方向相同

在水平地面上作純滾動的均質(zhì)滾輪，的動量為P=mrω，方向與vC方向相同

繞輪心轉(zhuǎn)動的均質(zhì)輪，則不論輪子轉(zhuǎn)動的角速度有多大，也不論輪子的質(zhì)量多大，由于其質(zhì)心不動，其動量總是等于零。

10.1.2

力的沖量力F在微小的時(shí)間間隔dt內(nèi)累積的沖量F?dt稱為元沖量。用dI表示，即對上式積分，可得力F在時(shí)間間隔0-t內(nèi)累積的沖量

當(dāng)F=常矢量時(shí)，上式可表示為沖量是矢量，當(dāng)作用力是常矢量時(shí)，其方向與力的方向相同。上式可寫成分量形式?jīng)_量的量綱為

沖量的量綱和動量的量綱相同，在國際單位制中，沖量的單位是牛頓·秒(N·S)

沖量的一些實(shí)例10.2

動量定理10.2.1

質(zhì)點(diǎn)的動量定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，速度為v，作用于質(zhì)點(diǎn)的力為F。由牛頓第二定律有即上式也可以寫成為

上式稱為質(zhì)點(diǎn)動量定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)的動量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上力的元沖量。對上式進(jìn)行積分，積分上、下限時(shí)間取0到t

，速度取v0到v，可得

上式稱為質(zhì)點(diǎn)動量定理的積分形式，即在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的動量的變化等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在此時(shí)間間段內(nèi)的沖量。10.2.2

質(zhì)點(diǎn)系的動量定理

設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，第i

個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，速度為vi。外界物體對該質(zhì)點(diǎn)的作用力為，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)其他質(zhì)點(diǎn)對該質(zhì)點(diǎn)的作用力為，則有質(zhì)點(diǎn)的動量定理

對由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，則以上的方程共有n個(gè)。將n個(gè)方程兩端分別相加，即交換等式左邊求和符號和微分符號的順序，并考慮到內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，可相互抵消，則得上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動量定理的微分形式。即質(zhì)點(diǎn)系動量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量和。上式也可寫成為即質(zhì)點(diǎn)系的動量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和。

將上式寫成直角坐標(biāo)投影形式為

對上式積分，積分上、下限時(shí)間取0到

t，動量取P0到P，得

即

上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動量定理的積分形式。即在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動量的改變等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力沖量的矢量和。寫成投影形式為10.2.3

質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律

10.2.3

質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律如果外力主矢FRe

=ΣFie=0，則P=P0=恒矢量。如果外力主矢在某軸例如

x

軸上的投影FRxe=ΣFxe=0，則有Px=P0x=常量若作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力矢量和等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動量保持不變；若作用于質(zhì)點(diǎn)系所有外力在某一軸上的投影代數(shù)和等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動量在該軸上的投影保持不變。這就是質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律。質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律的現(xiàn)象很多，例如在靜水上有一只不動的小船，人和船組成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系。當(dāng)人從船頭向船尾走去的同時(shí)，船身一定向船頭方向移動。

【例10-1】電動機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子質(zhì)量為m1，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m2，如圖所示。設(shè)定子的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸的中心O1，但由于制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e。已知轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動，角速度為ω。設(shè)初始時(shí)O1O2位于鉛垂位置，求基礎(chǔ)的支座反力。解：以電動機(jī)外殼和轉(zhuǎn)子組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對象，受力分析如圖所示

由于機(jī)殼不動，只有轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動，所以系統(tǒng)的動量大小為P=m2eω，方向如圖所示。由動量定理的投影式

，有

而

，，代入上式，有

當(dāng)電動機(jī)不轉(zhuǎn)時(shí)，即ω=0時(shí)，有

稱為靜約束反力

電動機(jī)轉(zhuǎn)動時(shí)的約束反力稱為動約束反力。動約束反力與靜約束反力的差值是由于系統(tǒng)而產(chǎn)生的，可稱為附加的動反力。

此例中，由于轉(zhuǎn)子偏心而引起的

x方向的附加動反力為由于轉(zhuǎn)子偏心而引起的

y方向的附加動反力為

它們都是諧變量，將會引起電機(jī)和基礎(chǔ)的振動。基礎(chǔ)動反力的最大和最小值分別是：

【例10-2】如圖表示水流流經(jīng)變截面彎管的示意圖。設(shè)流量(每秒流過的體積)qV=常量，流體的密度ρ=常量，流體在截面aa、bb處的平均流速分別是va和vb，求流體流動對管道壁的附加動壓力。

解：取兩個(gè)截面aa和bb之間的管內(nèi)流體作為研究對象。受力分析如圖所示。

假設(shè)經(jīng)過一個(gè)無限小的時(shí)間間隔dt，原處于截面aa和bb之間的流體動量的改變等于即應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動量定理，有

代入上式

若將管壁對于流體的反力FR分為兩部分：為與外力G、Fa和Fb

相平衡的管壁靜反力，為由于流體的動量發(fā)生變化而產(chǎn)生的附加動反力，即

而附加動反力為由作用與反作用定律，流體對管壁的附加動壓力的大小等于此附加動反力，但方向相反，即

管內(nèi)流體流動時(shí)給予管壁的附加動壓力,等于單位時(shí)間內(nèi)流入該管的動量與流出該管的動量之差。設(shè)計(jì)高速管道時(shí)，應(yīng)考慮附加動壓力的影響。

如圖所示一水平的等截面直角形彎管。當(dāng)流體被迫改變流動方向時(shí)，對管壁施加有附加的動反力

設(shè)進(jìn)口截面的截面面積為S1，出口截面的截面面積為S2。進(jìn)口平均流速為v1，出口平均流速度v2，流體的密度為ρ。應(yīng)用上面分析的結(jié)論，可知流體對管壁施加附加的動壓力，它的大小等于管壁對流體作用的附加動反力，即

由此可見，當(dāng)流速很高或管子截面面積很大時(shí)，附加動壓力很大，在管子的彎頭處要安裝支座。【例10-3】如圖所示均質(zhì)滑輪半徑分別為r1和r2，兩輪固連在一起并安裝在同一轉(zhuǎn)軸O上，兩輪共重為Q，兩重物的重量分別為P1、P2。已知M1向下運(yùn)動的加速度為a1，求滑輪對轉(zhuǎn)軸的壓力。解：以整體為研究對象，受力分析如圖所示。用動量定理，可得而代入上式，可得

【例10-4】火炮(包括炮車和炮筒)的質(zhì)量為m，炮彈的質(zhì)量為m1，炮彈相對于火炮的發(fā)射速度為vr，炮筒對水平面的仰角為α，如圖所示。設(shè)火炮放在光滑水平面上，且炮筒與炮車固連，試求火炮的后座速度和炮彈的發(fā)射速度。

解：取火炮和炮彈組成的系統(tǒng)為研究對象。受力分析如圖所示。

進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析，選炮彈為動點(diǎn)，火炮為動系，由va=ve+vr

作炮彈C的速度合成圖如圖所示。即進(jìn)行動力學(xué)分析，由于系統(tǒng)所受外力在水平軸x上的投影都是零，即有

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定理，可知系統(tǒng)的動量在軸x上的投影守恒。考慮到初始瞬時(shí)系統(tǒng)處于靜止，即聯(lián)立求解，可得應(yīng)用動量定理解題步驟大致如下：(1)選取研究對象，分析研究對象上的外力(包括主動力和約束反力)。

(2)如果外力主矢等于零或外力在某軸上的投影代數(shù)和等于零，則應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定理求解。

(3)如果外力主矢不等于零，先計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動量在坐標(biāo)軸上的投影，然后應(yīng)用動量定理求未知力(一般為約束反力)。計(jì)算動量的速度必須是絕對速度，并要注意動量和力在坐標(biāo)軸上的投影的正負(fù)號。

10.3質(zhì)心運(yùn)動定理及質(zhì)心運(yùn)動守恒定律10.3.1

質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)點(diǎn)系的動量定理

而質(zhì)點(diǎn)系的動量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。即

可得

這就是質(zhì)心運(yùn)動定理，即質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和(或稱外力主矢)。質(zhì)心運(yùn)動定理也可以表述為：質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動可以看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，設(shè)想此質(zhì)點(diǎn)集中了整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，并在其上作用有質(zhì)點(diǎn)系的所有外力。上式為矢量方程，實(shí)際在應(yīng)用時(shí)應(yīng)寫成投影形式，，

10.3.2

質(zhì)心運(yùn)動守恒定律

由質(zhì)心運(yùn)動定量可知，如果，則mvC=常矢量；即若作用于質(zhì)點(diǎn)系上外力的矢量和(即外力系的主矢)為零，則質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動；若開始靜止，則質(zhì)心位置始終保持不變。

如果，則mvcx=常量；即如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在某軸上的投影的代數(shù)和等于零，則質(zhì)心速度在該軸上的投影保持不變，若開始時(shí)速度投影等于零，則質(zhì)心在該軸上的坐標(biāo)保持不變。這個(gè)結(jié)論稱為質(zhì)心運(yùn)動守恒定律例10-5】如圖所示滑塊A質(zhì)量為m，可在水平光滑槽中運(yùn)動，具有剛性系數(shù)為k的彈簧一端與滑塊相連接，另一端固定。桿AB長為L，質(zhì)量不計(jì)，A端與滑塊A鉸接，B端裝有質(zhì)量為m1的小球，在鉛直平面內(nèi)可繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動。設(shè)在力矩作用下，轉(zhuǎn)動角速度ω為常數(shù)，初始時(shí)，彈簧恰為原長，求滑塊A的運(yùn)動規(guī)律。解：取整體為研究對象，受力如圖所示，建立水平向右的坐標(biāo)軸Ox，點(diǎn)O取在運(yùn)動初始時(shí)滑塊A質(zhì)心上，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)為根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理，有解此微分方程，并注意到初始條件t=0時(shí)，，故可得A的穩(wěn)態(tài)解的運(yùn)動規(guī)律為解：取人和船組成的系統(tǒng)為研究對象，受力分析如圖所示。取坐標(biāo)軸如圖所示。設(shè)人在走動前，人和船的質(zhì)心x坐標(biāo)分別為a和b。則系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為【例10-7】如圖所示的小船，船長為l，質(zhì)量為m，船上有質(zhì)量為m1的人。設(shè)初始時(shí)小船和人靜止，人站立在船的最左端，后來沿甲板向右行走，如不計(jì)水的阻力，求當(dāng)人走到船的最右端時(shí)，船向左移動的距離為多少？當(dāng)人走到船的右端時(shí)，設(shè)船移動的距離為s，則系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為由于在x軸上的坐標(biāo)保持不變，即解得應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理解題的步驟如下：

(1)選取研究對象，分析受力(畫出質(zhì)點(diǎn)系所受